第一讲 图形的平移(基础讲解)(含解析)

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第一讲 图形的平移
【学习目标】
1．理解平移的概念，了解图形的平移变换；
2．掌握并平移的要素：平移方向、平移距离
3．掌握图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，
4．应用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.
【知识总结】
一、定义
平移是指在平面 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / wenda. / q / _blank )内，将一个图形 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / wenda. / q / _blank )沿着某个方向 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / wenda. / q / _blank )移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移.
二、平移的基本性质：
经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / wenda. / q / _blank )相等，对应点 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / wenda. / q / _blank )所连接的线段平行且相等； 平移变换不改变图形的形状、大小和方向。21cnjy.com
要点诠释：
(1)图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。
(2)图形平移后，对应点连成的线段平行(或在同一直线上)且相等。
(3)多次连续平移相当于一次平移。
(5)平移是由方向和距离决定的。
(6)经过平移，对应线段平行(或共线)且相等，对应角 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / doc / _blank )相等，对应点 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / doc / _blank )所连接的线段 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "https: / / baike. / doc / _blank )平行(或共线)且相等。
三、平移的要素
平移的要素:确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
四、作图
平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形顺次连接对应点．
【典型例题】
【类型】一、平移及平移概念
例1．如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔驰、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是(　　)21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【答案】B
【点拨】根据平移的概念，观察图形可知图案B通过平移后可以得到．故选B.
【变式】如图，在多边形ABCDEFGH中，AB＝5cm，BC＝8cm，已知图中的角均为直角，则该多边形的周长为（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．13cm B．26cm C．13cm或26cm D．无法确定
【答案】B
【分析】根据平移得到AH+GF+ED=BC=8cm，HG+FE+DC=AB=5cm，根据多边形的周长公式计算即可．
解：由题意得：AH+GF+ED=BC=8cm，HG+FE+DC=AB=5cm，
∴该多边形的周长=AB+BC+（AH+GF+ED）+（HG+FE+DC）=26cm．
故选B．
【点拨】本题考查了生活中的平移现象，根据平移找出图中的相等线段是解题的关键．
【类型】二、平移的性质
例2．如图，在中，，，将沿方向平移得到，且，．
（1）求线段的长；
（2）求四边形的周长．
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【答案】(1)8；(2)31
【分析】（1）根据平移的性质可以得到，然后可以算出AD的长； (2) 根据平移的性质和已知条件得出四边形的各边边长，即可算出四边形的周长．【版权所有：21教育】
解：（1）∵沿方向平移得到，
∴．
∵，，
∴．
∴．
（2）∵沿方向平移得到，
∴，
．
∴四边形的周长．
【点拨】本题考查平移的性质和应用，熟练把握平移性质并算出平移距离是解题关键．
【训练】如图，D、E分别是AC ( http: / / www.21cnjy.com )和AB上的点，AD＝DC＝4，DE＝3，DE∥BC，∠C＝90°，将△ADE沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为（　　）21*cnjy*com
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A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据勾股定理得到，由平行线等分线段定理得到，根据平移的性质即可得到结论．
解：∵∠C＝90°，AD＝DC＝4，DE＝3，
∴AE＝＝5，
∵DE//BC，
∴AE＝BE＝5，
∴当点D落在BC上时，平移的距离为BE＝5．
故选：C．
【类型】三、平移的作图
例3.如图所示，若，按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系．
（2）将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得，在图中画出，并写出点坐标．
（3）求的面积．
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【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，B1(3，-2)；（3）5
【分析】（1）根据点A的坐标即可建立坐标系；（2）根据平移的性质解答；（3）利用割补法求面积．
解答：（1）建立平面直角坐标系如图：
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（2）如图，B1(3，-2)；
( http: / / www.21cnjy.com / )．
（3）5．
【点拨】此题考查作图能力，根据点坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )确定直角坐标系，确定坐标系中的点坐标，作平移的图形，掌握平移的性质，割补法求网格中图形的面积，综合掌握各部分知识是解题的关键．21世纪教育网版权所有
【训练】在如图的直角坐标系中，将三角形ABC平移后得到三角形，他们的对应点坐标如下表所示：
（1）观察表中各对应点坐标变化，写出平移规律：________．
（2）在坐标系中画出两个三角形．
（3）求出面积．
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解答：（1）由A到A1纵坐标变化为由0到2， ( http: / / www.21cnjy.com )说明向上平移2个单位，由B到B1横坐标变化为由3到7说明向右平移4个单位，平移的规律为先向上平移2 个单位，再向右平移4个点位；
故答案为：先向上平移2 个单位，再向右平移4个点位．
（2），，，，
则A、B1、C1三点坐标分别为，，，如图
描点：A、B、C、A1、B1、C1，
连线：顺次连结AB、BC、CA；A1B1、B1C1、C1A1，
结论：则△ABC为原图，△A1B1C1为平移后的图形．
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（3），边上的高为，
．
【点拨】本题考查平移规律，画图和三角形面积问题，掌握平移规律发现的方法，画图的步骤与要求，会求钝角三角形的面积是解题关键．21·cn·jy·com
【类型】四、平面坐标系中的平移
例4．如图（1），在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD，构成平行四边形ABDC．
（1）请写出点C的坐标为　 　，点D的坐标为　 　，S四边形ABDC　 　；
（2）点Q在y轴上，且S△QAB＝S四边形ABDC，求出点Q的坐标；
（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点 ( http: / / www.21cnjy.com )（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．2·1·c·n·j·y
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【答案】（1）（0，2），（4，2），8；（2）Q(0，4)或Q(0，﹣4)；（3）∠CPO＝∠DCP+∠BOP，证明见解析21*cnjy*com
【分析】（1）根据平移直接得到点C ( http: / / www.21cnjy.com )，D坐标，用面积公式计算S四边形ABDC即可；（2）设出Q的坐标，OQ＝|m|，用S△QAB＝S四边形ABDC建立方程，解方程即可；（3）作PE∥AB交 y 轴 于 点 E，利用两直线平行，内错角相等即可得出结论．【出处：21教育名师】
解：（1）∵线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，
且A（﹣1，0），B（3，0），
∴C（0，2），D（4，2）；
∵AB＝4，OC＝2，
∴S四边形ABDC＝AB×OC＝4×2=8；
故答案为：（0，2）；（4，2）；8；
（2）∵点Q在y轴上，设Q（0，m），
∴OQ＝|m|，
∴S△QAB＝×AB×OQ＝×4×|m|＝2|m|，
∵S四边形ABDC＝8，
∴2|m|＝8，
∴m＝4或m＝﹣4，
∴Q（0，4）或Q（0，﹣4）．
（3）如图，
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∵线段CD是线段AB平移得到，
∴CD∥AB，
作PE∥AB交 y 轴 于 点 E，
∴CD∥PE，
∴∠CPE＝∠DCP，
∵PE∥AB，
∴∠OPE＝∠BOP，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，
∴∠CPO＝∠DCP+∠BOP．
【点拨】本题主要考查了线段的平移及平行线的性质，掌握平行线的性质并作出辅助线是解题的关键．
【训练】平面直角坐标系中有点A(m+6 ( http: / / www.21cnjy.com )n，-1)，B(-2，2n-m)，连接AB，将线段AB先向上平移，再向右平移，得到其对应线段A'B'（点A'和点A对应，点B'和点B对应），两个端点分别为A'(2m+5n，5)，B'(2，m+2n)．分别求出点A'、B'的坐标．www.21-cn-jy.com
【答案】，
【分析】根据点的平移规律：横坐标，右加左减；纵坐标，上加下减．据此可以求出平移后点的表示，列方程即可求出m、n，得出点A'、B'的坐标．【来源：21·世纪·教育·网】
解：由题意得
解得，
即：、．
【点拨】本题的重点在于掌握点在坐标系中平移的规律，与一次函数图像的平移规律有出入，不要记混．
【类型】五、平移的综合应用
例5、如图，在平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到对应点C，D，连接AC，BD．
（1）求出点C，D的坐标；
（2）设y轴上一点P（0，m），m为整数，使关于x，y的二元一次方程组有正整数解，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若Q点在线段CD上，横坐标为n，△PBQ的面积S△PBQ的值不小于0.6且不大于4，求n的取值范围．www-2-1-cnjy-com
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【答案】（1）C（0，2），D（4，2）；（2）P（0，﹣4）；（3）2.5≤n≤4．
【分析】
（1）根据平移规律，直接得出点C，D的坐标；
（2）求出x＝.可得m的取值为﹣4，则P点坐标可求出；
（3）过点P作x轴的平行线， ( http: / / www.21cnjy.com )过点B作y轴的平行线交CD于点F，两平行直线交于点E，求出S四边形PEFC＝3×6＝18.可用n表示出△PBQ的面积，解不等式组可得出答案.2-1-c-n-j-y
【详解】
解：（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到对应点C，D，21教育名师原创作品
∴C（0，2），D（4，2）；
（2），
∴①+②得：
x＝.
∵x为正整数，
∴m＜﹣3.
∴m＝﹣4时，方程组的正整数解是，
∴P（0，﹣4）；
（3）过点P作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线交CD于点F，两平行直线交于点E，
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∵S四边形PEFC＝3×6＝18.
S四边形PEFC＝+×3×4+×2×(3﹣n).
∴3n+S△PBQ+6+3﹣n＝18.
∴S△PBQ＝9﹣2n.
∵S△PBQ的值不小于0.6且不大于4，
∴0.6≤9﹣2n≤4.
解得2.5≤n≤4.2.
又∵Q点在线段CD上，
∴0≤n≤4，
∴n的取值范围是2.5≤n≤4.
【点拨】本题考查了平移的性质，坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标与图形的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，三角形的面积等知识，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键.21教育网
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