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第二讲 图形的旋转
一、单选题
1．如图，将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A' B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是( ) 21cnjy.com
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A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】B
【分析】
根据图形旋转的性质得AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．
【详解】
∵将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A' B'C，
∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，
∴∠AA′C=45°，
∵∠1=20°，
∴∠B′A′C=45°-20°=25°，
∴∠A′B′C=90°-25°=65°，
∴∠B=65°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
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A．30° B．40° C．50° D．65°
【答案】C
【详解】
解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选C．
3．若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（ ）
A．（3，﹣6） B．（﹣3，6）
C．（﹣3，﹣6） D．（3，6）
【答案】A
【详解】
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由图知A点的坐标为（6，3），
根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
点A′的坐标是（3，﹣6）．故选A．
4．如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )OD与AB所夹的∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8° B．10° C．12° D．18°
【答案】C
【详解】
∵O D'∥AC，
∴∠BOD'=∠A=70°，
∴∠DOD'=82°-70°=12°．
故选C．
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（ ）．www.21-cn-jy.com
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A．60 ° B．75° C．85° D．90°
【答案】C
【解析】
试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．
如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，
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∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，
∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，
即∠BAC的度数为85°．故选C．
考点: 旋转的性质.
6．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（ ）
A．20° B．26° C．30° D．36°
【答案】C
【解析】
因为一小时60分钟,5分钟为小时,一小时分针转360度,小时转30度,故选C.
7．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上若，，则CD的长为 2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】
解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC-BD计算即可得解．
【详解】
∵∠B=60°，
∴∠C=90°-60°=30°，
∵AC=，
∴AB=AC tan30°=×=1，
∴BC=2AB=2，
由旋转的性质得，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=2-1=1．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．
8．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设B′C′与CD的交点是E，连接AE，根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°．
在直角三角形ADE和直角三角形AB′E中：AB′=AD，AE=AE，∴△ADE≌△AB′E，
∴∠B′AE=30°，∴B′E=A′Btan∠B′AE=1×tan30°=，∴S△ADE=，
∴S四边形ADEB′=，∴阴影部分的面积为1-．故选C．
二、填空题
9．如图，在Rt△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3.
【解析】
试题解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=1，
∴∠CAB=30°，故AB=2，
∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，21世纪教育网版权所有
∴AB=A′B′=2，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC=30°，
∴AB′=B′C=1，
∴AA′=1+2=3，
考点：旋转的性质．
10．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于________．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】-1
【分析】
根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1，进而求出阴影部分的面积．21*cnjy*com
【详解】
解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=BC=1，AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1，
∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．
11．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′= ．
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【答案】40度
【解析】
试题分析：根据平行线的性质得到∠A′AB=∠ABC=70°，根据全等三角形的性质得到BA=BA′，∠A′BC=∠ABC=70°，计算即可．21教育网
解：∵AA′∥BC，
∴∠A′AB=∠ABC=70°，
∵△ABC≌△A′BC′，
∴BA=BA′，∠A′BC=∠ABC=70°，
∴∠A′AB=∠AA′B=70°，
∴∠A′BA=40°，
∴∠ABC′=30°，
∴∠CBC′=40°，
故答案为40°．
考点：全等三角形的性质．
12．直角坐标系中点A坐标为（5 ( http: / / www.21cnjy.com )，3），B坐标为（1，0），将点A绕点B逆时针旋转90°得到点C，则点C的坐标为 ．21教育名师原创作品
【答案】C（-2，4）．
【解析】
试题分析：根据题意画出图形，易证△ADB≌△BEC，求出CE、OE的长即可求出C的坐标．
试题解析：如图所示，点A绕点B逆时针旋转90°到点C，
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∵A坐标为（5，3），B坐标为（1，0），
∴AD=3，BD=4，
∴AB=5，
根据旋转的性质，AB=BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBC+∠ABD=90°，
∵∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠EBC=∠DAB．
在△EBC和△BAD中
∴△EBC≌△BAD，
∴CE=BD=4，BE=AD=3，
∵OB=1，
∴OE=2，
∴C（-2，4）．
考点：坐标与图形变化-旋转．
13．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= ．21·cn·jy·com
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【答案】105°．
【分析】
连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△B ( http: / / www.21cnjy.com )OC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
连接OQ，
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∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠B=45°，
由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，
∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，
∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠OQC=45°，
∵BO：OA=1：，
设BO=1，OA=，
∴AQ=1，则tan∠AQO==，
∴∠AQO=60°，
∴∠AQC=105°．
故答案为105°．
三、解答题
14．如图，方格纸中的每个小方格都是 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（3，﹣1）．以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标．www-2-1-cnjy-com
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【答案】A'（﹣1，3），B'（﹣4，3），C'（﹣3，1）
【详解】
△A′B′C′如图所示：
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根据图可得: A（1,﹣3）,B（4, ﹣3）,C（3, ﹣1）,
关于原点对称的点横坐标,纵坐标与对称前的点是互为相反数,
∴A'（﹣1,3）,B'（﹣4,3）,C'（﹣3,1）
15．如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接.求证:. 【出处：21教育名师】
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【答案】见解析
【分析】
根据等边三角形的性质得出，根据旋转的性质得出，根据SAS推出，根据全等得出，根据平行线的判定定理即可证得答案.2-1-c-n-j-y
【详解】
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等边中，∴，
∵线段绕点按顺时针方向旋转后得到，
∴，
∴，
即, ，
∴，
在与中，
∴(SAS)
∴，
∴
∴
【点睛】
本题考查了平行线的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质，利用全等三角形的证明是解题的关键.
16．问题原型：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．过点D作△BCD的BC边上的高DE， 易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为 ．【版权所有：21教育】
初步探究：如图②，在Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．21*cnjy*com
简单应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )=AC，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．直接写出△BCD的面积．（用含a的代数式表示）
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【答案】见解析
【解析】
试题分析:(1)初步探究 ( http: / / www.21cnjy.com ):如图②,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE,就有DE=BC=a,进而由三角形的面积公式得出结论,
(2)简单运用:如图③,过点A作AF⊥BC与F,过点D作DE⊥BC的延长线于点E,由等腰三角形的性质可以得出BF=BC,由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE,由三角形的面积公式就可以得出结论.
试题解析:(1)△BCD的面积为,
理由:如图②,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,
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∴∠BED=∠ACB=90°,
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE,
∴AB=BD,∠ABD=90°,
∴∠ABC+∠DBE=90°,
∵∠A+∠ABC=90°,
∴∠A=∠DBE,
在△ABC和△BDE中,
,
∴△ABC≌△BDE（AAS）,
∴BC=DE=a,
∵S△BCD=
∴S△BCD=,
(2)简单应用:如图③,过点A作AF⊥BC与F,过点D作DE⊥BC的延长线于点E,
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∴∠AFB=∠E=90°,BF=,
∴∠FAB+∠ABF=90°,
∵∠ABD=90°,
∴∠ABF+∠DBE=90°,
∴∠FAB=∠EBD,
∵线段BD是由线段AB旋转得到的,
∴AB=BD,
在△AFB和△BED中,
,
∴△AFB≌△BED（AAS）,
∴BF=DE=,
∵S△BCD=,
∴S△BCD=,
∴△BCD的面积为,
17．如图，P是正三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．21·世纪*教育网
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【答案】点P与点P′之间的距离为5，∠APB的度数为150°．
【解析】试题分析：先根据 ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再利用旋转的性质得∠P′AP=∠BAC=60°，AP′=AP，BP′=CP=13，于是可判断△AP′P为等边三角形，得到PP′=AP=5，∠APP′=60°，接着根据勾股定理的逆定理证明△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°，然后利用∠APB=∠APP′+∠BPP′求出∠APB的度数．
试题解析：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，
∴∠P′AP=∠BAC=60°，AP′=AP，BP′=CP=13，
∴△AP′P为等边三角形，
∴PP′=AP=5，∠APP′=60°，
在△BPP′中，∵PP′=5，BP=12，BP′=13，
∴PP′2+BP2=BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．
答：点P与点P′之间的距离为5，∠APB的度数为150°．
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【考点】旋转的性质；勾股定理的逆定理．
18．如图，已知点D是等腰直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形ABC斜边BC上一点（不与点B重合），连AD，线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连CE，求证：BD⊥CE．
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【答案】见解析
【解析】
试题分析: 根据等腰直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质可得∠ABC=∠ACB=45°,再根据旋转性质可得AD=AE,∠DAE=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE,然后利用”边角边”证明△BAD和△CEF全等,从而得证.
试题解析:∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵∠DAE=90°,
∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°,
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
CAE,
∴△BAD≌△CAE（SAS）,
∴BD=CE,∠ACE=∠ABC=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,
∴BD⊥CE.
A
B
C
D
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第二讲 图形的旋转
一、单选题
1．如图，将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A' B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是( ) 21cnjy.com
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A．70° B．65° C．60° D．55°
2．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．30° B．40° C．50° D．65°
3．若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（ ）21·世纪*教育网
A．（3，﹣6） B．（﹣3，6）
C．（﹣3，﹣6） D．（3，6）
4．如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )OD与AB所夹的∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．8° B．10° C．12° D．18°
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（ ）．21世纪教育网版权所有
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A．60 ° B．75° C．85° D．90°
6．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（ ）
A．20° B．26° C．30° D．36°
7．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上若，，则CD的长为 21·cn·jy·com
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A． B． C． D．1
8．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为_____．www.21-cn-jy.com
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10．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于________．2-1-c-n-j-y
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11．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′= ．
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12．直角坐标系中点A坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标为（5，3），B坐标为（1，0），将点A绕点B逆时针旋转90°得到点C，则点C的坐标为 ．2·1·c·n·j·y
13．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= ．21*cnjy*com
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三、解答题
14．如图，方格纸中的每个小方格 ( http: / / www.21cnjy.com )都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（3，﹣1）．以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标．21教育网
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15．如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接.求证:. 【来源：21cnj*y.co*m】
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16．问题原型：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．过点D作△BCD的BC边上的高DE， 易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为 ．【出处：21教育名师】
初步探究：如图②，在Rt△ABC中，∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．【版权所有：21教育】
简单应用：如图③，在等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AB=AC，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．直接写出△BCD的面积．（用含a的代数式表示）21教育名师原创作品
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17．如图，P是正三角形ABC内的一点， ( http: / / www.21cnjy.com )且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．21*cnjy*com
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18．如图，已知点D是等腰直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形ABC斜边BC上一点（不与点B重合），连AD，线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连CE，求证：BD⊥CE．
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A
B
C
D
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