第二讲 图形的旋转(基础讲解)（含解析）

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第二讲 图形的旋转
【学习目标】
1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中
　 心连线所成的角彼此相等的性质；21世纪教育网版权所有
2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计.
【知识总结】
一、旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度 ( http: / / www.21cnjy.com )的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
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旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
二、旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　
　(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
1、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转；
2、只要旋转就产生等腰三角形，而且所有等腰三角形都相似；
3、旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形全等。
三、旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．　21教育网
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中 ( http: / / www.21cnjy.com )心旋转一定的角度（旋转角）；
　　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
　　(4)连接所得到的各对应点.21cnjy.com
【典型例题】
【类型】一、旋转的概念
例1、如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．
(1)指出它的旋转中心；
(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
(3)分别写出点A，B，C的对应点．
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【答案】(1)A;(2) 旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；(3) A，E，F.
【解析】(1)因为△ABC经过旋转后到达 ( http: / / www.21cnjy.com )△AEF的位置,则A点的对应点为A,于是可判断旋转中心为点A; (2)根据旋转的性质求解; (3)根据旋转的性质求解.21·cn·jy·com
解：（1）它的旋转中心为点A；
（2）它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；
（3）点A，B，C的对应点分别为点A，E，F.
【训练】如图，是等边的边上一点．将旋转到的位置
（1）旋转中心是________点；
（2）旋转了________度；
（3）若是的中点，那么经过上述旋转变换后，点转到了什么位置？
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【答案】（1）；（2）（3）若是的中点，以点为旋转中心，逆时针旋转后，点转到了的中点位置上．2·1·c·n·j·y
【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB,∠ACB=60,由于△ACE旋转到△BCF的位置,则可得到旋转中心为C点;旋转角度为∠ACB,利用AC与BC是对应边,若D是AC的中点,以C点为旋转中心,逆时针旋转60后,点D转到了CB的中点位置上.【来源：21·世纪·教育·网】
解：解:(1)△ABC为等边三角形,CA=CB,
而△ACE旋转到△BCF的位置,
即CA旋转到CB,CE旋转到CF,
旋转中心为C点;
(2) △ABC为等边三角形,
∠ACB=60,
CA旋转到CB,
旋转角度为∠ACB,即旋转了60;
(3)若D是AC的中点,以C点为旋转中心,逆时针旋转60后,点D转到了CB的中点位置上.
【点拨】本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形 ( http: / / www.21cnjy.com )全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等边三角形的性质.21·世纪*教育网
【类型】三、旋转的性质
例2．如图，中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G． www-2-1-cnjy-com
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（1）求证：EF =BC；
（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数
【答案】（1）见解析；（2）78°
【分析】
（1）由旋转的性质可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出．2-1-c-n-j-y
（1）证明：，
．
将线段绕点旋转到的位置，
．
在与中，
，
，
；
（2）解：，，
，
．
，
，
．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键．21*cnjy*com
【训练】如图，已知△ABC是等边三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，CD＝4，求AD的长．
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【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由旋转的性质可得，再根据全等三角形的性质、等式的性质、等边三角形的性质可得，由对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理可得，从而可得；【出处：21教育名师】
（2）连接，结合（1）的结论根据等边三角形的性质、全等三角形的性质、角的和差等可求得，再利用勾股定理可求得，从而可得．【版权所有：21教育】
解：（1）∵将绕点按顺时针方向旋转得到
∴
∴，
∴，即
∵是等边三角形
∴
∵
∴
∴．
（2）连接，如图：
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∵由（1）可知，
∴是等边三角形
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴．
【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，灵活运用相关定理、添加辅助线是解题的关键．www.21-cn-jy.com
【类型】三、旋转的作图
例3．在如图网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并直接写出A、C两点的坐标；
（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并直接写出点A2、B2、C2的坐标．
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【答案】（1）见解析；
（2）（0，1），（﹣3，1）；
（3）（0，﹣1），（3，﹣5），（3，﹣1）．
【分析】
（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1即可；
（2）利用B点坐标画出直角坐标系，然后写出A、C的坐标；
（3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
解：（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）如图，A点坐标为（0，1），C点的坐标为（﹣3，1）；
（3）如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2的坐标烦恼为（0，﹣1），（3，﹣5），（3，﹣1）．
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【点拨】本题考查的是平面直角坐标系，需要熟练掌握旋转的性质以及平面直角坐标系中点的特征.
【训练】如图，已知和点请画出绕点顺时针旋转后得到的
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【答案】详见解析.
【分析】根据题意画出图象即可.
【详解】
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如图所示: 即为所求三角形.
【点拨】本题考查作图-旋转,关键在于掌握作图技巧.
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