课时分层闯关练（二） 向量的加法运算
基础关
1．在四边形ABCD中，若有＋＝，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
解析：选D 由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形．故选D.
2．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选A 向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c.故选A.
3．向量(＋)＋(＋)＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C (＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝.故选C.
4. 如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：C 设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝＋，则a与长度相等，方向相同，所以a＝.
5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
解析：A 根据三角形法则可知，a∥b，且a与b方向相同．
6.如图所示，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，则＋＋＝________.
解析：＋＋＝＋＋＝.
答案：
7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝______.
解析：如图，|＋|＝||，在Rt△AOB中，AB＝1，∠OAB＝30°，AC＝2AO＝2AB·cos 30°＝.
答案：
8．若|a|＝|b|＝2，则|a＋b|的取值范围为________，当|a＋b|取得最大值时，向量a·b的方向________．
解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤4，当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向相同．
答案：[0,4] 相同
9. 如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＋＝0.
求证：＋＝＋.
证明： ∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵＋＝0，∴＋＝＋.
10.如图所示，求：
(1)a＋d；(2)c＋b；(3)e＋c＋b；
(4)c＋f＋b.
解：(1)a＋d＝d＋a＝＋＝；
(2)c＋b＝＋＝；
(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋＝＋＝；
(4)c＋f＋b＝＋＋＝.
拓展关
1．若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中：
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
正确结论的序号是( )
A．①⑤ B．②④⑤
C．③⑤ D．①③⑤
解析：选D a＝＋＋＋＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即①对；0＋b＝b，即②错，③对；④中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即④错，⑤对．故选D.
2．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
解析：选D ＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．故选D.
3．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D 由于＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D.
4．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是( )
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
解析：选A 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解．即||－||≤||≤||＋||，故3≤||≤17.故选A.
5. 若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D 设线段BC的中点为O，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知
|＋|＝2||，又|＋|＝，
故||＝，
又BO＝CO＝，
所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，
所以△ABC是等腰直角三角形．
6．四边形ABCD是一个菱形，且∠DAB＝60°，向量||＝1，则|＋|＝________.
解析： 在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABC是等边三角形，则BD＝1，则|＋|＝||＝1.
答案：1
7.如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N. 绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为_______，方向为_______.
解析：以，为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝F，即＋＝，则∠OAC＝60°，||＝24，
||＝||＝12，∴∠ACO＝90°，∴||＝12.
∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为竖直向上．
答案：12 N 竖直向上
8.如图所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
解：如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则知
＋＝.
由||＝||，∠AOB＝120°，
知∠BOD＝60°，||＝||.
又∠COB＝120°，且||＝||.
∴＋＝0，故＋＋＝0.
9. 在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
培优关
1.如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)＋＝＋；
(2)＋＋＝0.
证明：(1)由向量加法的三角形法则，
∵＋＝，＋＝，
∴＋＝＋.
(2)由向量加法的平行四边形法则，
∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝0＋0＋0＝0.
2.如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，
作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，即O，A，B1三点共线时，
|a＋e|最大，最大值是3.
2.课时分层闯关练（二） 向量的加法运算
基础关
1．在四边形ABCD中，若有＋＝，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
2．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
3．向量(＋)＋(＋)＋＝( )
A. B.
C. D.
4. 如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B.
C. D.
5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
6.如图所示，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，则＋＋＝________.
7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝______.
8．若|a|＝|b|＝2，则|a＋b|的取值范围为________，当|a＋b|取得最大值时，向量a·b的方向________．
9. 如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＋＝0.
求证：＋＝＋.
10.如图所示，求：
(1)a＋d；(2)c＋b；(3)e＋c＋b；
(4)c＋f＋b.
拓展关
1．若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中：
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
正确结论的序号是( )
A．①⑤ B．②④⑤
C．③⑤ D．①③⑤
2．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
3．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
4．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是( )
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
5. 若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
6．四边形ABCD是一个菱形，且∠DAB＝60°，向量||＝1，则|＋|＝________.
7.如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N. 绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为_______，方向为_______.
8.如图所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
9. 在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
培优关
1.如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)＋＝＋；
(2)＋＋＝0.
2.如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a＋e|的最大值．
