2022届高三各地一模试卷解答题专题汇编——三角函数3 （word含解析）

三角函数
1．已知函数．
(1)求函数的周期；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
2．已知函数．
(1)求函数在上的单调递增区间；
(2)将函数代的图象向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度得到函数的图象，求函数在上的取值范围．
3．求下列函数的最大值：
(1)；
(2)．
4．如图所示，已知是半径为1，圆心角为的扇形，四边形是扇形的内接矩形，，两点在圆弧上，是的平分线，在上，连接，记，则角为何值时矩形的面积最大？并求最大面积．
5．设在区间单调，且都有
(1)求的解析式；
(2)用“五点法”作出在的简图，并写出函数在的所有零点之和.
6．已知函数（，），若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点．
(1)当时，求函数的值域；
(2)记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
7．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
8．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数，的最小值.
9．已知函数，.
(1)求；
(2)若函数只有一个零点，求实数的取值集合.
10．已知为锐角，.
(1)求的值；
(2)求函数的对称中心和单调区间.
11．在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为：，以极点为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数，）．
(1)求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；
(2)若 为曲线 上的动点，点 到直线 的距离的最大值为 ，求 的值．
12．已知函数（其中，）的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，且直线是函数图象的一条对称轴.
(1)求的值；
(2)求的单调递减区间；
(3)若，求的值域.
13．如图，矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上，且矩形ABCD的周长为l．如果AB与的夹角为，那么当为何值时，矩形的周长最大？
14．已知向量．记．
(1)求的对称中心；
(2)若，求的取值范围．
15．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.
16．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 若关于的 方程在上有 2 个不等的实数解， 求实数的取值范围．
17．降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为，且经过点
(1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
(2)先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象．若锐角满足，求的值．
18．已知函数的部分图象如图所示，图象与轴交于点．
(1)求函数的最小正周期及，的值；
(2)已知，，求的值，
19．若函数的一部分图象如图所示，，为图象上的两个顶点．设，其中O为坐标原点，．
(1)求的值；
(2)求的值．
20．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设，求的最值及相应的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)， ；
【解析】
【分析】
（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
(1)
解：因为，所以，所以函数的最小正周期
(2)
解：因为，所以，所以，所以，即当时函数取得最小值，当时函数取值最大值；
2．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先根据诱导公式和两角和与差的正弦公式化简，然后根据余弦的单调性特点求得单调区间即可；
（2）先通过进行平移、伸缩变换得到的表达式，再通过余弦函数的单调性即可求得的值域
(1)
又，可得：
由于函数在上单调递增，
故函数的单调递增区间为
(2)
函数向右平移个单位，得到的图象，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度得到函数的图象
又，可得：
故
可得：
故函数的值域为：
3．(1)2；
(2).
【解析】
【分析】
(1)利用辅助角公式化简函数，再借助余弦函数的性质求解作答.
(2)利用和角的正弦公式、辅助角公式化简变形函数，再借助正弦函数的性质求解作答.
(1)
，
当，即时，取最大值1，，
所以函数的最大值是2.
(2)
，
当，即时，取最大值1，，
所以最大值是.
4．当角时，矩形的面积最大，最大面积为.
【解析】
【分析】
先把矩形的各个边长用角的三角函数表示出来，进而表示出矩形的面积；再利用角的范围结合三角函数的性质即可求出矩形面积的最大值．
【详解】
如图所示，
设交于，交于，显然矩形 关于对称，而分别为，的中点，在 中，，，
所以，
即，而，
故矩形的面积
因为，所以，所以.
故当，即时，取得最大值，此时，
所以矩形面积的最大值为.
5．(1)
(2)图象见解析，所有零点之和为
【解析】
【分析】
（1）依题意在时取最大值，在时取最小值，再根据函数在单调，即可得到，即可求出，再根据函数在取得最大值求出，即可求出函数解析式；
（2）列出表格画出函数图象，再根据函数的对称性求出零点和；
(1)
解：依题意在时取最大值，在时取最小值，又函数在区间单调，所以，即，又，所以，
由得，即，
又因为，所以，，
所以.
(2)
解：列表如下
0
0 0 1
所以函数图象如下所示：
由图知的一条对称轴为有两个实数根，记为，
则由对称性知，所以所有实根之和为.
6．(1)
(2)，n=5
【解析】
【分析】
（1）根据题设条件可求的值，再利用整体法可求函数的值域.
（2）结合图象特征可求的值．
(1)
的图象的相邻两对称轴间的距离为，故，故，故，
因为图象过点，故，
故，故.
当时，，，
故函数的值域为.
(2)
在上的图象如图所示：
因此与的图象在上共有5不同的交点，
这些交点的横坐标从小到大依次为，，…，, 故n=5.
令，则，
故的图象在内的对称轴分别为：
，，，，，
结合图象可得，，，
，
故.
7．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.
(1)
令，则
所以，单调减区间是.
(2)
由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，则，，
，所以.
8．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由图象可得出的最大值和最小正周期，可求得、的值，再由结合的取值范围可求得的值，进而可求得函数的解析式；
（2）由，求得，令，即求，的最小值，讨论二次函数的对称轴即可求得结果.
(1)
由图可知.
设函数的最小正周期为T，则，所以，
又因为，由解得.
又由图可知函数经过点，则，
又因为，所以，
所以函数.
(2)
因为，所以，所以，
令，，求，的最小值
即求，的最小值，
①当时，在区间[-1，2]上为增函数，
；
②当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，；
③当时，在区间[-1，2]上为减函数，
.
综上所述：.
9．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合二倍角公式、两角和的余弦公式，辅助角公式化简可得，再代入，计算即可；
（2）令，，原问题可转化为在，上只有一个解，再根据正弦函数的图象，即可得解．
(1)
，
所以．
(2)
因为，，所以，，
令，则，，所以，
函数只有一个零点等价于方程只有一个解，
即，也即在，上只有一个解，
根据正弦函数的图象，可得或1，
所以，，
故实数的取值集合为，0，．
10．(1)；
(2)对称中心为,单调增区间为，无减区间.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式化简可得，即求；
（2）利用正切函数的性质即得.
(1)
∵，
∴，又为锐角，
∴；
(2)
由题知函数，
由，得，
∴函数的对称中心为；
由，得，
∴函数的单调增区间为，无减区间.
11．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用、直接变形即可得出的直角坐标方程；对直线的参数方程直接消去t即可；
(2)由(1)可得曲线C的参数方程，利用点到直线的距离公式得出关于的三角函数，结合三角函数的性质即可得出结果.
(1)
由 得 ，
因为 ，，
所以曲线的直角坐标方程为：．
由 ，消去参数，得直线 的普通方程为：．
(2)
由（）可得曲线 的参数方程为 （为参数）．
由点到直线的距离公式，
得点 到直线 的距离 ．
因为 ，所以 ，
又 ，所以当 时，，得 ；
当 时，，得 ．所以 ．
12．(1)2
(2)
(3)
【解析】
【分析】
小问1：先求解函数周期再求得参数的值；
小问2：根据对称轴求出的值，结合正弦函数单调减区间定义即可求解；
小问3：因为，所以，结合正弦函数的值域即可求出结果．
(1)
因为函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，
所以函数的周期，所以．
(2)
因为直线是函数图象的一条对称轴，
所以，.又，所以．
所以函数的解析式是．
令，
解得．
所以函数的单调递减区间为．
(3)
因为，所以.所以，即函数的值域为．
13．.
【解析】
【分析】
用矩形的邻边AB，AD结合角表示出矩形的周长，借助三角函数性质求解作答.
【详解】
依题意，在中，，，
而，在中，，，
又，，则有，
因此，，，
于是得矩形的周长，
因是AB与的夹角，则当时，取得最大值1，，
所以当时，矩形的周长最大.
14．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据数量积的坐标运算，根据辅角公式可得，再令，即可求出结果；
（2）由，可得，再根据三角函数的性质，即可求出结果.
(1)
解：由题知：
令
∴
∴的对称中心为；
(2)
解：由（1）知：
∵；
∴，
∴.
15．(1)证明见解析
(2)（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间”
【解析】
【分析】
（1）利用来证得结论成立.
（2）（i）通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.
（ii）对的取值进行分类讨论，结合的单调性以及（1）的结论求得唯一的“和谐区间”.
(1)
由已知当时，，
得，
所以当时，.
(2)
（i）时，假设存在，则由知，注意到，
故，所以在单调递增，
于是，即是方程的两个不等实根，
易知不是方程的根，
由已知，当时，，令，则有时，，即，
故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.
（ii）时，假设存在，则由知
若，则由，知，与值域是矛盾，
故不存在“和谐区间”，
同理，时，也不存在，
下面讨论，
若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.
若，当时，同理可得，舍去，
当时，在上单调递减，所以
，于是，
若即，则，故，
与矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的“和谐区间”.
【点睛】
对于“新定义”的题目，关键是要运用新定义的知识以及原有的数学知识来进行求解.本题有两个“新定义”，一个是泰勒发现的公式，另一个是“和谐区间”.泰勒发现的公式可以直接用于证明，“和谐区间”可转化为函数的单调性来求解.
16．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简，由周期公式求解即可；
（2）先求出的解析式，再把所求转化为方程在上有2个不等的实数解，令，根据图象即可求得结论．
(1)
解：
，即，
所以函数的最小正周期为．
(2)
解：由已知可得，
方程在上有2个不等的实数解，
即方程在上有2个不等的实数解．
令，
因为，，，，，
令，则，，
作出函数图象如下图所示：
要使方程在上有2个不等的实数解，
则．
17．(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式，再由可得出函数的解析式；
（2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由已知条件可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值.
(1)
解：由已知可得，，可得，
所以，，得，
因为，则，故，
.
(2)
解；将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数的图象，
再将所得函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，则，
因为，则，
，则，故.
18．(1)最小正周期， ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由周期公式可求得最小正周期,根据函数的最大值点可求得，将代入解析式，可求得A.
（2）根据角结合已知可求得，再利用两角差的正弦公式即可求得答案.
(1)
的最小正周期，
∵为最大值，则，，
而，故取，
∵函数图象过，∴，
(2)
，
∵，∴，∴，∴，
∴.
19．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)由于点是函数的图象上的最高点，∴由f(－1)＝即可求得的值；
(2)由图可求，再由θ的范围求出θ的值，从而可求．
(1)
点是函数的图象上的最高点，
Z，
又∵，∴k＝0，.
(2)
由图可知，，，，
，
，
.
20．(1)
(2)时，函数的最小值为；时，函数的最大值为2
【解析】
【分析】
（1）先把函数化为，即可求出的单调递增区间；
（2）当时，，直接根据单调性即可求出的最值及相应的值.
(1)
由
解得
所以函数的单调递增区间为.
(2)
当时，，
所以函数在上单增，在上单减，
则当，即时，函数的最小值为，
当，即时，函数的最大值为2.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页