课时分层闯关练（一） 平面向量的概念
基础关
1．下列说法中正确的个数是( )
①一个人的身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度包含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．
A．0 B．1
C．2 D．3
2．下面几个命题：
①若a＝b，则|a|＝|b|；
②若|a|＝0，则a＝0；
③若|a|＝|b|，则a＝b；
④若向量a，b满足则a＝b.
其中正确命题的个数是( )
3．汽车以120 km/ h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/ h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
4. .如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
5．若||＝||且 ＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
6．下列叙述：
(1)所有的单位向量都相等；
(2)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；
(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；
(4)方向不同的两个向量一定不平行．
其中正确的有________．(填所有正确的序号)
7．若a是任一非零向量，b是一个单位向量，下列各式：
(1)|a|＞|b|；(2)a∥b；(3)|a|＞0；(4)|b|＝±1；
(5)若a0是与a同向的单位向量，则a0＝b.
其中正确的是________．(填序号)
8．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
9. O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
10．已知四边形ABCD中，＝且||＝||，tan D＝，判断四边形ABCD的形状．
拓展关
1．已知在平面内点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为( )
A. B.
C．1 D．2
3．[多选]如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰好为的模的倍
D.与不共线
4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
5．四边形ABCD满足＝，且||＝||，则四边形ABCD是________(填四边形ABCD的形状)．
6.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．
7.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．
8.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示与向量长度相等的向量；
(2)写出图中所示与向量相等的向量；
(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量．
培优关
在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标．
(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；
(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
(3)|a|＝4，a的方向与x轴正方向、y轴正方向的夹角都是135°.课时分层闯关练（一） 平面向量的概念
基础关
1．下列说法中正确的个数是( )
①一个人的身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度包含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量．故选B.
2．下面几个命题：
①若a＝b，则|a|＝|b|；
②若|a|＝0，则a＝0；
③若|a|＝|b|，则a＝b；
④若向量a，b满足则a＝b.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B ①正确．②错误．|a|＝0，则a＝0.③错误．a与b的方向不一定相同．④错误．a与b的方向有可能相反．故选B.
3．汽车以120 km/ h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/ h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
解析：选C 速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A、B错；汽车走的路程为240 km，摩托车走的路程为90 km，故C正确．故选C.
4. .如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
解析：选B [向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．故选B.
5．若||＝||且 ＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：选C ∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵||＝||，
∴平行四边形ABCD相邻两边相等，故四边形ABCD为菱形．故选C.
6．下列叙述：
(1)所有的单位向量都相等；
(2)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；
(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；
(4)方向不同的两个向量一定不平行．
其中正确的有________．(填所有正确的序号)
解析：(1)错误．单位向量模都相等，但是方向不一定相同．
(2)正确．若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的．
(3)错误．共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同．
(4)错误．方向相反的两个向量一定平行．
答案：(2)
7．若a是任一非零向量，b是一个单位向量，下列各式：
(1)|a|＞|b|；(2)a∥b；(3)|a|＞0；(4)|b|＝±1；
(5)若a0是与a同向的单位向量，则a0＝b.
其中正确的是________．(填序号)
解析：对(1)，不一定有|a|＞|b|；对(2)，a与b方向不一定相同或相反；对(3)，非零向量的模必大于0，即|a|＞0；对(4)，向量的模非负；对(5)，a0与b方向不一定相同．综上可知(3)正确．
答案：(3)
8．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
解析：由勾股定理可知，BC＝＝，所以||＝.
答案：
9. O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
解： (1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．
10．已知四边形ABCD中，＝且||＝||，tan D＝，判断四边形ABCD的形状．
解：∵在四边形ABCD中，＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵tan D＝，∴B＝D＝60°.
又||＝||，∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
拓展关
1．已知在平面内点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
解析：选C 由于||＝2，所以A点构成一个以O为圆心，半径为2的圆．故选C.
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选C 因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.故选C.
3．[多选]如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰好为的模的倍
D.与不共线
解析：选ABC 与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，||＝，在Rt△AEB中，||＝||＝||，所以||＝＝||，C正确；与方向相同，大小相等，故＝，与共线，D错误．故选A、B、C.
4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选A ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和与两个向量相等的概念，|a|＝|b|只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．故选A.
5．四边形ABCD满足＝，且||＝||，则四边形ABCD是________(填四边形ABCD的形状)．
解析：∵＝，∴AD∥BC且||＝||，∴四边形ABCD是平行四边形．
又||＝||知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
6.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．
解析：结合图形可知，(1)||＝||＝.
(2)与共线，||＝2，||＝3，故||＋||＝5.
答案：(1)， (2)， 5
7.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．
解析：12 根据题意知，由点O，A，B，C，D可以构成20个向量．但它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T中有12个元素．
8.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示与向量长度相等的向量；
(2)写出图中所示与向量相等的向量；
(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量．
解：(1)与长度相等的向量是，，，，，，，.
(2)与相等的向量是，.
(3)与共线的向量是，，；与共线的向量是，，.
培优关
在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标．
(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；
(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
(3)|a|＝4，a的方向与x轴正方向、y轴正方向的夹角都是135°.
解：如图所示．
