中小学教育资源及组卷应用平台
第二讲 图形的旋转
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C=70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B，C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠ABB′的度数是( )21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．35° B．40° C．45° D．55°
2．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC
3．如图，将矩形 ABCD 绕点 ( http: / / www.21cnjy.com ) A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．68° B．20° C．28° D．22°
4．下列图形中，绕某个点旋转180°后能与自身重合的有（ ）
①正方形；②矩形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，将边为的正方形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，则图中阴影部分的面积为( )【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．－ B．3－ C．2－ D．2－
7．一个图形旋转后得到的图形与原来的图形有如下的关系
（1）对应角相等；（2）对应线段相等； ( http: / / www.21cnjy.com )（3）对应点到旋转中心的距离相等；（4）连接对应点所成的线段相等；（5）每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等，它们都等于旋转角；其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）21·世纪*教育网
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
二、填空题
9．如图，将△ABC绕点C按顺时针 ( http: / / www.21cnjy.com )方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′= 度．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
10．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为 ．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和C的距离分别为，1，2，△ABP绕点B旋转至△CBP′，连结PP′，并延长BP与DC相交于点Q，则∠CPQ的大小为______ （度）
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，AB=BC=2，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转45°后得到Rt△ADE，则CD= ______ ．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．如图，边长为6的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，交于点，则____________．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
14．如图所示，点P是正方形ABCD内的一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．如图点O是等边内一点，，∠ACD=∠BCO，OC=CD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）试说明：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）当为多少度时，是等腰三角形
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二讲 图形的旋转
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠C= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B，C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠ABB′的度数是( )21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．35° B．40° C．45° D．55°
【答案】D
【解析】
【分析】
在△ABB'中根据等边对等角，以及三角形内角和定理，即可求得∠ABB'的度数．
【详解】
由旋转可得，AB=AB'，∠BAB'=70°，
∴∠ABB'=∠AB'B=（180°-∠BAB′）=55°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键．
2．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC
【答案】C
【解析】
根据旋转的性质得，∠ABD＝∠CBE=60°, ∠E＝∠C,
则△ABD为等边三角形，即 AD ( http: / / www.21cnjy.com )＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故选C.21·cn·jy·com
3．如图，将矩形 ABCD 绕点 ( http: / / www.21cnjy.com )A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．68° B．20° C．28° D．22°
【答案】D
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABD=∠D′=90°，
∴∠3=180°-∠2=68°，
∴∠BAB′=90°-68°=22°，
即∠α=22°．
故选D．
4．下列图形中，绕某个点旋转180°后能与自身重合的有（ ）
①正方形；②矩形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据中心对称的定义，绕某个点旋转180°后是否能与自身重合即可判断.
【详解】
①正方形②矩形⑥平行四边形绕其对角线的交点 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转180°后能与自身重合，④线段绕其中点旋转180°后能与自身重合，③等边三角形⑤角旋转180°后不能与自身重合21cnjy.com
故选D.
【点睛】
此题主要考察中心对称图形的定义.
5．如图，在△ABC中，AB=8， ( http: / / www.21cnjy.com )AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】
此题涉及的知识点是旋转的性质，由旋转的性质，再根据∠BAC=30°，旋转60°，可得到∠BAC1=90°，结合勾股定理即可求解.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=30°+60°=90°，
AC1=AC=6，
在RtBAC1中，∠BAC=90°，AB=8，AC1=6,
∴，
故本题选择C.
【点睛】
此题重点考查学生对于旋转的性质的理解，也 ( http: / / www.21cnjy.com )考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
6．如图，将边为的正方形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，则图中阴影部分的面积为( )【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．－ B．3－ C．2－ D．2－
【答案】B
【解析】分析：连接AG，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据∠BAE=30°可知∠DAE=60°，由正方形的性质可知，AB=AD，由图形旋转的性质可知AD=AE，故可得出Rt△ADG≌Rt△AEG，由直角三角形的性质可得出DG的长，再由S 阴影=，即可得出结论．
本题解析：
( http: / / www.21cnjy.com / )
连接AG，
∵∠BAE=30°，
∴∠DAE=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠B=90°，
∵正方形AEFH是正方形ABCD旋转而成，
∴AD=AE，∠E=90°，
在Rt△ADG与Rt△AEG中，AD=AE，AG=AG，
∴Rt△ADG≌Rt△AEG，
∴∠DAG= ∠EAG =30°，
∴DG=AD tan∠DAG=× =1，
∴
∴S 四边形ADGE=2=2× = ，
∴S 阴影=,故选B．
点睛：本题考查的是图形旋转的性质，涉及到正方形的性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，涉及面较广.21教育名师原创作品
7．一个图形旋转后得到的图形与原来的图形有如下的关系
（1）对应角相等；（2）对应线段相等；（3 ( http: / / www.21cnjy.com )）对应点到旋转中心的距离相等；（4）连接对应点所成的线段相等；（5）每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等，它们都等于旋转角；其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】
一个图形旋转后得到的图形和原图像全等，对 ( http: / / www.21cnjy.com )应点到旋转中心的距离相等，连接对应点所成的线段不一定相等，每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等，它们都等于旋转角，由此可判断.
【详解】
一个图形旋转后得到的图形和原图像全等，故对 ( http: / / www.21cnjy.com )应角相等，对应线段相等，一个图形绕某个点旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等，它们都等于旋转角，但是连接对应点所成的线段不一定相等，故选B.
【点睛】
此题主要考察旋转的性质.
8．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【解析】
试题分析：A、最小旋转角度==120°；
B、最小旋转角度==90°；
C、最小旋转角度==180°；
D、最小旋转角度==72°；
综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．
故选A．
考点：旋转对称图形．
二、填空题
9．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′= 度．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】46
【详解】
∵∠A=27°,∠B=40°，
∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB ∠B′CA=∠A′CB ∠B′CA，
即∠BCB′=∠ACA′，
∴∠BCB′=67°，
∴∠ACB′=180°-∠ACA′ ∠BCB′=180° 67° 67°=46°，
故答案为46.
10．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
试题分析：如图，首先运用旋转变换的性质证 ( http: / / www.21cnjy.com )明CD=CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．
解：如图，由题意得CD=CB（设为λ）；
由勾股定理得：
AB2=BD2﹣AD2，而BD=，AD=1，
∴AB=4，AC=4﹣λ；由勾股定理得：
λ2=12+（4﹣λ）2，
解得：．
故答案为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
考点：旋转的性质．
11．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和C的距离分别为，1，2，△ABP绕点B旋转至△CBP′，连结PP′，并延长BP与DC相交于点Q，则∠CPQ的大小为______ （度）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】45
【分析】
△ABP绕点B旋转90°至△CBP′，可知∠PBP′=90°，BP′=BP故可求出PP′==，又△ABP≌△CBP′得CP′=AP=,故可利用勾股定理逆定理知△CPP′是直角三角形，得∠CPP′=90°，即可求出∠CPQ.
【详解】
△ABP绕点B旋转90°至△CBP′，
∴∠PBP′=90°，BP′=BP
∴PP′==，
又△ABP≌△CBP′
则CP′=AP=,
又CP=2，PP′=
∴CP′ =CP +PP′ ，
∴△CPP′是直角三角形，得∠CPP′=90°，
∴∠CPQ=180°-∠CPP′-∠P′PB=45°
【点睛】
此题主要考察旋转的性质.
12．如图所示，在Rt△ABC中，∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C=90°，AB=BC=2，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转45°后得到Rt△ADE，则CD= ______ ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】2-2
【解析】
分析：先根据勾股定理求AC，再根据旋转性质，得AD=AB=2,再求CD.
详解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，
所以，AC=,
将Rt△ABC绕A点逆时针旋转45°后得到Rt△ADE，
所以，AD=AB=2,
所以，CD=AC-AD=2-2
故答案为2-2
点睛：本题考核知识点：旋转性质和勾股定理. 解题关键点：利用旋转得对应边相等.
13．如图，边长为6的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，交于点，则____________．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】．
【分析】
过点F作FI⊥BC于点I，延长线IF交AD于J，根据含30°直角三角形的性质可求出FI、FJ和JH的长度，从而求出HD的长度．
【详解】
解：过点F作FI⊥BC于点BC，延长线AD交AD于J，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意可知：CF=BC=6，∠FCB=30°，
∴FI=3，CI=
∵JI=CD=6，
∴JF=JI-FI=6-3=3，
∵∠HFC=90°，
∴∠JFH+∠IFC=∠IFC+∠FCB=90°，
∴∠JFH=∠FCB=30°，
设JH=x，则HF=2x，
∴由勾股定理可知：（2x）2=x2+32，
∴x=，
∴DH=DJ-JH=
故答案为：．
【点睛】
本题考查正方形的性质，涉及正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，本题属于中等题型．21·世纪*教育网
三、解答题
14．如图所示，点P是正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】PP′和PC的长分别为4，6
【分析】
△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，故∠PBP′=90°，BP′=BP=4，利用勾股定理可求出PP′=4，由AP=CP′=2，△PCP′为直角三角形即可求出PC.
【详解】
解：∵△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，
∴△PB P′是等腰直角三角形，
∴PP′=BP=4，∠BP′P=45°，
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，
在Rt△PP′C中，PC===6．
答：PP′和PC的长分别为4，6．
【点睛】
此题主要考察旋转的性质.
15．如图点O是等边内一点，，∠ACD=∠BCO，OC=CD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）试说明：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）当为多少度时，是等腰三角形
【答案】(1)见解析；(2)△AOD是直角三角形，理由见解析；(3) 110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【分析】
（1）根据CO=CD，∠OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是等边三角形；
（2）先求得∠ADC=∠BOC=α= ( http: / / www.21cnjy.com )150°，再利用△COD是等边三角形得∠CDO=60°，于是可计算出∠ADO=90°，由此可判断△AOD是直角三角形；
（3）先利用α表示出∠ADO ( http: / / www.21cnjy.com )=α-60°，∠AOD=190°-α，再进行分类讨论：当∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当∠AOD=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．
【详解】
(1)∵∠ACD=∠BCO
∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°
又∵CO=CD
∴△COD是等边三角形；
(2)∵△COD是等边三角形
∴CO=CD
又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC
∴△ACD≌△BCO（SAS）
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC ∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
(3)∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，
∴∠ADO=α 60°,∠AOD=360° 60° 110° α=190° α，
当∠AOD=∠ADO时,△AOD是等腰三角形,即190° α=α 60°,解得α=125°；
当∠AOD=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即2(190° α)+α 60°=180°,解得α=140°；2-1-c-n-j-y
当∠ADO=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即190° α+2(α 60°)=180°,解得α=110°，21*cnjy*com
综上所述,∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【点睛】
此题考查等腰三角形的判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
