2021—2022学年度第一学期期末义务教育华师大版 数学学科九年级 学情诊断题（word版 含答案）

2021—2022学年度第一学期期末义务教育九年级学情诊断题
数 学
全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间共120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、报名号（考号）写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内。同时在答题卡背面第4页顶端用2B铅笔涂好自己的座位号。
2．第Ⅰ卷每小题选出的答案不能答在试卷上，必须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号徐黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案。第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色墨水签字笔书写在答题卡上的指定位置。不在指定区域作答的将无效。
3．考试结束，监考人员只将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1．下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程x2-x-2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
3．下列说法错误的是（ ）
A．位似图形一定是相似图形
B．顶角相等的两个等腰三角形不一定相似
C．两个相似三角形的周长比是3∶2，则其面积的比是9∶4
D．△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形DECB与△ABC的面积之比是3:4
4．下列判断正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．篮球队员在罚球线上投篮一次，“投中”为随机事件
D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
5．下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．aeq \r(-)＝
6．如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，∠DBC=∠A．若AC=4，，则的长度为（ ）
A． B．　　　　 C． D．4
7．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
8. 电影《长津湖》真实生动地诠释了中国人民伟大的抗美援朝精神，一上映就受到观众的追捧，第一天票房收入2.05亿元，前三天的票房累计收入达到10.53亿元．若每天票房收入的增长率都为x，依题意可列方程（　　）
A．2.05（1+x）=10.53 B．2.05（1+x）2=10.53
C．2.05+2.05（1+x）2=10.53 D．2.05+2.05（1+x）+2.05(1+x)2 =10.53
9．重庆朝天门码头位于重庆市渝中半岛的嘉陵江与长江交汇处，是重庆最古老的码头．如图2，小王在码头某点E处测得朝天门广场上的某高楼AB的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度为1：2.4的斜坡EC走了26米到达坡顶C处，到C处后继续朝高楼AB的方向前行18米到D处，在D处测得A的仰角为74°，则此时小王距高楼的距离BD为（　　）米．（结果精确到1米，参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）
A. 12 B．13 C．15 D．16
10．如图3，正方形ABCD的边长为3，点E是BC的中点，连结AE与对角线BD交于点G，连结CG并延长，交AB于点F，连结DE交CF于点H，连结AH．以下结论：①CF⊥DE；②；③AD=AH；④GH=，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1．请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡相应区域作答，超出答案区域的答案无效。
2．试卷中横线及方框处是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答的内容或问题。请注意准确理解题意、明确题目要求，规范地表达、工整地书写解题过程或结果。
二、填空题．（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
11．当时，二次根式的值是______．
12． 如图4，转盘中有6个面积都相等的扇形，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，“指针所落扇形中的数为偶数”发生的概率为 ______．
13．已知x＝0是一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2 -4＝0的一个根，则m的值为______．
14．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且满足等式，则△ABC是 三角形.
15．如图5，△AOB中，AO=AB，点A的坐标为（3，4），点B在x轴上，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为 ．
16．如图6，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．(本小题满分9分)
计算：
（1）
（2）先化简，再求值：
，其中x，y满足等式.
18．（本小题满分10分）
选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1） 　　 （2）
19．（本小题满分10分）
在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同.
（1）从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是__________；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于22的概率.
20． (本小题满分10分）
已知关于x的方程有两实数根.
（1）求k的取值范围.
（2）设方程的两根分别是，且满足，求k的值.
21．（本小题满分11分）
如图7-1，是一种自卸货车．如图7-2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB=8米，BC=2米，前端挡板高DE=0.5米．卸货时，货箱底边AB的仰角α=37°（如图7-3），底端B离地面的距离为1.3米，求此时档板最高点E离地面的高度．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．（本小题满分11分）
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由；
（3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？
23．（本小题满分12分）
如图8-1，在△ABC中，AB=10，AC=8，∠ACB=90°，CD⊥AB．如果以AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，点D为坐标原点O，建立平面直角坐标系（如图8-2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒：
（1）求CD的长．
（2）当t为何值时，以点B、P、Q为顶点的三角形的面积为2？
（3）是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．（本小题满分13分）
已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）若图9-1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（2）如图9-1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求边AB的长；
（3）如图9-2，（2）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长度．
2021—2022学年度第一学期期末义务教育九年级学情诊断
数学学科参考答案及评分意见
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C D C B D B D
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11． 12． 13．-2
14. 等边 15． 16．
三、解答题（共86分）
17．解：（1）8- 4分
（2）原式= 7分
，∴ ，∴x=3，y=2 8分
当x=3 ，y=2时，原式==3 9分
18．解：（1） 5分
（2）=. 10分
19．解：（1）7卡片中共有两张卡片写有数字1，∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是 2分
（2）列表或画树状图略 8分
这个两位数大于22的概率为 10分
20．解:（1）∵关于x的方程有两实数根,
∴△= 2分
解得. 3分
（2）由根与系数的关系可得 4分
∵ ∴ 5分
∴ 6分
解得： 8分
又∵，经检验k=-3是原方程的根，故舍去 9分
∴ 10分
21．解：如图1所示，延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H， 1分
∵∠BAF=90°，∠ABF=37°，
∴Rt△ABF中，AF=tan37°×AB≈0.75×8=6（米），…………3分
∴EF=AF+AD+DE=8.5，………………………………………5分
∵∠EHF=90°=∠BAF，∠BFA=∠EFH，
∴∠E=37°，……………………………………………………7分
∴Rt△EFH中，EH=cos37°×EF≈0.80×8.5=6.8（米），……9分
又∵底边AB离地面的距离为1.3米，
∴点E离地面的高度为6.8+1.3=8.1（米）．……………………………………………………….10分
答：此时档板最高点离地面的高为8.1米．……………………………………………………….11分
22．解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40-x）元，每天可售出（20+2x）件，
由题意得:（40-x）（20+2x）=1200， 2分
即：（x-10）（x-20）=0，解得：x1=10，x2=20 3分
为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20.
所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元 4分
（2）假设能达到，由题意，得（40-x）（20+2x）=1500， 5分
整理得：2x2-60x+700=0，
△=602-2×4×700=3600-5600＜0， ６分
即：该方程无解，
所以，商场平均每天盈利不能达到1500元； ７分
（3）设每件衬衫应降价x元，
由题意得:商场平均每天盈利为（40-x）（20+2x）， 8分
=800+80x-20x-2x2，
=-2（x2-30x+225）+450+800，
=-2（x-15）2+1250， 10分
所以当x=15元时，商场平均每天盈利取得最大值为1250元，
所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 11分
23．解：（1）∵AB=10，AC=8，∴CB=6 1分
∴CD==4.8 2分
（2）如图2所示，作PH，垂足为H，BQ=t，CP=t，BP=6-t
∴，∴
∴（0∴，解得：t=1或5 ................. ................ ................ ..6分
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：分两种情况：
①当∠BQP=90°时，如图3，此时△PQB∽△ACB，
∴，∴…………………………………………..8分
解得t=2.25.................. .......................................................................9分
②当∠BPQ=90°时，如图4，此时△QPB∽△ACB，
∴，∴……………………………………..11分
解得t=3.75
综上可得，t=2.25或t=3.75．……………………………..12分
24．解：（1）如图5，∵P是CD边的中点，∴DP=DC．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．
∵∠D=90°，∴sin∠DAP=．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，
∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度数为30°．......................... ........................ .......................... ......... .. ...2分
（2）如图5
①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．
∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．∴△OCP∽△PDA．.................. ...................... .................... .. .... .. ..４分
②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．.............. .. .... .. . . .................... .. ...６分
设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．
在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．∴边AB的长为10．.......................... ......................... ........................... ....... .. ..８分
（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图6．
∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．
∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．.................................... ................................... .................................10分
在△MFQ和△NFB中，
．∴△MFQ≌△NFB．∴QF=BF．∴QF=QB．.......................... ............12分
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．由（2）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB=．∴EF=PB=2．............................... ............. .............................. ....................13分
　　　　　　　　　　　　
图1
图3
图4
图6
图5
图7-1
图7-2
图7-3
图7-2
图7-1
图8-1
图8-2
图9-2
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