2022届高三各地一模试卷解答题专题汇编——不等式选讲5

不等式选讲
1．已知函数（）．
(1)若不等式恒成立，求a的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围．
2．已知．
(1)解不等式；
(2)若，关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．
3．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值为m，且对任意正数a，b满足，求的最小值．
4．已知全集为，集合.
(1)求；
(2)已知集合，且，求实数的取值范围.
5．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对于任意的实数x，均有不等式成立，求实数a的取值范围．
6．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
7．已知.
(1)当时，求与所围成封闭图形的面积；
(2)若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围.
8．已知函数.
(1)解不等式；
(2)若正数a，b，c满足，求的最小值.
9．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若，且，其中M是的最小值，求的最小值．
10．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)，，使得，求实数的取值范围.
11．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)求直线与函数的图象围成的封闭图形的面积．
12．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求的取值范围．
13．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若对，不等式总成立，设M是m的最大值，，其中，求的最小值．
14．已知，.
(1)若，为假命题，求的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
15．关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B.
(1)求集合A，B；
(2)若，求实数a的取值范围.
16．已知函数
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)判断函数在区间上的单调性（不必写出过程），并解不等式
17．已知函数．
(1)解不等式；
(2)设函数的最小值为t，若a＞0，b＞0，且a＋b＝t，求的最小值．
18．已知函数（其中，）．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对，不等式恒成立，试求的最小值．
19．已知函数，且的解集为.
(1)求m的值；
(2)若是正实数，且，求证：.
20．己知函数．
(1)当，时，求不等式的解集；
(2)若最小值为3，求的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角不等式可知，即不等式恒成立，然后对分类讨论去掉绝对值即可求解；
（2）对分类讨论，求出的表达式，由恒成立，列出关于的不等式组，即可求解.
(1)
由已知条件得
，当且仅当时等号成立，
由不等式恒成立，得．
当时，即，；
当时，，此不等式无解．
综上所述a的取值范围为；
(2)
当时，
，
由得， 解得；
当时，不符合题意；
当时，，
由，得，解得为；
综上所述a的取值范围为．
2．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用分类讨论的方法求解含绝对值符号的不等式.
(2)利用绝对值三角不等式求出的最大值，再借助函数不等式恒成立求解作答.
(1)
依题意，，不等式化为以下3个不等式组：
或或，
解，即，无解，
解，即，无解，
解，即，解得，
所以不等式的解集为．
(2)
依题意，(当且仅当时取“=”)，
因为对关于x的不等式成立，则，解得或，
所以满足条件的实数m的取值范围是.
3．(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）将函数化简为分段函数形式，再分别求解的解集；（2）由题意得，代入化简之后利用乘“1”法，根据基本不等式求解最小值.
(1)
，
当时，不等式变为，解得；
当时，不等式变为，无解；
当时，不等式变为，解得．
故不等式的解集为或．
(2)
由（1）知的最小值为3，所以，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
4．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据补集的运算可得答案；
（2）利用结合图形可得实数的取值范围.
(1)
因为或，
所以.
(2)
因为，所以，解得.
实数的取值范围是.
5．(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)分类讨论解绝对值不等式，当时，对x的取值范围进行讨论，去绝对值符号；
(2)利用绝对值的三角不等式 ，讨论不等式恒成立的参数的取值.
(1)
当 时，不等式可化为，
则①，或②，或③，
解得①无解，或②，或③，
故，所以不等式的解集为．
(2)
不等式等价于，
因为，
而对任意，均有成立，则，
解得，所以实数a的取值范围是．
6．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将含绝对值符号的函数化为分段函数形式，然后分段解不等式即可；
（2）分别求出两函数的最值，根据题意列出相应的不等式，即可解得答案.
(1)
当时，，
所以或或
解得，
所以不等式的解集为
(2)
由二次函数，
知函数在处取得最小值1，
因为，
时， ； 时， ，
在时取得最大值，
所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，即
所以m的取值范围为．
7．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先用分段函数表示出来，再画出函数图形，结合其图形可求出面积；
（2）转化为，最后利用基本不等式可求解.
(1)
由条件
作出函数的图象和直线，记交点为，.
易求，，.
如图，所围图形为梯形ABCD，梯形的高为3，另一底长为3，
∴封闭图形的面积为.
(2)
对，，，
等价于，，，
等价于.
∵，
，当且仅当时取等号，
∴，解得或，
∴的取值范围为.
8．(1)；
(2)最小值为7.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件分段去绝对值符号并解不等式作答.
(2)根据给定条件借助柯西不等式计算作答.
(1)
函数，当时，，由，解得，则有，
当时，，由，即，解得，则有，
当时，不满足，此时不等式无解，综上得：，
所以不等式的解集为：.
(2)
依题意，，，
则
，当且仅当时取“=”，
所以当时，的最小值为7.
9．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用零点分区间法取绝对值号，即可得到答案；
（2）先求出,利用基本不等式“1的妙用”即可求解.
(1)
因为
所以等价于或或
解得，即不等式的解集为．
(2)
由（1）可知，即，则．
，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则，故的最小值为．
10．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）去绝对值，分类讨论并列不等式组求解；（2）根据恒成立与存在问题，将不等式转化为，由绝对值不等式的三角关系以及基本不等式分别求出最小值，代入即可得的取值范围.
(1)
由，
①，
②，
③.
综上所述，原不等式的解集为：
(2)
因为，，使得，所以.
由，，
而，当且仅当时取等号，由题意知，或，
故实数的取值范围是
11．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)分类讨论去绝对值求解即可；
(2)作出f(x)图像，数形结合即可求解.
(1)
不等式等价于或或
解得或，即不等式的解集为．
(2)
由的图象可知直线与的图象围成的封闭图形是四边形，
且，，，，
则的面积．
延长交直线于点，则，
从而的面积．
故四边形的面积为．
12．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）当时，根据绝对值不等式得出，再根据分段函数即可求出不等式的解集；
（2）由题可知，而，分类讨论解绝对值不等式即可求出的取值范围．
(1)
解：当时，
当时，，即，故；
当时，恒成立，故；
当时，，即，故；
综上得，不等式的解集为.
(2)
解：由题可知，而，
当时，，得；
当时，，得；
综上得，的取值范围为.
13．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据x的范围分段取绝对值求解即可；
（2）将恒成立问题转化为最值问题，从而求出M，再利用基本不等式可解.
(1)
函数，则不等式可化为
或或，
解得或或，即．
所以，不等式的解集为．
(2)
对，不等式总成立，等价于．
，当且仅当即时取等号，．
，所以．
，，因此
，
当且仅当即，时取等号．
所以的最小值为．
14．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）分别求出命题、为真时参数的取值范围，依题意、都为假命题，求出的取值范围，即可得解；
（2）依题意可得是的必要不充分条件，则真包含于，即可得到不等式组，解得即可；
(1)
由，解得，即，
由，可得，所以，
当时，解得，即，
因为为假命题，则、都为假命题，
当为假命题时：或
当为假命题时：或
故当、都为假命题，或
综上可得；
(2)
因为是的必要不充分条件，
由（1）可知，，
所以真包含于，
所以，解得，即
15．(1)，或；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）利用十字相乘法解出集合A，利用绝对值不等式解出集合B；
（2）利用集合之间的关系列不等式，即可求出的范围.
(1)
原不等式可化为：，
解得，即，
绝对值不等式可化为：或，
解得或，即或；
(2)
由(1)得，或，
易知，因为，
所以或，解得或，
所以实数的取值范围为或.
16．(1)函数是R上的偶函数，证明见解析
(2)函数在上单调递增，
【解析】
【分析】
（1）利用偶函数的定义判断并证明函数为偶函数；
（2）根据指数函数和复合函数及函数的加减合成的单调性规律判定函数的单调性，然后结合函数是偶函数，将不等式转化为，进而两边同时平方，等价转化为二次方程，求解即得.
(1)
证明：依题意，函数的定义域为R．对于任意，
都有，
所以函数是R上的偶函数．
(2)
解：函数在上单调递增．
因为函数R上的偶数函数，所以
等价于．因为函数在上单调递增，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为．
17．(1)
(2)2
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值不等式的解法求解；
（2）根据，得到时，，即，然后由，结合“1”的代换，利用基本不等式求解.
(1)
解：不等式等价于或或，
解得或或．
所以不等式的解集为．
(2)
由知，
当时，，即．
∵，
，
.
当且仅当．即时等号成立，
故的最小值为2
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）采用零点分段法来求得不等式的解集.
（2）求得的最小值，由此得到，结合基本不等式求得的最小值．
(1)
当时，，
，等价于不等式组
或或，
解得或或，
所以原不等式的解集为．
(2)
由，可得，
所以，
故在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，故．
要满足题的条件，则有，即，
所以，
当且仅当时取等号，故的最小值为．
19．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由得，求出可得答案；
（2）由柯西不等式可得答案.
(1)
依题意，，即，
.
(2)
由（1）知，
由柯西不等式得，，
所以，
当且仅当，即时取等号.
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合零点分段法来求得不等式的解集；
（2）根据的最小值求得的关系式，结合基本不等式求得的最小值．
(1)
当时，
，
对于不等式，有：
或或，
解得或或，
所以不等式的解集为.
(2)
依题意，
，
，
当且仅当时等号成立.
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