2022届高三各地一模试卷解答题专题汇编——三角函数2 （word含解析）

三角函数
1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，再从条件①，②这两个条件中选择一个作为已知．
(1)求的内切圆半径r；
(2)设，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．若在上恰有3个不同的零点，，，求的范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数m的取值范围；
(2)是否同时存在实数a和正整数n，使得函数在上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．
3．已知函数f（x）＝2sin（2x＋）（x∈R）．
(1)求f（x）的最小正周期：
(2)求不等式成立的x的取值集合.
(3)求x∈的最大值和最小值.
4．已知函数，．
(1)求函数的最小正周期以及函数在区间上的最大值和最小值；
(2)将函数图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，求实数的取值范围．
5．设函数，其中.
(1)求函数的值域；
(2)若，讨论在区间上的单调性；
(3)若在区间上为增函数，求的最大值.
6．降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为，且经过点
(1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
(2)先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象．若锐角满足，求的值．
7．已知函数（其中，）的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，且直线是函数图象的一条对称轴.
(1)求的值；
(2)求的单调递减区间；
(3)若，求的值域.
8．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求使成立的的取值集合.
9．已知．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，函数的值域为，求实数的范围．
10．已知，设函数．
(1)若，求函数f（x）的单调递增区间；
(2)试讨论函数f（x）在[－a，2a]上的值域．
11．已知函数.
(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出函数在区间上的图像.
(2)解不等式.
12．设，，若函数恰好有三个不同的零点，分别为 .
(1)求的取值范围；
(2)求的值.
13．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)将的图象上的各点________得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围．
在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分.
①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半．
②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位．
14．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性及单调性；
(2)若对于任意正实数，不等式恒成立，求的取值范围．
15．已知函数（m∈R）．
(1)若关于x的方程在区间上有三个不同解，求m与的值；
(2)对任意，都有，求m的取值范围．
16．某同学作函数f (x) = Asin(x +)在一个周期内的简图时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
-3
(1)请将上表数据补充完整，并求出f (x)的解析式；
(2)若f (x)在区间(m，0)内是单调函数，求实数m的最小值.
17．已知函数．
(1)求和对称轴方程；
(2)当时，求函数的值域．
18．已知函数，，.
(1)求函数的定义域；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围.
19．求函数的最大值．
20．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，求在区间上的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）若选条件①，可将“”变为“”进行约分化简，即可求解角；若选条件②，可使用正弦定理进行边角转化，使用角度拆分和合并同类项即可求解角，然后根据已知条件求解出，然后借助完成内切圆半径的求解；
（2）先对函数进行化简，然后根据已知求解出，然后设函数，求解出在的值域，并画图对应的图像，观察交点情况，确定零点，，的取值和范围.
(1)
若选条件①，，
∴，又，
∴，
又，∴．
若选条件②，
由，
∴，
∴，
，，
又，∴．
（1）由，∴，
在中，由余弦定理，
∴，∴，
∴，又，
∴．
(2)
由．
由题知，∴，从而．
由题知在上与有3个交点．
又在的大致图象如图，
由图可知，，
而，∴．
2．(1)；
(2)存在；当时，；当时， ；当时， .
【解析】
【分析】
（1）求得在区间上的值域，根据二次函数在区间上恒成立问题的等价转化，即可求得的不等关系，求解即可；
（2）根据题意，对参数进行分类讨论，
(1)
当时， ，
，则
要使对任意恒成立，
令，则对任意恒成立，
只需，解得，
实数的取值范围为．
(2)
假设同时存在实数和正整数满足条件，函数在上恰有2021个零点，
即函数与直线在上恰有2021个交点，
故数形结合分类讨论如下：
①当或时，函数与直线在上无交点；
②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，
此时要使函数与直线在上有2021个交点，则；
③当或时，函数直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有2021个交点，不符合；
④当时，函数与直线在上有3个交点，
此时要使函数与直线在上恰有2021个交点，则；
综上所述，存在实数和正整数满足条件：
当时，；当时， ；当时， .
【点睛】
本题考查三角函数值域的求解以及图象的绘制、涉及恒成立问题的处理，以及函数零点问题的求解，属综合困难题.
3．(1)
(2)
(3)最大值为2，最小值-1
【解析】
【分析】
（1）利用正弦函数的周期即可求得；
（2）先求出的解析式，再根据正弦函数的图像性质求解不等式；
（3）根据x∈，求得，再根据正弦函数的图像性质可得函数f（x）在的最大值和最小值.
(1)
，∴f（x）的最小正周期为；
(2)
∵ ∴ ∴
∴不等式成立的的取值集合为
(3)
∵，∴， ∴， -
∴﹣1≤≤2．
∴当，即时，f（x）的最小值为﹣1；
当，即时，f（x）的最大值为2.
4．(1)；最大值为，最小值；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题可得，再利用正弦函数的性质即求；
（2）由题可得，利用正弦函数的性质可知在上单调递增，进而可得，即得.
(1)
∵，，
∴
，
∴函数的最小正周期为，
当时，，，
∴，
故函数在区间上的最大值为，最小值；
(2)
由题可得，
由，可得，故在上单调递增，
又，，
由可得，
，解得，
∴实数的取值范围为.
5．(1)
(2)在区间上单调递增，在上单调递减
(3)
【解析】
【分析】
（1）首先化简函数，再求函数的值域；
（2）利用代入法，求的范围，再结合函数的性质，即可求解函数的单调性；
（3）由（1）可知，，首先求的范围，再根据函数的单调区间，求的最大值.
(1)
，
所以函数的值域是；
(2)
时，，
当，，
当，即时，函数单调递增，
当，即时，函数单调递减，
所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是；
(3)
若，则，
若函数在区间上为增函数，
则，解得：，
所以的最大值是.
6．(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式，再由可得出函数的解析式；
（2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由已知条件可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值.
(1)
解：由已知可得，，可得，
所以，，得，
因为，则，故，
.
(2)
解；将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数的图象，
再将所得函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，则，
因为，则，
，则，故.
7．(1)2
(2)
(3)
【解析】
【分析】
小问1：先求解函数周期再求得参数的值；
小问2：根据对称轴求出的值，结合正弦函数单调减区间定义即可求解；
小问3：因为，所以，结合正弦函数的值域即可求出结果．
(1)
因为函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，
所以函数的周期，所以．
(2)
因为直线是函数图象的一条对称轴，
所以，.又，所以．
所以函数的解析式是．
令，
解得．
所以函数的单调递减区间为．
(3)
因为，所以.所以，即函数的值域为．
8．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据图象依次求得的值，从而求得的解析式.
（2）解三角不等式求得的取值集合.
(1)
由图可知，.
的最小正周期，所以.
因为，
所以，，解得，.
又，所以，故.
(2)
，
解得，，
所以.
9．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先求出函数取最大值时的取值集合，即可得到，再根据函数在上是减函数，且，则的最大值为内使函数值为的值，即可求出的取值范围；
(1)
解：对于函数，
令，，
求得，．
故函数的单调递增区间为，．
(2)
解：令，，解得，．即时取得最大值
因为当时，取到最大值，所以．
又函数在上是减函数，且，
故的最大值为内使函数值为的值，
令，即，因为，所以，所以，解得，
所以的取值范围是．
10．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题设写出的分段函数形式，结合余弦函数的性质分别求出不同分段上的递增区间.
（2）由题设可得且，由正弦函数的性质，讨论端点的位置并求出对应的值域范围.
(1)
由题设，，
所以，根据余弦函数的性质：
当时，在上递增；
当时，在上递增；
(2)
由题设，，则，又，即，
所以，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
11．(1)表格、图象见解析；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数的性质，在坐标系中描出上或的点坐标，再画出其图象即可.
（2）由正弦函数的性质得，，即可得解集.
(1)
由正弦函数的性质，上的五点如下表：
0
0 0 0
函数图象如下：
(2)
由，即，故，，
所以，，故不等式解集为，.
12．(1)；
(2)。
【解析】
【分析】
（1）由函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合即得；
（2）根据三角函数的对称性，求出函数的对称轴，结合图象进行求解即可.
(1)
由得，
若函数恰好有三个不同的零点，等价于函数与的图象有三个交点，作出函数的图象如图，
由题知，则，
即的取值范围为.
(2)
由，得对称轴，
，由，解得，
当时，对称轴，时，对称轴,
由图象可知，点、关于直线对称，则，
点、关于直线对称，则，
因此，.
13．(1)；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换化简，再求其最小正周期即可；
（2）选择不同的条件，根据三角函数的图象变换求得的解析式，再求其在区间上的值域即可.
(1)
因为
所以函数的最小正周期．
(2)
若选择①，
由（1）知，那么将图象上各点向左平移个单位，
再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到．
当时，可得，，，
由方程有解，可得实数m的取值范围为．
若选择②，
由（1）知，那么将图象上各点纵坐标保持不变，
横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到．
当时，，，
由方程有解，可得实数m的取值范围为．
14．(1)详见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用奇偶性的定义及单调性的定义即得；
（2）利用函数单调性可得，然后利用基本不等式可得，再利用正弦函数的性质即求.
(1)
∵函数，定义域为R，
∴，
故函数为奇函数，
又，
，且，则
，
∵，
∴，
∴，即，
∴函数为减函数；
(2)
由，可得
对于任意正实数，恒成立，
∴恒成立，
又，当且仅当时取等号，
∴，即，
∴，
∴的取值范围为，
15．(1)m＝4，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题设及同角三角函数平方关系有，令，根据已知条件、二次函数的性质及三角函数的对称性求参数m，以及的关系，进而求.
（2）由（1）得且恒成立，讨论t的范围，结合对勾函数的性质求参数m的范围.
(1)
,
设，在上，则，
若有三个不同解，则有两个不同的根，其中，，
所以，得：m＝4，
由得：，
由，知：两个解关于对称，即，
综上，；
(2)
由（1），当时，，
要使恒成立，即，得，
当t＝0时，不等式恒成立，
当t＞0时，恒成立，又，当且仅当时取等号，此时，
当t＜0时，，而时为减函数，而，此时，
综上，实数m的取值范围是．
16．(1)表格见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意，根据五点法作图，利用正弦函数的性质，补充表格，并求出函数的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的单调性，求出实数的最小值．
(1)
解：作函数，，的简图时，
根据表格可得，，，．
结合五点法作图，，，故函数的解析式为．
列表如下：
0
0 3 0 0
(2)
解：因为，所以，若在区间内是单调函数，
则，且，解得，
故实数的最小值为．
17．(1)，对称轴方程为
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，可计算得出的值，解方程可得出函数图象的对称轴方程；
（2）由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的值域.
(1)
解：，
所以，，
由得，
所以，函数图象的对称轴方程为.
(2)
解：当时，，则，故，
因此，当时，函数的值域为.
18．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用同角关系式及三角函数的符号可得，然后利用对数函数及余弦函数的性质即求；
（2）由题可得，结合条件可得，然后利用正弦函数的性质可得，即求.
(1)
∵函数，
∴，又，
∴，
∴，
同理，
∴，
由，得，
由，得，
即，
∴函数的定义域为；
(2)
∵，
∴在区间上为增函数，
∴，，
∴，
令，；解之得，
则函数的单调递增区间为，，
∴，解之得，，又，
∴，
∴.
19．.
【解析】
【分析】
根据给定条件利用诱导公式、三角恒等变形公式化简函数，再借助正弦函数的性质计算作答.
【详解】
依题意，，
当，即时，取得最大值1，
则当时，，
所以，函数的最大值是.
20．(1)；
(2)－2.
【解析】
【分析】
(1)化简f(x)解析式，根据正弦函数复合函数单调性即可求解；
(2)根据求出的范围，再根据正弦函数最值即可求解.
(1)
.
由得f(x)的单调递增区间为：；
(2)
将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，
则.
，∴.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页