2022届高三各地一模试卷解答题专题汇编——三角函数1

2022届高三各地一模试卷解答题专题汇编——三角函数
1．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
2．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数，的最小值.
3．已知函数（m∈R）．
(1)若关于x的方程在区间上有三个不同解，求m与的值；
(2)对任意，都有，求m的取值范围．
4．当时，函数取最小值，求的值．
5．在① f (x)是偶函数；②是f (x)的图象在y轴右侧的第一个对称中心；③ f (x)相邻两条对称轴之间距离为.这三个条件中任选两个，补充在下面问题的横线上，并解答.
已知函数f (x) = sin(x +)( > 0，0 < < π)，满足________.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)将函数y = f (x)的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y = g(x)；若函数F (x) = f (x) + k g(x)在(0，nπ)内恰有2021个零点，求实数k与正整数n的值.
6．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)设，已知，求的值.
7．已知函数．
(1)若，求函数的值域；
(2)在中，，，且锐角B满足，求b的值．
8．已知的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过一点.
(1)若，求的值；
(2)若且，求的单调增区间.
9．已知函数.
(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出函数在区间上的图像.
(2)解不等式.
10．已知函数f（x）＝2sin（2x＋）（x∈R）．
(1)求f（x）的最小正周期：
(2)求不等式成立的x的取值集合.
(3)求x∈的最大值和最小值.
11．已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f ＝，f ＝，求cos(α－β)的值．
12．已知函数（，，，为常数）的一段图象如图.
(1)求函数的解析式；
(2)求这个函数的对称中心，并说明它是由正弦曲线如何变换得到的.
13．某同学作函数f (x) = Asin(x +)在一个周期内的简图时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
-3
(1)请将上表数据补充完整，并求出f (x)的解析式；
(2)若f (x)在区间(m，0)内是单调函数，求实数m的最小值.
14．设函数.
(1)求的单调增区间；
(2)求在上的最大值与最小值.
15．求函数，的值域.
16．若函数的一部分图象如图所示，，为图象上的两个顶点．设，其中O为坐标原点，．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．已知函数.
(1)设，求的单调递减区间；
(2)若，，求的值.
18．已知．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，函数的值域为，求实数的范围．
19．已知函数的部分图象如图所示，图象与轴交于点．
(1)求函数的最小正周期及，的值；
(2)已知，，求的值，
20．已知函数.
(1)若至少存在两个，使得，求的取值范围；
(2)若在上单调递增，且存在，且存在，求的取值集合.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.
(1)
令，则
所以，单调减区间是.
(2)
由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，则，，
，所以.
2．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由图象可得出的最大值和最小正周期，可求得、的值，再由结合的取值范围可求得的值，进而可求得函数的解析式；
（2）由，求得，令，即求，的最小值，讨论二次函数的对称轴即可求得结果.
(1)
由图可知.
设函数的最小正周期为T，则，所以，
又因为，由解得.
又由图可知函数经过点，则，
又因为，所以，
所以函数.
(2)
因为，所以，所以，
令，，求，的最小值
即求，的最小值，
①当时，在区间[-1，2]上为增函数，
；
②当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，；
③当时，在区间[-1，2]上为减函数，
.
综上所述：.
3．(1)m＝4，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题设及同角三角函数平方关系有，令，根据已知条件、二次函数的性质及三角函数的对称性求参数m，以及的关系，进而求.
（2）由（1）得且恒成立，讨论t的范围，结合对勾函数的性质求参数m的范围.
(1)
,
设，在上，则，
若有三个不同解，则有两个不同的根，其中，，
所以，得：m＝4，
由得：，
由，知：两个解关于对称，即，
综上，；
(2)
由（1），当时，，
要使恒成立，即，得，
当t＝0时，不等式恒成立，
当t＞0时，恒成立，又，当且仅当时取等号，此时，
当t＜0时，，而时为减函数，而，此时，
综上，实数m的取值范围是．
4．
【解析】
【分析】
根据辅角公式可知其中，根据题意可知，再根据诱导公式，即可求出结果.
【详解】
因为，其中；
又当时，函数取最小值，
所以，即
所以，即，
所以.
5．(1)
(2)，．
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的图象和性质，求出 和的值即可，
（2）根据函数图象变换关系，求出以及的解析式，根据函数零点性质建立方程进行讨论求解即可．
(1)
解：①是偶函数；
②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；
③相邻两条对称轴之间距离为．
若选择①②，
由①是偶函数，．
即，
由②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；
则，得，即．
选择①③：
由①是偶函数，．
即，
由③知：相邻两条对称轴之间距离为．
，即，则，则，则．
若选②③：
③知：相邻两条对称轴之间距离为．
，即，则，则，则，
由②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；
，得，则，
综上．
(2)
解：依题意，将函数的图象向右平移个单位，得，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到，
可得，
所以，
当时，，则在内的零点个数为偶数个，
在内恰有2021个零点，为奇数个零点，故，
令，可得，令，，则，△，
则关于的二次方程必有两个不等的实根，，，且，则，异号，
①当，且时，则方程和在区间，均有偶数个根，从而在区间，有偶数个根，不符合题意；
②当，且时，则方程在区间有偶数个根，无解，从而方程在有偶数个根，不合题意．
同理，当且时，从而方程在有偶数个根，不合题意．
③当，，当时，只有一根，有两根，所
以关于的方程在有三个根，由于，
则方程在只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实解，在区间上有两个根．
所以关于的方程在区间上有2020个根．在区间上有2022个根．不合题意．
④当时，则，当时，只有一根，有两根，所以关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根．
由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根．
由于方程在区间上有两个实数根，在区间上只有一个实数根．
因此关于的方程在上有2021个根，
在区间上有2022个根，
因此．
所以解得，．
6．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据降幂公式、二倍角的正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）利用代入法，根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式进行求解即可.
(1)
，
当时，函数单调递增，
即，
所以函数的单调递增区间为；
(2)
由，
因为，所以，而，
所以，于是有，
7．(1)；
(2)1
【解析】
【分析】
（1）先把化简为，即可求出值域；
（2）先求出角B，利用余弦定理即可求出b.
(1)
.
当时，，所以，所以，
即函数的值域为.
(2)
因为锐角B满足，所以，解得：
在中，，，，
由余弦定理得：.
即边长.
8．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据三角函数的定义即可求sinα和cosα的值，再根据正弦的和角公式和二倍角公式即可求值；
(2)利用三角恒等变换化简f(x)解析式，再根据正弦型函数单调性求解即可.
(1)
当时，，，
∴，，；
(2)
，在第二象限，且，故，
，
令，k∈Z，
∴单调递增区间为.
9．(1)表格、图象见解析；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数的性质，在坐标系中描出上或的点坐标，再画出其图象即可.
（2）由正弦函数的性质得，，即可得解集.
(1)
由正弦函数的性质，上的五点如下表：
0
0 0 0
函数图象如下：
(2)
由，即，故，，
所以，，故不等式解集为，.
10．(1)
(2)
(3)最大值为2，最小值-1
【解析】
【分析】
（1）利用正弦函数的周期即可求得；
（2）先求出的解析式，再根据正弦函数的图像性质求解不等式；
（3）根据x∈，求得，再根据正弦函数的图像性质可得函数f（x）在的最大值和最小值.
(1)
，∴f（x）的最小正周期为；
(2)
∵ ∴ ∴
∴不等式成立的的取值集合为
(3)
∵，∴， ∴， -
∴﹣1≤≤2．
∴当，即时，f（x）的最小值为﹣1；
当，即时，f（x）的最大值为2.
11．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据周期可得答案；
（2）由条件可得，cos β＝，然后可算出答案.
(1)
由于函数f(x)的最小正周期为10π，
所以，所以
(2)
因为f ＝，
所以2cos＝2cos＝，
所以，
又因为f ＝，
所以，
所以cos β＝，
因为α，β∈，
所以，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
12．(1)
(2)对称中心为；图像变换见解析.
【解析】
(1)
设函数最小正周期为T，由图像可得：，解得：.而，解得：，所以.
由图像的最高点为，最低点为，可得：，解得：.
而图像的最高点为可得：，解得：.
所以.
(2)
因为的对称中心为，所以要求的对称中心，
只需令，解得：，即的对称中心为.
把的图像向左平移个单位，得到的图像；再将其图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图像；再将其图像上的各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图像；再将其向上平移个单位，得到的图像.
13．(1)表格见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意，根据五点法作图，利用正弦函数的性质，补充表格，并求出函数的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的单调性，求出实数的最小值．
(1)
解：作函数，，的简图时，
根据表格可得，，，．
结合五点法作图，，，故函数的解析式为．
列表如下：
0
0 3 0 0
(2)
解：因为，所以，若在区间内是单调函数，
则，且，解得，
故实数的最小值为．
14．(1)
(2)最大值为2，最小值为
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简可得，根据正弦型函数的单调性计算即可得出结果.
（2）由得，利用正弦函数的图像和性质计算即可得出结果.
(1)
令，得，
所以的单调增区间为
(2)
由得，
所以当，即时，取最大值2；
当，即时，取最小值.
15．
【解析】
【分析】
利用的关系，将目标函数化为二次函数，即可求其值域.
【详解】
令，则，
由，又，
则，则，故，
则
故，，
即该函数值域为：.
16．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)由于点是函数的图象上的最高点，∴由f(－1)＝即可求得的值；
(2)由图可求，再由θ的范围求出θ的值，从而可求．
(1)
点是函数的图象上的最高点，
Z，
又∵，∴k＝0，.
(2)
由图可知，，，，
，
，
.
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用两角和、差的余弦公式和正弦公式将化为只含有一个三角函数的形式，根据正弦函数的性质求得答案；
（2）根据求得，结合，求得
，再利用拆角的方法求得答案.
(1)
;
当时， ，
当 即时，单调递减，
故的单调递减区间为；
(2)
，即，
，故，
所以.
18．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先求出函数取最大值时的取值集合，即可得到，再根据函数在上是减函数，且，则的最大值为内使函数值为的值，即可求出的取值范围；
(1)
解：对于函数，
令，，
求得，．
故函数的单调递增区间为，．
(2)
解：令，，解得，．即时取得最大值
因为当时，取到最大值，所以．
又函数在上是减函数，且，
故的最大值为内使函数值为的值，
令，即，因为，所以，所以，解得，
所以的取值范围是．
19．(1)最小正周期， ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由周期公式可求得最小正周期,根据函数的最大值点可求得，将代入解析式，可求得A.
（2）根据角结合已知可求得，再利用两角差的正弦公式即可求得答案.
(1)
的最小正周期，
∵为最大值，则，，
而，故取，
∵函数图象过，∴，
(2)
，
∵，∴，∴，∴，
∴.
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意可知的图像在上至少有两个最高点，进而有，解不等式即可；
(2)根据题意可得，求出的取值范围，进而求出的取值范围，再根据正弦函数的单调性求出的取值范围即可得出结果.
(1)
由题意知，的图像在上至少有两个最高点.
因为，，所以，
因此，
解得，故的取值范围为.
(2)
依题意得，又，所以.
当时，，
又，，
所以，即.
当或时，；
当时，，又，则.
故的取值集合为.
答案第1页，共2页
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