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华师版九年级下册数学27.1.2 圆的对称性教学设计
课题 27.1.2 圆的对称性 单元 第二单元 学科 数学 年级 九
学习目标 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。在实验过程中，培养学生观察、联想、猜测、推理、探索发现新知识的能力和创新思维、创新想象的能力。通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。
重点 垂径定理及其应用。
难点 对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【画一画】在练习本上画出一个圆圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？观察：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？圆是中心对称图形把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？圆是旋转对称图形，具有旋转不变性☆由圆的概念以及轴对称和中心对称的意义易得圆既是轴对称图形、中心对称图形、也是旋转对称图形。☆是轴对称图形时，过圆心的每一条直线都是它的对称轴；☆是中心对称图形时，对称中心是它的圆心.注意：圆的对称性包括旋转不变性，轴对称性和中心对称性.圆的对称轴是直径所在的直线而不是直径. 学生画图，思考回答问题。学生探究圆的对称性。 学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手能力。通过教师与学生的互动，一方面使学生能较快进入新课的学习状态，另一方面也提高学生的学习的兴趣，让他们带着问题去学习，揭开了探究该节课内容的序幕。
讲授新课 【小组合作】（1）在两张透明的纸上，分别作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下.（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′ O′ B′ ，圆心固定.（3）将其中的一个圆旋转一个角度，使OA与O′ A′ 重合.思考：通过上面的操作，你能发现哪些等量关系？你能得出什么结论？【总结归纳】教师课件出示弧、弦与圆心角的关系定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．符号语言：∵∠AOB=∠A′O′B′，∴AB=A′B′，【想一想】如果在同圆或等圆的前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说.弧、弦与圆心角关系定理的推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．【拓展提高】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．要点精析：(1)上述三种关系成立的前提条件是“在同圆或等圆中”，否则不成立.(2)由于一条弦(非直径)对着两条弧，“弦相等，所对的弧相等”中的“弧相等”指的是“劣弧相等”或“优弧相等”．(3)圆心角是顶点在圆心的角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数；【例1】如图所示，在⊙O中，，∠1=45°. 求∠2的大小.【合作探究】准备一张圆形纸片，在纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为点P.将纸片沿着直径CD对折，分别比较AP与BP、，你能发现什么结论？AP=BP 怎样证明这个结论？已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为点P.求证：AP = BP， ， .证明：连结CA、CB、OA、OB,则OA = OB，即△AOB是等腰三角形.∵CD⊥AB，∴AP = BP.又∵CP= CP，∴Rt△APC≌Rt△BPC,∴AC = BC，由此易得【总结归纳】垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分这条弦所对的两条弧。【思考】有如下条件：若①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为P；③AP=BP；④ ；⑤ ；则有（1）若①②成立，则③④⑤成立.（2）若①③成立，能得到②④⑤成立吗？推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.（3）若①④成立，能②③⑤得到成立吗？推论：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 小组讨论,最后在学生充分讨论的基础上,老师用多媒体课件,给出正确的答案,运用圆的对称性研究圆心角、弧、弦之间的关系。学生在教师的引导下总结归纳。学生将题设和结论交换位置，思考回答问题。学生根据所学知识做练习。学生思考回答问题，探究垂径定理。学生在教师的引导下证明结论。学生总结垂径定理。 通过合作交流探讨,得到弧、弦与圆心角的关系定理,而不是教师直接给出,体现了以学生为主体,自主获取知识的理念.有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神。讲练结合，使学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用。
课堂练习 1. 下列说法中，不正确的是( C )A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心2.如图，在⊙O中， ，若∠AOD＝150°，∠BOC＝80°，则∠AOB的度数是( D )A．20° B．25° C．30° D．35°3.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是( B )A．52° B．57° C．66° D．78°4.如图，武汉晴川桥可以近似地看成是半径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB的长度为300 m，那么这些钢索中最长的一根为( A )A．50 m B．45 m C．40 m D．60 m5.如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( C )A．3 B．4 C．5 D．66.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径．解：连结OD，设OB＝OD＝R，则OE＝16－R.∵直径AB⊥CD，CD＝16，∴∠OED＝90°，DE＝ CD＝8，由勾股定理得OD2＝OE2＋DE2，则R2＝(16－R)2＋82，解得R＝10，∴⊙O的半径为10.7.【中考·黄冈】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10 m，则这段弯路所在圆的半径为( A ).A．25 m B．24 m C．30m D．60 m8.【中考·梧州】如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是( C )A.B.C.D. 学生做练习，小组讨论。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性.2. 弧、弦、圆心角之间的关系：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.3.垂径定理及其推论:垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分这条弦所对的两条弧。可简述为在五个条件中，具备了任意两个，则另三个必成立，但必须注意的是，具备平分弦的直径这两个条件时，需对它增加这条弦不是直径的限制，因为任意两条直径必互相平分，但不一定垂直. 学生在教师的引导下总结本节课所学内容，并整理好笔记。 课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：27.1.2 圆的对称性一、圆的对称性二、弧、弦与圆心角的关系定理及其推论三、垂径定理及其推论
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华师版数学九年级下册27.1.2 圆的对称性导学案
课题 27.1.2 圆的对称性 单元 第二单元 学科 数学 年级 九
学习目标 理解圆的轴对称性。掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养观察能力、分析能力及联想能力。3.在实验过程中，培养观察、联想、猜测、推理、探索发现新知识的能力和创新思维、创新想象的能力。通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。
重点 垂径定理及其应用。
难点 对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。
教学过程
课前预学 【画一画】在练习本上画出一个圆思考问题：圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？观察：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？由圆的概念以及轴对称和中心对称的意义得圆既是______________、_________、也是__________________。圆的对称轴是________________________.
新知讲解 【小组合作】（1）在两张透明的纸上，分别作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下.（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′ O′ B′ ，圆心固定.（3）将其中的一个圆旋转一个角度，使OA与O′ A′ 重合.思考：通过上面的操作，你能发现哪些等量关系？你能得出什么结论？弧、弦与圆心角的关系定理:________________________________________________________________________________________________________符号语言：_______________________________________【想一想】如果在同圆或等圆的前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说.弧、弦与圆心角关系定理的推论：推论一：______________________________________________________________推论二：_______________________________________________________【拓展提高】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．要点精析：(1)上述三种关系成立的前提条件是“在同圆或等圆中”，否则不成立.(2)由于一条弦(非直径)对着两条弧，“弦相等，所对的弧相等”中的“弧相等”指的是“劣弧相等”或“优弧相等”．(3)圆心角是顶点在圆心的角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数；【例1】如图所示，在⊙O中，，∠1=45°. 求∠2的大小.【合作探究】准备一张圆形纸片，在纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为点P.将纸片沿着直径CD对折，分别比较AP与BP、，你能发现什么结论？怎样证明这个结论？已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为点P.求证：AP = BP， ， .【总结归纳】垂径定理：________________________________________________________【思考】有如下条件：若①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为P；③AP=BP；④ ；⑤ ；则有（1）若①②成立，则③④⑤成立.（2）若①③成立，能得到②④⑤成立吗？推论：________________________________________________________（3）若①④成立，能②③⑤得到成立吗？推论：_______________________________________________________
课堂练习 1. 下列说法中，不正确的是( )A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心2.如图，在⊙O中， ，若∠AOD＝150°，∠BOC＝80°，则∠AOB的度数是( )A．20° B．25° C．30° D．35°3.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是( )A．52° B．57° C．66° D．78°4.如图，武汉晴川桥可以近似地看成是半径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB的长度为300 m，那么这些钢索中最长的一根为( )A．50 m B．45 m C．40 m D．60 m5.如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )A．3 B．4 C．5 D．66.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径．7.【中考·黄冈】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10 m，则这段弯路所在圆的半径为( ).A．25 m B．24 m C．30m D．60 m8.【中考·梧州】如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是( )A. B.C. D.
课堂小结 本节课你学到了什么？圆的中心对称性：弧、弦、圆心角之间的关系：3.垂径定理及其推论:
板书 课题：27.1.2 圆的对称性一、圆的对称性二、弧、弦与圆心角的关系定理及其推论三、垂径定理及其推论
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27.1.2 圆的对称性
华师版 九年级下册
新知导入
【画一画】
在练习本上画出一个圆
圆是轴对称图形吗？
它的对称轴是什么？
你能找到多少条对称轴？
新知导入
观察：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
圆是中心对称图形
·
把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
仍与原来的圆重合吗？
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
新知导入
☆由圆的概念以及轴对称和中心对称的意义易得圆既是轴对称图形、中心对称图形、也是旋转对称图形。
☆是轴对称图形时，过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
☆是中心对称图形时，对称中心是它的圆心.
注意：圆的对称性包括旋转不变性，轴对称性和中心对称性.
圆的对称轴是直径所在的直线而不是直径.
合作探究
【小组合作】
（1）在两张透明的纸上，分别作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下.
（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′ O′ B′ ，圆心固定.
O
O′
A
B
A′
B′
合作探究
【小组合作】
（3）将其中的一个圆旋转一个角度，使OA与O′ A′ 重合.
思考：通过上面的操作，你能发现哪些等量关系？
∠AOB=∠A′O′B′
AB=A′B′
你能得出什么结论？
新知讲解
弧、弦与圆心角的关系定理：
【总结归纳】
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．
符号语言：
∵∠AOB=∠A′O′B′，
∴AB=A′B′，
新知讲解
【想一想】如果在同圆或等圆的前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说.
弧、弦与圆心角关系定理的推论：
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
新知讲解
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．
要点精析：
(1)上述三种关系成立的前提条件是“在同圆或等圆中”，否则不成立.
(2)由于一条弦(非直径)对着两条弧，“弦相等，所对的弧相等”中的“弧相等”指的是“劣弧相等”或“优弧相等”．
(3)圆心角是顶点在圆心的角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数；
【拓展提高】
新知讲解
【例1】如图所示，在⊙O中， ，∠1=45°. 求∠2的大小.
解：
∴∠2=∠1=45°（在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角也相等）.
合作探究
准备一张圆形纸片，在纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为点P.
A
B
C
D
P
将纸片沿着直径CD对折，分别比较AP与BP、
，你能发现什么结论？
AP=BP
怎样证明这个结论？
新知讲解
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为点P.
求证：AP = BP， ， .
A
B
C
D
P
· O
∵CD⊥AB，∴AP = BP.
又∵CP= CP，∴Rt△APC≌Rt△BPC,
证明：连结CA、CB、OA、OB,
则OA = OB，即△AOB是等腰三角形.
∴AC = BC，
由此易得
新知讲解
【总结归纳】
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分这条弦所对的两条弧。
符号语言：
∵CD是直径，CD⊥AB，
∴AP=BP，
新知讲解
【思考】有如下条件：
若①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为P；③AP=BP；
④ ；⑤ ；则有
（1）若①②成立，则③④⑤成立.
（2）若①③成立，能得到②④⑤成立吗？
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
新知讲解
【思考】有如下条件：
若①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为P；③AP=BP；
④ ；⑤ ；则有
（3）若①④成立，能②③⑤得到成立吗？
推论：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
课堂练习
1. 下列说法中，不正确的是( )
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
C
课堂练习
2.如图，在⊙O中， ，若∠AOD＝150°，∠BOC＝80°，则∠AOB的度数是( )
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
D
课堂练习
3.如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是( )
A．52°
B．57°
C．66°
D．78°
B
课堂练习
4.如图，武汉晴川桥可以近似地看成是半径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB的长度为300 m，那么这些钢索中最长的一根为( )
A．50 m
B．45 m
C．40 m
D．60 m
A
课堂练习
5.如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C
拓展提高
6.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径．
解：连结OD，设OB＝OD＝R，则OE＝16－R.
∵直径AB⊥CD，CD＝16，
∴∠OED＝90°，DE＝ CD＝8，
由勾股定理得OD2＝OE2＋DE2，
则R2＝(16－R)2＋82，解得R＝10，
∴⊙O的半径为10.
中考链接
7.【中考·黄冈】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点C是 的中点，点D是AB的中点，且CD＝10 m，则这段弯路所在圆的半径为( ).
A．25 m
B．24 m
C．30m
D．60 m
A
中考链接
8.【中考·梧州】如图，在半径为 的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是( )
A.
B.
C.
D.
C
课堂总结
本节课你学到了什么？
1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
课堂总结
本节课你学到了什么？
3.垂径定理及其推论:
垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分这条弦所对的两条弧。
可简述为在五个条件中，具备了任意两个，则另三个必成立，但必须注意的是，具备平分弦的直径这两个条件时，需对它增加这条弦不是直径的限制，因为任意两条直径必互相平分，但不一定垂直.
板书设计
课题：27.1.2 圆的对称性
教师板演区
学生展示区
一、圆的对称性
二、弧、弦与圆心角的关系定理及其推论
三、垂径定理及其推论
作业布置
课本 P39、P40 练习题
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