2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.2矩形的性质与判定同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的性质与判定》同步练习题（附答案）
1．已知四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是（　　）
A．AC⊥BD B．∠ABC＝90°
C．AC与BD互相平分 D．AB＝BC
2．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）
A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC
3．如图，?ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（　　）
A．BE＝EO B．EO＝AC C．AC⊥BE D．AE＝AF
4．如图，矩形ABCD中，AB＝，四边形ABC1D1是平行四边形，点D1在BC边上且AD1＝AD，△ABD1的面积是矩形ABCD面积的，则平行四边形ABC1D1的面积是（　　）
A．2 B．3 C．2 D．3
5．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是（1，5），（4，1），点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为 　 　．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上（不与点A，B重合），DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF．若AC＝3，BC＝2，则EF的最小值为　 　．
7．如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图…．若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30．则（1）PQ＝　 　；（2）第n个矩形的边长分别是　 　．
8．矩形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一部分是平行四边形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为 　 　．
9．如图，在长方形ABCD中，点E是BC上一点，连结AE，以AE为对称轴作△ABE的轴对称图形△AB′E，延长EB′恰好经过点D，过点E作EF⊥BC，垂足为E，交AB′于点F，已知AB＝9，AD＝15，则EF＝　 　．
10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为 　 　．
11．如图，在矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，连接OE，若AD＝6，AB＝8，则OE＝　 　．
12．已知：如图，在?ABCD中，延长DC至点E，使得DC＝CE，连结AE交BC于点F．连结AC，BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形．
（2）若∠AFC＝2∠D，求证：四边形ABEC是矩形．
13．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，过A点作AF∥BC，且AF＝BD，连接CF交AD于点E．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD形状，并说明理由．
14．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
15．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．
16．如图，在平行四边形ABCD中，点M，N是AD边上的点，BM，CN交于点O，AN＝DM，BM＝CN．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BOC＝90°，MN＝1，AM?MD＝12，求矩形ABCD的面积．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
18．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值．
19．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．
（1）若AB＝2，AD＝3，求EF的长；
（2）若G是EF的中点，连接BG和DG，求证：DG＝BG．
20．如图，在长方形ABCD中，在边AB，BC上分别取点E，F，使得BE＝3AE，CF＝2BF，CE与DF交于点O，设AB＝a，BC＝b，三角形FOC的面积为x
（1）请用含a，b，x的代数式表示三角形COD的面积；
（2）连接OA，OB，若三角形AOB的面积为10，三角形COD的面积为8时，求长方形ABCD的面积；
（3）当AB＝4，BC＝9时，求x的值．
参考答案
1．解：四边形ABCD中AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是AC与BD互相平分，理由如下：
∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AD＝DE，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB＝BE，DE＝AD，
∴BD⊥AE，
∴?DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B、∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
∴?DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
C、∵∠ADB＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∴?DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；
B、EO＝AC时，EF＝AC，
∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；
C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；
D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；
故选：B．
4．解：∵点D1在BC边上，且△ABD1的面积是矩形ABCD面积的，
∴，
∴BD1＝AD，
又∵AD1＝AD，
∴BD1＝AD1，
设BD1＝2x，则AD1＝3x，
在Rt△ABD1中，BD12+AB2＝AD12，
∴（2x）2+（）2＝（3x）2，
解得：x＝±1（负值舍去），
∴BD1＝2，AD1＝3，
∵点D1在BC边上，
∴平行四边形ABC1D1的面积＝2S△ABD1＝2×，
故选：C．
5．解：如图，
当AB为对角线时，观察图象可知D（5，3）．
当AB为矩形的边时，观察图象可知D2（﹣3，2），
∴直线AD2的解析式为y＝x+，
∴C1（0，），
∵AC1＝BD1，
∴D1（3，），
综上所述，满足条件的点D的坐标为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．
故答案为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．
6．解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴AB＝＝＝，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC?AC＝AB?CD，
即 ×2×3＝××CD，
解得：CD＝，
∴EF＝，
故答案为：．
7．解：（1）∵AM⊥MB，且M为CD的中点，AM＝MB，
∴∠DAM＝∠DMA，∴AD＝DM＝CD，
又已知矩形ABCD的周长为30，所以CD＝10，
所以PQ＝
故答案为5，
（2）由第一问求得：第一个矩形的长为：10，宽为5，
又点P、Q是AM、BM的中点，所以之后得到的矩形长宽比例为2：1，
在△ABM中，PQ＝5，则宽为，
则可得出：第n个矩形的边长分别是10×，5×，
故答案为10×，5×，
8．解：∵矩形ABCD的面积是ab，
阴影部分的面积是：ac+bc﹣c2，
∴图中空白部分的面积是：ab﹣（ac+bc﹣c2）＝ab﹣bc﹣ac+c2．
故答案为：ab﹣bc﹣ac+c2．
9．解：由轴对称的性质可知：AB′＝AB＝9，∠AB′E＝∠B＝90°，B′E＝BE，∠B′AE＝∠BAE，
在Rt△ADB′中，根据勾股定理，得
DB＝＝＝12，
∵BC＝AD＝15，
∴EC＝BC﹣BE＝15﹣BE，
在Rt△DEC中，DE＝DB′+B′E＝12+BE，DC＝AB＝9，
根据勾股定理，得
DE2＝EC2+DC2，
∴（12+BE）2＝（15﹣BE）2+92，
解得BE＝3，
∵EF⊥BC，AB⊥BC，
∴EF∥AB，
∴∠FEA＝∠BAE，
∵∠B′AE＝∠BAE，
∴∠FEA＝∠B′AE，
∴FA＝FE，
∴FB′＝AB′﹣AF＝9﹣FE，
在Rt△EFB′中，根据勾股定理，得
EF2＝FB′2+EB′2，
∴EF2＝（9﹣FE）2+32，
解得EF＝5．
故答案为：5．
10．解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故答案为：．
11．解：过点O作OM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DAB＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝45°，
∴△DAE为等腰直角三角形，
∴AE＝DA，
∵AD＝6，AB＝8，
∴AE＝6，BE＝2，
在Rt△DAB中，
AC＝＝＝10，
∴OA＝OB＝5，
∵OM⊥AB，
∴AM＝MB＝4，
∴OM＝＝＝3，
又∵ME＝MB﹣EB＝4﹣2＝2，
在Rt△OME中，
OE＝＝＝，
故答案为：．
12．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠D，
∵CE＝CD，
∴AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）由（1）得：四边形ABEC是平行四边形，
∴BC＝2BF，AE＝2AF，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAE＝2∠D，
∴∠ABC＝∠BAE，
∴AF＝BF，
∴AE＝BC，
∴平行四边形ABEC是矩形．
13．证明：（1）连接DF．
∵D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∵AF∥BC，且AF＝BD，
∴AF∥DC，且AF＝DC，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AE＝ED；
（2）四边形AFBD是矩形，
理由如下：
由（1）得，四边形ACDF是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC．
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°．
∴平行四边形AFBD是矩形．
14．（1）证明：连接MN，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，
∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝3，
在△AME和△CNF中，，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
又∵AE＝CF＝1，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，
∴MN＝EF，
∴四边形EMFN为矩形．
（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，
∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，
∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，
∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，
在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，
解得：x＝2±，
∵0＜x＜2，
∴x＝2﹣．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AEO和△DFO中，，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD＝2：3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠A+∠D＝180°，
∵AN＝DM，
∴AM＝DN，
在△ABM和△DCN中，，
∴△ABM≌△DCN（SSS），
∴∠A＝∠D，
∵∠A+∠D＝180°，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）解：∴△ABM≌△DCN，
∴∠AMB＝∠DNC，
∵AD∥BC，
∴∠AMB＝∠OBC，∠DNC＝∠OCB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴AMB＝∠OBC＝45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB＝AM，
∵AM?MD＝12，AN＝DM，
∴AM（AM﹣1）＝12，
解得：AM＝4，或AM＝﹣3（舍去），
∴AB＝AM＝4，MD＝3，
∴AD＝AM+MD＝7，
∴矩形ABCD的面积＝AD×AB＝7×4＝28．
17．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面积＝?EC?OF＝1．
18．解：连接DE，如图：
∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，
∴四边形ABEF为正方形，
∴∠EAD＝45°，
由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，
∴DE平分∠GDC，
∴∠GDE＝∠CDE，
∵DG为折痕，
∴∠DGE＝90°＝∠C，
而DE＝DE，
∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS），
∴DC＝DG，
∵∠EAD＝45°，∠DGA＝90°，
∴△AGD为等腰直角三角形，
∴AD＝DG＝CD，
∴矩形ABCD长与宽的比值为，
故答案为．
19．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝3．
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AB＝2．
∴CE＝BC﹣BE＝1．
∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∠ECF＝90°，
∴∠F＝∠CEF＝45°，
∴CE＝CF＝1．
在Rt△CEF中，利用勾股定理可得
EF＝；
（2）连接CG，
因为△CEF是等腰直角三角形，G为EF中点，
∴CG＝FG，∠ECG＝45°．
∴∠BCG＝∠DFG＝45°．
又DF＝BC＝3，
∴△BCG≌△DFG（SAS）．
∴BG＝DG．
20．解：（1）∵AB＝a，
∴CD＝a，
∵BC＝b，CF＝2BF，
∴CF＝，
∴三角形COD的面积＝三角形CDF的面积﹣三角形COF的面积＝ab﹣x；
（2）解：如图，过点O作GH∥AB交AD于G，交BC于H，
∵AB∥CD，
∴GH∥CD，
∴四边形ABHG和四边形HCDG都是长方形，
∴长方形ABHG的面积＝2×10＝20，长方形HCDG的面积＝2×8＝16，
∴长方形ABCD的面积＝20+16＝36；
（3）解：设△AOE的面积为y，则△BOE的面积＝3y，△AOB的面积＝4y，
∴S△BOC＝x，S△FCD＝××9×4＝12，S△CBE＝××4×9＝，
∴S△COD＝12﹣x，
∵S△BOE＝S△CBE﹣S△BOC，
∴﹣x＝3y①，
∵S△AOB+S△COD＝S长方形ABCD，
∴4y+12﹣x＝18②，
解①②构成的方程组，得x＝4．