2022届高三各地一模试卷解答题专题汇编——三角函数4

三角函数
1．锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
2．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求使成立的的取值集合.
3．已知函数f（x）＝2sin（2x＋）（x∈R）．
(1)求f（x）的最小正周期：
(2)求不等式成立的x的取值集合.
(3)求x∈的最大值和最小值.
4．已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)当时，求函数的最大值和最小值；
(2)将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，求的值.
5．求函数在区间上的最大值和最小值．
6．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若，且，求的取值集合．
7．已知函数，.
(1)求函数在区间的值域；
(2)若对任意的，都存在，使得成立，求正实数a的取值范围.
8．求下列函数的最大值：
(1)；
(2)．
9．已知函数（，，，为常数）的一段图象如图.
(1)求函数的解析式；
(2)求这个函数的对称中心，并说明它是由正弦曲线如何变换得到的.
10．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.
11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.据工作人员介绍，某个摩天轮直径125米，逆时针方向匀速运行一周约需30分钟.以摩天轮的圆心为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若游客甲从最低点处坐上摩天轮（点与地面的距离忽略不计）
(1)试将游客甲离地面的距离表示为坐上摩天轮的时间的函数；
(2)若游客乙在甲后的分钟也在点处坐上摩天轮，则在乙坐上摩天轮后的多少分钟甲乙的垂直距离首次达到最大？
12．如图，PQMN是半圆的内接矩形，是等腰三角形（P与R在直线OA的两侧），半圆的半径，，，记．
(1)当角取何值时，矩形PQMN的面积最大？
(2)当角取何值时，五边形PQMRN的面积S最大？并求出这个最大值．
13．已知函数
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)当时，求的值域.
14．设，，若函数恰好有三个不同的零点，分别为 .
(1)求的取值范围；
(2)求的值.
15．已知函数的部分图象如图所示，其中.
(1)求的值；
(2)若角是的一个内角，且，求的值.
16．已知函数．
(1)求函数的周期；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
17．已知函数，且最小正周期为.
(1)求的单调增区间；
(2)若关于的方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围.
18．设函数.
(1)求的单调增区间；
(2)求在上的最大值与最小值.
19．已知函数（，），若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点．
(1)当时，求函数的值域；
(2)记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
20．已知，设函数．
(1)若，求函数f（x）的单调递增区间；
(2)试讨论函数f（x）在[－a，2a]上的值域．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用正弦定理边化角，借助和差角的正弦公式变形，再用三角函数性质推理作答.
(2)利用正弦定理边化角，由(1)及余弦函数的性质计算作答.
(1)
在中，由正弦定理及得：，
即,
，
因是锐角三角形，即，有，而正弦函数在上递增，
于是得，即，
所以.
(2)
由(1)及已知得，，解得，,
由正弦定理得，
所以的取值范围是.
2．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据图象依次求得的值，从而求得的解析式.
（2）解三角不等式求得的取值集合.
(1)
由图可知，.
的最小正周期，所以.
因为，
所以，，解得，.
又，所以，故.
(2)
，
解得，，
所以.
3．(1)
(2)
(3)最大值为2，最小值-1
【解析】
【分析】
（1）利用正弦函数的周期即可求得；
（2）先求出的解析式，再根据正弦函数的图像性质求解不等式；
（3）根据x∈，求得，再根据正弦函数的图像性质可得函数f（x）在的最大值和最小值.
(1)
，∴f（x）的最小正周期为；
(2)
∵ ∴ ∴
∴不等式成立的的取值集合为
(3)
∵，∴， ∴， -
∴﹣1≤≤2．
∴当，即时，f（x）的最小值为﹣1；
当，即时，f（x）的最大值为2.
4．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，从而可求得，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案；
（2）求出平移后的函数的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性即可得出答案.
(1)
解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，所以，所以，
所以，
当时，，
所以当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
所以；
(2)
解：函数的图象向左平移个单位后，
得到函数，
因为为偶函数，
所以，
所以，
又因为，所以.
5．最大值为，最小值为0.
【解析】
【分析】
先利用三角公式化简得到，直接求出的最大值和最小值.
【详解】
.
因为，所以，所以，
即，
所以的最大值为，最小值为0.
6．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由图可知，，可求出，再将点的坐标代入函数中可求出的值，从而可求出函数的解析式，
（2）由，可得，可求得或，再结合，可求出的取值集合，
(1)
由图知，，，解得，
即．
由图知，函数的图象过点．
∴，
∴，
∵，∴，
∴．
(2)
令，则，
∴或，
解得或．
∵，
∴当时，或；
当时，或．
综上，的取值集合为．
7．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用函数的单调性求函数的值域；
（2）由（1）得，构造函数，判断其单调性，求出其最大值，即即可，对正实数分类讨论即可.
(1)
∵函数，
∴在为单调递增函数，
∴的最小值为，的最大值为，
即函数在的值域为.
(2)
由（1）知当时，有，
则，即，
令函数，任取，，且，
，
∵，且，，
∴
，
∴函数在单调递增，
∴的最大值为，即最大值为.
若满足题设条件只需满足，即，
①当，即时，
有，解得，即，
②当，即时，有，解得，与条件不符，所以，
综上所述：正实数a的取值范围是.
8．(1)2；
(2).
【解析】
【分析】
(1)利用辅助角公式化简函数，再借助余弦函数的性质求解作答.
(2)利用和角的正弦公式、辅助角公式化简变形函数，再借助正弦函数的性质求解作答.
(1)
，
当，即时，取最大值1，，
所以函数的最大值是2.
(2)
，
当，即时，取最大值1，，
所以最大值是.
9．(1)
(2)对称中心为；图像变换见解析.
【解析】
(1)
设函数最小正周期为T，由图像可得：，解得：.而，解得：，所以.
由图像的最高点为，最低点为，可得：，解得：.
而图像的最高点为可得：，解得：.
所以.
(2)
因为的对称中心为，所以要求的对称中心，
只需令，解得：，即的对称中心为.
把的图像向左平移个单位，得到的图像；再将其图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图像；再将其图像上的各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图像；再将其向上平移个单位，得到的图像.
10．(1)证明见解析
(2)（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间”
【解析】
【分析】
（1）利用来证得结论成立.
（2）（i）通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.
（ii）对的取值进行分类讨论，结合的单调性以及（1）的结论求得唯一的“和谐区间”.
(1)
由已知当时，，
得，
所以当时，.
(2)
（i）时，假设存在，则由知，注意到，
故，所以在单调递增，
于是，即是方程的两个不等实根，
易知不是方程的根，
由已知，当时，，令，则有时，，即，
故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.
（ii）时，假设存在，则由知
若，则由，知，与值域是矛盾，
故不存在“和谐区间”，
同理，时，也不存在，
下面讨论，
若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.
若，当时，同理可得，舍去，
当时，在上单调递减，所以
，于是，
若即，则，故，
与矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的“和谐区间”.
【点睛】
对于“新定义”的题目，关键是要运用新定义的知识以及原有的数学知识来进行求解.本题有两个“新定义”，一个是泰勒发现的公式，另一个是“和谐区间”.泰勒发现的公式可以直接用于证明，“和谐区间”可转化为函数的单调性来求解.
11．(1)；
(2)分钟.
【解析】
【分析】
（1）求出点的纵坐标为，即得解；
（2）求出甲乙的垂直距离为，再利用三角函数的性质求解.
(1)
解：圆的半径为米，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，
设经过分钟后甲到达，则，
由三角函数定义知点的纵坐标为，
则其离地面的距离为
(2)
解：由（1）可知游客乙离地面的距离
，
其中时间表示游客甲坐上摩天轮的时间.
则甲乙的垂直距离为
，
当，
即时，甲乙离地面距离达到最大
所以，即游客乙坐上摩天轮分钟后，甲乙的垂直距离首次达到最大.
12．(1)；
(2)当时，五边形PQMRN的面积S取得最大值，最大值为.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件用角正弦、余弦表示出矩形PQMN的面积，再利用三角函数性质计算作答.
(2)利用(1)中信息，把S表示成角的函数，再借助函数性质计算作答.
(1)
在中，，，，则，
于是得矩形PQMN的面积，显然当时，，
所以当时，矩形PQMN的面积最大．
(2)
由(1)知，矩形PQMN的面积，又，，，
则，
五边形PQMRN的面积
，
因，即，则当时，即时，，
所以当时，五边形PQMRN的面积S取得最大值，最大值为.
13．(1)函数的最小正周期是，单调递增区间是，
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先化简函数，再求函数的性质；
（2）由（1）先求的范围，再求函数的值域.
(1)
，
，函数的最小正周期是，
令，，解得：，
所以函数的单调递增区间是，；
(2)
，，
，所以的值域是
14．(1)；
(2)。
【解析】
【分析】
（1）由函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合即得；
（2）根据三角函数的对称性，求出函数的对称轴，结合图象进行求解即可.
(1)
由得，
若函数恰好有三个不同的零点，等价于函数与的图象有三个交点，作出函数的图象如图，
由题知，则，
即的取值范围为.
(2)
由，得对称轴，
，由，解得，
当时，对称轴，时，对称轴,
由图象可知，点、关于直线对称，则，
点、关于直线对称，则，
因此，.
15．(1)，，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据图象的特征，列式确定的值；
（2）根据（1）的结果，代入解析式，得，结合同角三角函数基本关系式，即可求解.
(1)
由图象可知， ，解得：，，
，解得：，
当时，，得，
因为，所以，
综上可知，，，，；
(2)
由（1）可知，
，即,
因为，解得：
16．(1)
(2)， ；
【解析】
【分析】
（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
(1)
解：因为，所以，所以函数的最小正周期
(2)
解：因为，所以，所以，所以，即当时函数取得最小值，当时函数取值最大值；
17．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得，再用整体法求函数单调增区间即可；
（2）根据（1）中所求函数单调性，结合函数的值域，即可求得参数的值.
(1)
因为函数最小正周期为，故可得，解得，
则，
令，解得.
故的单调增区间是：.
(2)
因为，由（1）可知，在单调递增，在单调递减，
又，，，
故方程在上有且只有一个解，只需.
故实数的取值范围为.
18．(1)
(2)最大值为2，最小值为
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简可得，根据正弦型函数的单调性计算即可得出结果.
（2）由得，利用正弦函数的图像和性质计算即可得出结果.
(1)
令，得，
所以的单调增区间为
(2)
由得，
所以当，即时，取最大值2；
当，即时，取最小值.
19．(1)
(2)，n=5
【解析】
【分析】
（1）根据题设条件可求的值，再利用整体法可求函数的值域.
（2）结合图象特征可求的值．
(1)
的图象的相邻两对称轴间的距离为，故，故，故，
因为图象过点，故，
故，故.
当时，，，
故函数的值域为.
(2)
在上的图象如图所示：
因此与的图象在上共有5不同的交点，
这些交点的横坐标从小到大依次为，，…，, 故n=5.
令，则，
故的图象在内的对称轴分别为：
，，，，，
结合图象可得，，，
，
故.
20．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题设写出的分段函数形式，结合余弦函数的性质分别求出不同分段上的递增区间.
（2）由题设可得且，由正弦函数的性质，讨论端点的位置并求出对应的值域范围.
(1)
由题设，，
所以，根据余弦函数的性质：
当时，在上递增；
当时，在上递增；
(2)
由题设，，则，又，即，
所以，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页