2021-2022学年江苏省徐州市鼓楼区树人中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省徐州市鼓楼区树人中学九年级（下）开学数学试卷
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
关于的一元二次方程的一个根是，则的值为
A. B. C. 或 D.
将方程配方后，原方程可变形为
A. B. C. D.
二次函数的图象的顶点坐标是
A. B. C. D.
如图，在中，，已知，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，已知是半圆的直径，，是的中点，那么的度数是
A.
B.
C.
D.
如图，已知在中，是弦，半径，垂足为点，要使四边形为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是
A.
B.
C.
D.
如果将抛物线向右平移个单位，那么所得的抛物线的表达式是
A. B. C. D.
有一组数据如下：，，，，，若它们的平均数是，则这组数据的方差是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
如果，那么锐角的度数为______．
若一元二次方程总有实数根，则应满足的条件是_________．
某果园年水果产量为吨，年水果产量为吨，则该果园水果产量的年平均增长率为______．
若圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面积为______结果保留．
如图，四边形内接于，是延长线上一点，若，则的度数是______
如图，已知矩形纸片中，，剪去正方形，得到的矩形与矩形相似，则的长为______．
如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为______．
如图，将边长为的正方形绕其中心旋转，则两个正方形公共部分阴影部分的面积为______．
三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）
计算或解方程：
；
．
在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：
根据以上信息，解答下列问题：
该调查的样本容量为______，______；
在扇形统计图中，“”对应扇形的圆心角为______；
若该校有名学生，请估计全校学生中家庭藏书本以上的人数．
类别 家庭藏书本 学生人数
如图，为的直径，点在外，的平分线与交于点，．
与有怎样的位置关系？请说明理由；
若，，求的长．
如图，在矩形中，，点在边上，连接，以为边向右上方作正方形，作，垂足为，连接．
求证：；
当为何值时，的面积最大？
如图，为了测量河对岸两点，之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，设，，，在同一平面内，求，两点之间的距离．
参考数据：，
如图，二次函数的图象与轴交于点和点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．
______，点的坐标：______；
线段上是否存在点点不与、重合，使得的长为；
在轴负半轴上是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标及此时与正方形重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到关于的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】
解：把代入一元二次方程得，解得，，
而，
所以的值为．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
先移项得到，然后把方程左边利用完全平方公式变形得到即可．
【解答】
解：，
，
，
．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：
，
抛物线的顶点坐标是．
故选：．
利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解．
此题考查了二次函数的性质，通过配方法求顶点式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由中，，得
．
，
故选：．
根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
本题考查了互余两角三角函数关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：连接，
是半圆的直径，，
，，
圆内接四边形对角互补，
是的中点，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理求解即可．
本题利用了圆内接四边形的性质，直径对的圆周角是直角求解．
6.【答案】
【解析】
【分析】
利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．
此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．
【解答】
解：在中，是弦，半径，
，
当，
则，，，
故四边形为菱形．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先得到抛物线的顶点坐标为，再得到点向右平移个单位得到点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，把点向右平移个单位得到点的坐标为，
所以所得的抛物线的表达式为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：根据题意得，解得，
所以这组数据为，，，，，
所以这组数据的方差．
故选：．
先利用平均数的定义得到，解得，然后根据方差公式计算这组三角形的方差．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式是：也考查了算术平均数．
9.【答案】
【解析】解：，
锐角的度数为．
故答案为：．
根据角的余弦值等于解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记、、的三角函数值是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：方程总有实数根，
，
即，
，
．
故答案为：．
根据根的判别式，令，建立关于的不等式，解答即可．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，得 ，
解这个方程，得，．
经检验不符合题意，舍去．
故答案为：．
年的水果产量年的水果产量年平均增长率，把相关数值代入即可．
此题考查列一元二次方程；得到年水果产量的等量关系是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意，有圆锥的底面周长是，
则圆锥的侧面积为
故答案是：．
运用公式计算．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
13.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
由圆的内接四边形的性质，可得，又由邻补角的定义可得：，可得．
此题考查了圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
14.【答案】
【解析】解：设，
四边形为正方形，
，
，
矩形与矩形相似，
：：，
即：：，
整理得，
解得，舍去，
的长为．
故答案为：．
设，根据正方形的性质得，则，在根据相似多边形的性质，得到：：，即：：，然后解方程，即可得到的长．
本题考查了相似多边形的性质以及矩形的性质，解题时注意：相似多边形对应边的比叫做相似比；对应角相等；对应边的比相等；相似多边形面积的比等于相似比的平方．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了扇形的面积计算及圆周角定理，属于中档题．
连接，则，继而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
【解答】
解：连接．
，
，
故，
即可得阴影部分的面积等于扇形的面积，
又，
，
，
故，即阴影部分的面积为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：如图，设正方形的中心点为，
点和点到正方形的中心的距离相等，即，
，
而，
，
，
正方形绕其中心旋转，
，
和为全等的等腰直角三角形，
，
同理可得，，
设，则，，
，
，
，解得，
，
两个正方形公共部分阴影部分的面积．
故答案为．
如图，设正方形的中心点为，利用正方形的性质得，，则，所以，再根据旋转的性质得，于是可判断和为全等的等腰直角三角形，所以，同理可得，，设，则，，，利用正方形的边长为得，解得，然后利用正方形的面积减去个三角形的面积即可得到两个正方形公共部分阴影部分的面积．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
17.【答案】解：原式
；
，
，
或，
所以，．
【解析】根据特殊角的三角函数值计算，然后合并即可；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
18.【答案】
【解析】解：调查的样本容量为：，
；
故答案为：，．
类对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：．
全校学生中家庭藏书本以上的人数约为人．
根据“”的人数和在扇形图中所占的百分比，先求出样本容量，再根据“”的百分比计算出的值；
利用圆心角计算公式，即可得到“”对应的扇形的圆心角；
用该校的人数乘以学生中家庭藏书本以上的人数所占的百分比即可．
本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19.【答案】解：相切．理由如下：
连接，
是的平分线，
，
又，
，
，
，
，
与相切；
若，可得，
，
又，
，
．
【解析】连接，只需证明即可；
由中的结论可得，可求得弧的圆心角的度数，再利用弧长公式求得结果即可．
此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用．一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
20.【答案】证明：
四边形是正方形，
，
，，
，
在和中，
≌，
；
解：设，则，
，
，
当时，的面积最大．
【解析】根据正方形的性质，可得，再根据，进而可得，结合已知条件，利用“”即可证明≌，由全等三角形的性质可得；
设，用含的函数表示的面积，再利用函数的最值求面积最大值即可．
本题考查了正方形性质、矩形性质以及全等三角形的判断和性质和三角形面积有关的知识点，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．
21.【答案】解：过作于，过作于，如图：
，
是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
中，，
，即，
解得，
，
中，，，
，即，
解得，
，于，，
四边形是矩形，
，，
，
中，，
答：，两点之间的距离是．
【解析】过作于，过作于，由已知是等腰直角三角形，设，则，，在中，可得，解得，在中，解得，根据四边形是矩形，可得，，，即可在中，求出
本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、矩形判定及性质等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造直角三角形．
22.【答案】，；
直线交轴于点，如图，
假设存在点，使得的长为，设，则，
，，
，
，，
，即，
，无解，
故线段上不存在点点不与、重合，使得的长为；
假设存在这样的点，交轴于点，如图，
是等腰三角形，
，
，四边形为正方形，
，，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
点坐标为，
轴，
，
两直线平行，内错角相等，
又对顶角，
∽，
，
，
，
与正方形重叠部分面积为，
答：存在这样的点，点的坐标为，此时与正方形重叠部分的面积为．
【解析】
解：点在二次函数的图象上，
，解得，
二次函数解析式为，
点，，
四边形为正方形，
，
点，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
【分析】利用点在二次函数图象上，代入即可求得，将二次函数换成交点式，即能得出点的坐标，由可算出点坐标；
假设存在，由，找出，利用等角的正切相等，可得出一个关于长度的一元二次方程，由方程无解可得知不存在这样的点；
利用角和边的关系，找到全等，再利用三角形相似，借助相似比即可求得，求出的面积即是所求．
本题考查了二次函数的交点式、全等三角形的判定、相似三角形的相似比等知识，解题的关键是注重数形结合，找准等量关系．
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