初中数学苏科版八年级下册9.5 三角形的中位线 同步训练
一、单选题
1．（2019八上·毕节月考）Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
2．（2020八下·木兰期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
3．（2020八下·龙泉驿期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，AD与CE交于点F，则△DEF与△ACF的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4
4．（2019八下·渭滨期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
5．（2020八下·岑溪期末）如图，在平行四边形ABCD中，已知 分别是线段OD,OA的中点，则EF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
6．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E，F分别为AB，AD的中点，BC＝2，CD＝ ，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020八下·长沙期末）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，则应添加的条件是（ ）
A．AB//CD B．AC⊥BD C．AC=BD D．AD=BC
8．（2020八下·涪陵期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将 BCE沿BE翻折至 BFE，连接DF，则DF的长度是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019八下·长兴月考）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连结AF，取AF的中点H，连结GH，若BC=EF=4，CD=CE=2，则GH=（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2020八下·温州月考）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有（ ）
A．3个 B．4n个 C．3n个 D．3n个
二、填空题
11．（2021八下·重庆开学考）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是BO、BC的中点，若AB=5，BC=12，则EF= ；
12．（2020八下·莘县期末）如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN。若AB=5，BC=8，则MN= 。
13．（2020八下·西山期末）如图所示， 为 的中位线，点F在 上，且 ，若 则 的长为 .
14．（2020八下·江都期末）如图， ABC中，AB＝AC=4，以AC为斜边作Rt ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝30°，E、F分别是BC、AC的中点，则ED＝ .
15．（2021八下·拱墅月考）如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为 .
16．（2020八上·奎文期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC＝8，则△PMN的周长是 ．
17．（2020八下·越城期中）如图，△ABC的周长为26，点D、 E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P.若BC=10，则PQ的长是 .
18．（2020八下·姜堰期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE长度的取值范围是 .
三、解答题
19．（2019八下·东莞月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点.求证：CD＝EF．
20．如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
21．（2019八下·新乐期末）已知：如图，在四边形 中， ， 为对角线 的中点， 为 的中点， 为 的中点.求证：
22．（2019八下·邳州期中）
如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE、BF交于点M，连接CF、DE交于点N，连接MN.试探讨MN与AD的大小关系和位置关系，并加以证明.
23．（2020八下·南海期末）如图，D是△ABC内一点，连接DB、DC、DA，并将AB、DB、DC、AC的中点E、H、G、F依次连接，得到四边形EHGF．
（1）求证：四边形EHGF是平行四边形；
（2）若BD⊥CD，AD＝7，BD＝8，CD＝6，求四边形EHGF的周长．
24．（2020八下·滨州月考）已知：四边形ABCD，E，F，G，H是各边的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）假如四边形ABCD是一个矩形，猜想四边形EFGH是什么图形？并证明你的猜想。
25．（2019八下·兰州期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长.
26．（2019八下·镇江期中）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G.
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长.
27．（2019八下·温州期中）如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，点F是CB的中点，过点F作FE∥AC交AB于点E点D是CA延长线上的一点，且AD= AC，连接DE、AF
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若四边ADEF的周长是24cm，BC的长为6cm，求四边形ADEF的面积.
28．（2019八下·蔡甸月考）在菱形ABCD中，∠BAD＝60°
（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE.若AB＝4，求线段EC的长
（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论
（3）在(2)的条件下，若AC＝ ，请你直接写出DM＋CN的最小值
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边= =10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为 ×10=5cm.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的中位线定理得到线段的等量关系，再求出三角形的周长即可.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝ AC，
∴△FDE∽△FAC，
∴S△DEF：S△ACF＝（DE：AC）2＝1：4．
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE= AC，那么△FDE∽△FAC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD＝AC
∴ 是等腰三角形
∵AE⊥CD
∴
∴E是CD的中点
∵F是BC的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出点E是CD的中点，进而根据三角形的中位线等于第三边的一半得出EF的长.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝20，BD＝12，
∴AO＝CO＝10，BO＝DO＝6，
故AD＝ ＝ ＝8，
∵E、F分别是线段OD、OA的中点，
∴EF是△ADO的中位线，
∴EF∥AD，EF＝ AD，
则EF的长为：4.
故答案为：B.
【分析】首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出AO、DO的长，再利用勾股定理得出AD的长，进而利用三角形中位线定理得出EF的长.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵BC＝2，CD＝ ，∠C＝90°，
∴BD＝ ＝ ，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴BD＝ EF＝ ，
故答案为：D．
【分析】连接BD，根据勾股定理算出BD的长，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出答案。
7．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、F、G、H是四边形各边中点，
∴易得四边形EFGH是平行四边形，
当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
故答案选B．
【分析】根据矩形的性质和中位线的性质即可得到结果；
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接CF，交BE于H，
∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，
∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，
∴BE＝ ，
∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，
∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，
∵S△BCE＝ ×BE×CH＝ ×BC×CE，
∴CH＝ ，
∴EH= ，
∵CE＝DE，FH＝CH，
∴DF＝2EH＝ ，
故答案为：D.
【分析】由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求CH＝ ，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝ .
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；梯形中位线定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：解法一：以C点为原点建立直角坐标系，CE为x正半轴，CG为y正半轴，
则A（-4，2），F（2，4），G（0，4）；
∵H为AF的中点，则xH=，
yH=
则H的坐标为（1，3），
∴.
解法二：作HL⊥FE，HM⊥BE，DN⊥FE，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】法一：因为矩形四个角是直角，各边长已知，可以建立直角坐标系，运用用数形结合的思想求解；先把有关点坐标标出，求出H点坐标，根据两点间距离公式即可求出GH。
法二：作如图所示的辅助线，构造直角三角形，由三角形中位线和梯形的中位线结合平行线间垂线段相等推得HP和GP的长度，再运用勾股定理求得HG即可。
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：图（1）中， A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点 ，
∴A1B1∥AB ，B1C1 ∥BC，A1C1 ∥AC，，
∴四边形AC1A1B1C1 ，A1B1C1B，A1CB1C1是平行四边形，共有3=3×1个；
图（2）中，同理可得AC1A1B1C1 ，A1B1C1B，A1CB1C1， A1C2B2C1分 A2B2A1C2分A2B2C2B1是平行四边形，共有6=2×3个；
···，依次规律，可得第n个图形中平行四边形的个数为3n个.
故答案为：D.
【分析】利用三角形中位线定理可得A1B1∥AB ，B1C1 ∥BC，A1C1∥AC，根据平行四边形的判定可得图（1）共有3=3×1个平行四边形，同理可得图（2）中共有6=2×3个平行四边形，据此规律可得第n个图形中平行四边形的个数为3n个.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OC= AC，AD=BC=12，
∴AC= =13，
∴OC= ，
∵点E、F分别是BO、BC的中点，
∴EF是△BOC的中位线，
∴EF= OC= ，
故答案为： .
【分析】利用勾股定理求出AC的长，由此可求出OC的值；再证明EF是△BOC的中位线，利用三角形的中位线定理可求出EF的长.
12．【答案】1.5
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BD⊥AB，BM⊥AD于点M
∴AM=DM
∵N为AC的中点
∴AN=CN
∴MN为三角形ACD的中位线
∴MN=DC
∵AB=5，BC=8
∴DC=3
∴MN=
【分析】根据题意，由直角三角形斜边上的中线即可得到AN=CN，继而得到MN为三角形ACD的中位线，根据中位线的性质求出MN的长度即可。
13．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 为 的中位线，
∴DE= ，点D为AB的中点
∵
∴DF=
∴EF=DE－DF=3
故答案为：3.
【分析】根据中位线的性质即可求出DE，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出DF，从而求出结论.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别是BC、AC的中点，∠CAD=∠CAB=30°，∠ADC＝90°，
∴EF是△ABC的中位线，CD= AC，
∴EF= AB，∠EFC=∠CAB=30°.
∵AB=AC，△ACD是直角三角形，点F是斜边AC的中点，
∴EF=DF=CF=CD=2，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠DFC=60°，
∴∠DFC+∠EFC =60°+30°=90°，
∴△EFD为等腰直角三角形，
∴DE= ，
故答案为 .
【分析】先根据题意判断出△CDF的形状，由平行线的性质得出∠EFC的度数，再由△CDF是等边三角形求出∠DFC的度数，再根据勾股定理即可得出结论.
15．【答案】12
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，
故答案为：12.
【分析】 延长BN交AC于D，利用ASA证明△ANB≌△AND，得出AD的长度和BN=ND，然后根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可求出AC的长．
16．【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P、N是AB和BD的中点，
∴PN= AD= ×8=4，PN∥AD，
∴∠NPB=∠DAB=50°，
同理，PM=4，∠MPA=∠CBA=70°，
∴PM=PN=4，∠MPN=180°-50°-70°=60°，
∴△PMN是等边三角形．
∴MN=PM=PN=4，
∴△PMN的周长是12，
故答案为：12．
【分析】由P、N分别是AB和BD的中点得PN是三角形ADB的中位线，由此可得：PN= AD，PN∥AD，同理得到PM=PN=4，由PN//AD，PM//BC可得：∠NPB=∠DAB=50°，∠MPA=∠CBA=70°，由此可得∠MPN=180°-50°-70°=60°，因此△PMN是等边三角形，即可求出其周长。
17．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点，
∴PQ是△ADE的中位线.
∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，
∴DE=BE+CD-BC=6，
∴PQ=DE=3.
故答案为C.
【分析】易得△BAE、△CAD是等腰三角形，则PQ是△ADE的中位线，由等腰三角形的性质可求得BE+CD=AB+AC=16，进而求出DE的值，最后根据中位线的性质求解即可.
18．【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于H，连接CM，
在Rt△ABC中，AB 5，
S△ABC AC×BC AB×CH，即 3×4 5×CH，
解得：CH ，
∵点D、E分别为CN、MN的中点，
∴DE是△MNC的中位线，
∴DE CM，
当CM⊥AB时，CM最小，最小值为 ，
当点M与点B重合时，CM最大，最大值为4，
∴ .
故答案为： .
【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出 ，只要找到CM的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当 时，CM最短，此时利用勾股定理和三角形的面积公式即可求解，当点M与点B重合时，CM最大，从而可得到DE的取值范围.
19．【答案】解：根据直角三角形斜边中中线等于斜边的一半可得 ，再根据中位线定理可得 ，从而可以得到
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】根据直角三角形的性质可得 ，再根据中位线定理可得 ，问题得证.
20．【答案】解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG=AC=6，GF=CF，
则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．
又∵BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF= BG=1．
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠GAF=∠CAF，然后利用ASA判断出 △AGF≌△ACF ，根据全等三角形对应边线段得出 AG=AC=6，GF=CF， 根据线段的和差，由 BG=AB﹣AG 算出BG的长，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出 EF= BG=1．
21．【答案】证明：∵ 是 中点， 是 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ 是 中点， 是 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据中位线定理和已知，易证明△NMP是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
22．【答案】MN= AD，MN∥AD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，∴EF∥CD
∴四边形ABEF、四边形EFDC均是平行四边形，
∴AM=EM，FN=CN，
∴MN是△AED的中位线，
∴MN= AD，MN∥AD.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】可分别证明四边形ABEF，ECDF均为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得MN为△AED的中位线.
23．【答案】（1）证明：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝ BC．
∵H、G分别是DB、DC的中点，
∴HG∥BC，HG＝ BC．
∴HG＝EF，HG∥EF．
∴四边形EHGF是平行四边形
（2）解：∵BD⊥CD，BD＝8，CD＝6，
∴BC＝ ＝ ＝10，
∵E、F、H、G分别是AB、AC、BD、CD的中点，
∴EH＝FG＝ AD＝3.5，
EF＝GH＝ BC＝5，
∴四边形EHGF的周长＝EH＋GH＋FG＋EF＝17
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）证EF是△ABC的中位线，HG是△DBC的中位线，得出EF∥BC，EF= BC，HG∥BC，HG= BC，则EF∥HG，EF=HG，即可得出结论； （2）由勾股定理求出BC=10，则EF=GH= BC=5，由三角形中位线定理得出EH= AD= ，即可得出答案．
24．【答案】（1）∵E，F，G，H是各边的中点，
∴EF∥AC∥HG，HE∥BD∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形ABCD是一个矩形，四边形EFGH是菱形；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝ AC＝ ＝EH，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理，由两组对边分别平行的四边形为平行四边形即可得到答案；
（2）根据题意可知，由邻边相等的平行四边形为菱形进行判断即可得到答案。
25．【答案】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN= AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM= AC，又∵AC=AD，∴MN=BM；
（2）解：∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM= AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°.∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴ ，而由（1）知，MN=BM= AC= ×2=1，∴BN= .
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的定义及定理，可证得MN=AD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到BM=AC，然后由AD=AC，可证得结论。
（2）利用角平分线的定义可求出∠BAC=∠DAC=30°，再利用直角三角形的性质及等腰三角形的性质可证得BM=AM，可得到∠MAB=∠MBA=30°，利用三角形外角的性质可求出∠BMC的度数，就可证得△BMN是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出BN的长。
26．【答案】（1）解：四边形DEFG是平行四边形，
理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点，
∴EF= BC，EF∥BC，
同理DG= BC，DG∥BC，
∴EF=DG，EF∥DG，
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OM=4，
∴BC=2EF=8.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答；（2）根据直角三角形的性质求出EF，根据三角形中位线定理计算即可.
27．【答案】（1）证明：∵点F是CB的中点，过点F作FE∥AC，
∴BE=AE，
∴EF= AC，
∵AD= AC，
∴EF=AD，
∵EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ADEF的周长是24cm，
∴AD+AF=12，
∴AF=12-AD，
∵AC=2AD，CF= BC=3，
∴AC2+CF2=AF2，
即（2AD）2+9=（12-AD）2，
∴AD= -4，
∴四边形ADEF的面积=AD CF=3 -12.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行线等分线段定理，可知BE=AE，再利用三角形中位线定理就可证得EF=AD，然后利用平行四边形的判定方法，可证得结论。
（2）利用平行四边形的性质，可得到AD+AF的值，再根据已知 AC=2AD，同时求出CF的长，利用勾股定理建立关于AD的方程，解方程求出AD的值，然后求出四边形ADEF的面积。
28．【答案】（1）解：如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180 ，
∵∠A=60 ，
∴∠ABC=120 ，
∴ ABD是等边三角形，
∴BD=AD=4，
∵E是AB的中点，
由勾股定理得：DE=2 ，
∵DC∥AB，
∴∠EDC=∠DEA=90 ，
在Rt DEC中，
EC=2
（2）解：如图2，延长CD至H，使CD=DH，连接NH、AH，
∵AD=CD，
∴AD=DH，
∵CD∥AB，
∴∠HDA=∠BAD=60 ，
∴ ADH是等边三角形，
∴AH=AD， ∠HAD=60 ，
∵ AMN是等边三角形，
∴AM=AN， ∠NAM=60 ，
∴∠HAN=∠DAM，
∴ ANH≌ AMD，
∴HN=DM，
∵D是CH的中点，Q是NC的中点，
∴DQ是 CHN的中位线，
∴HN=2DQ，
∴DM=2DQ
（3）解：如图2，由（2）知，HN=DM，
∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，
即：点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小，
此时，点D和点Q重合，
即：CN+DM的最小值为CH，
如图3，
由（2）知，△ADH是等边三角形，
∴∠H=60°.
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACD= ∠BCD= ∠BAD=30°，
∴∠CAH=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ACH中，CH= =2，
∴DM+CN的最小值为2
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图1，连接BD，根据菱形的性质，可得出BD平分∠ABC， ABD是等边三角形，∠ABC=120°，从而可得BD=AD=AB=4.由点E为线段AB的中点，可得DE⊥AB，从而可得∠EDC=∠DEA=90 ，根据勾股定理可求出DE=2，在Rt△DEC中，利用勾股定理即可求出EC的长.
（2）如图2，延长CD至H，使CD=DH，连接NH、AH， 先证 ADH是等边三角形， 结合 AMN是等边三角形，利用等边三角形的性质，根据“SAS”可证 ANH≌ AMD， 可得HN=DM， 根据三角形中位线定理可得HN=2DQ， 由等量代换即得DM=2DQ.
（3）要CN+DM最小，便是CN+HN最小，即当点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小，最小值即是CH的长.由（2）及菱形的性质可求出△CAH是直角三角形且∠CAH=90°，由CH= 求出CH的长即可.
1 / 1初中数学苏科版八年级下册9.5 三角形的中位线 同步训练
一、单选题
1．（2019八上·毕节月考）Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边= =10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为 ×10=5cm.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可.
2．（2020八下·木兰期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的中位线定理得到线段的等量关系，再求出三角形的周长即可.
3．（2020八下·龙泉驿期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，AD与CE交于点F，则△DEF与△ACF的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝ AC，
∴△FDE∽△FAC，
∴S△DEF：S△ACF＝（DE：AC）2＝1：4．
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE= AC，那么△FDE∽△FAC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
4．（2019八下·渭滨期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD＝AC
∴ 是等腰三角形
∵AE⊥CD
∴
∴E是CD的中点
∵F是BC的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出点E是CD的中点，进而根据三角形的中位线等于第三边的一半得出EF的长.
5．（2020八下·岑溪期末）如图，在平行四边形ABCD中，已知 分别是线段OD,OA的中点，则EF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝20，BD＝12，
∴AO＝CO＝10，BO＝DO＝6，
故AD＝ ＝ ＝8，
∵E、F分别是线段OD、OA的中点，
∴EF是△ADO的中位线，
∴EF∥AD，EF＝ AD，
则EF的长为：4.
故答案为：B.
【分析】首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出AO、DO的长，再利用勾股定理得出AD的长，进而利用三角形中位线定理得出EF的长.
6．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E，F分别为AB，AD的中点，BC＝2，CD＝ ，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵BC＝2，CD＝ ，∠C＝90°，
∴BD＝ ＝ ，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴BD＝ EF＝ ，
故答案为：D．
【分析】连接BD，根据勾股定理算出BD的长，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出答案。
7．（2020八下·长沙期末）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，则应添加的条件是（ ）
A．AB//CD B．AC⊥BD C．AC=BD D．AD=BC
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、F、G、H是四边形各边中点，
∴易得四边形EFGH是平行四边形，
当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
故答案选B．
【分析】根据矩形的性质和中位线的性质即可得到结果；
8．（2020八下·涪陵期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将 BCE沿BE翻折至 BFE，连接DF，则DF的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接CF，交BE于H，
∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，
∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，
∴BE＝ ，
∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，
∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，
∵S△BCE＝ ×BE×CH＝ ×BC×CE，
∴CH＝ ，
∴EH= ，
∵CE＝DE，FH＝CH，
∴DF＝2EH＝ ，
故答案为：D.
【分析】由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求CH＝ ，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝ .
9．（2019八下·长兴月考）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连结AF，取AF的中点H，连结GH，若BC=EF=4，CD=CE=2，则GH=（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；梯形中位线定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：解法一：以C点为原点建立直角坐标系，CE为x正半轴，CG为y正半轴，
则A（-4，2），F（2，4），G（0，4）；
∵H为AF的中点，则xH=，
yH=
则H的坐标为（1，3），
∴.
解法二：作HL⊥FE，HM⊥BE，DN⊥FE，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】法一：因为矩形四个角是直角，各边长已知，可以建立直角坐标系，运用用数形结合的思想求解；先把有关点坐标标出，求出H点坐标，根据两点间距离公式即可求出GH。
法二：作如图所示的辅助线，构造直角三角形，由三角形中位线和梯形的中位线结合平行线间垂线段相等推得HP和GP的长度，再运用勾股定理求得HG即可。
10．（2020八下·温州月考）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有（ ）
A．3个 B．4n个 C．3n个 D．3n个
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：图（1）中， A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点 ，
∴A1B1∥AB ，B1C1 ∥BC，A1C1 ∥AC，，
∴四边形AC1A1B1C1 ，A1B1C1B，A1CB1C1是平行四边形，共有3=3×1个；
图（2）中，同理可得AC1A1B1C1 ，A1B1C1B，A1CB1C1， A1C2B2C1分 A2B2A1C2分A2B2C2B1是平行四边形，共有6=2×3个；
···，依次规律，可得第n个图形中平行四边形的个数为3n个.
故答案为：D.
【分析】利用三角形中位线定理可得A1B1∥AB ，B1C1 ∥BC，A1C1∥AC，根据平行四边形的判定可得图（1）共有3=3×1个平行四边形，同理可得图（2）中共有6=2×3个平行四边形，据此规律可得第n个图形中平行四边形的个数为3n个.
二、填空题
11．（2021八下·重庆开学考）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是BO、BC的中点，若AB=5，BC=12，则EF= ；
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OC= AC，AD=BC=12，
∴AC= =13，
∴OC= ，
∵点E、F分别是BO、BC的中点，
∴EF是△BOC的中位线，
∴EF= OC= ，
故答案为： .
【分析】利用勾股定理求出AC的长，由此可求出OC的值；再证明EF是△BOC的中位线，利用三角形的中位线定理可求出EF的长.
12．（2020八下·莘县期末）如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN。若AB=5，BC=8，则MN= 。
【答案】1.5
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BD⊥AB，BM⊥AD于点M
∴AM=DM
∵N为AC的中点
∴AN=CN
∴MN为三角形ACD的中位线
∴MN=DC
∵AB=5，BC=8
∴DC=3
∴MN=
【分析】根据题意，由直角三角形斜边上的中线即可得到AN=CN，继而得到MN为三角形ACD的中位线，根据中位线的性质求出MN的长度即可。
13．（2020八下·西山期末）如图所示， 为 的中位线，点F在 上，且 ，若 则 的长为 .
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 为 的中位线，
∴DE= ，点D为AB的中点
∵
∴DF=
∴EF=DE－DF=3
故答案为：3.
【分析】根据中位线的性质即可求出DE，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出DF，从而求出结论.
14．（2020八下·江都期末）如图， ABC中，AB＝AC=4，以AC为斜边作Rt ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝30°，E、F分别是BC、AC的中点，则ED＝ .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别是BC、AC的中点，∠CAD=∠CAB=30°，∠ADC＝90°，
∴EF是△ABC的中位线，CD= AC，
∴EF= AB，∠EFC=∠CAB=30°.
∵AB=AC，△ACD是直角三角形，点F是斜边AC的中点，
∴EF=DF=CF=CD=2，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠DFC=60°，
∴∠DFC+∠EFC =60°+30°=90°，
∴△EFD为等腰直角三角形，
∴DE= ，
故答案为 .
【分析】先根据题意判断出△CDF的形状，由平行线的性质得出∠EFC的度数，再由△CDF是等边三角形求出∠DFC的度数，再根据勾股定理即可得出结论.
15．（2021八下·拱墅月考）如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为 .
【答案】12
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，
故答案为：12.
【分析】 延长BN交AC于D，利用ASA证明△ANB≌△AND，得出AD的长度和BN=ND，然后根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可求出AC的长．
16．（2020八上·奎文期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC＝8，则△PMN的周长是 ．
【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P、N是AB和BD的中点，
∴PN= AD= ×8=4，PN∥AD，
∴∠NPB=∠DAB=50°，
同理，PM=4，∠MPA=∠CBA=70°，
∴PM=PN=4，∠MPN=180°-50°-70°=60°，
∴△PMN是等边三角形．
∴MN=PM=PN=4，
∴△PMN的周长是12，
故答案为：12．
【分析】由P、N分别是AB和BD的中点得PN是三角形ADB的中位线，由此可得：PN= AD，PN∥AD，同理得到PM=PN=4，由PN//AD，PM//BC可得：∠NPB=∠DAB=50°，∠MPA=∠CBA=70°，由此可得∠MPN=180°-50°-70°=60°，因此△PMN是等边三角形，即可求出其周长。
17．（2020八下·越城期中）如图，△ABC的周长为26，点D、 E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P.若BC=10，则PQ的长是 .
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点，
∴PQ是△ADE的中位线.
∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，
∴DE=BE+CD-BC=6，
∴PQ=DE=3.
故答案为C.
【分析】易得△BAE、△CAD是等腰三角形，则PQ是△ADE的中位线，由等腰三角形的性质可求得BE+CD=AB+AC=16，进而求出DE的值，最后根据中位线的性质求解即可.
18．（2020八下·姜堰期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE长度的取值范围是 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于H，连接CM，
在Rt△ABC中，AB 5，
S△ABC AC×BC AB×CH，即 3×4 5×CH，
解得：CH ，
∵点D、E分别为CN、MN的中点，
∴DE是△MNC的中位线，
∴DE CM，
当CM⊥AB时，CM最小，最小值为 ，
当点M与点B重合时，CM最大，最大值为4，
∴ .
故答案为： .
【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出 ，只要找到CM的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当 时，CM最短，此时利用勾股定理和三角形的面积公式即可求解，当点M与点B重合时，CM最大，从而可得到DE的取值范围.
三、解答题
19．（2019八下·东莞月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点.求证：CD＝EF．
【答案】解：根据直角三角形斜边中中线等于斜边的一半可得 ，再根据中位线定理可得 ，从而可以得到
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】根据直角三角形的性质可得 ，再根据中位线定理可得 ，问题得证.
20．如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
【答案】解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG=AC=6，GF=CF，
则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．
又∵BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF= BG=1．
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠GAF=∠CAF，然后利用ASA判断出 △AGF≌△ACF ，根据全等三角形对应边线段得出 AG=AC=6，GF=CF， 根据线段的和差，由 BG=AB﹣AG 算出BG的长，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出 EF= BG=1．
21．（2019八下·新乐期末）已知：如图，在四边形 中， ， 为对角线 的中点， 为 的中点， 为 的中点.求证：
【答案】证明：∵ 是 中点， 是 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ 是 中点， 是 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据中位线定理和已知，易证明△NMP是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
22．（2019八下·邳州期中）
如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE、BF交于点M，连接CF、DE交于点N，连接MN.试探讨MN与AD的大小关系和位置关系，并加以证明.
【答案】MN= AD，MN∥AD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，∴EF∥CD
∴四边形ABEF、四边形EFDC均是平行四边形，
∴AM=EM，FN=CN，
∴MN是△AED的中位线，
∴MN= AD，MN∥AD.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】可分别证明四边形ABEF，ECDF均为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得MN为△AED的中位线.
23．（2020八下·南海期末）如图，D是△ABC内一点，连接DB、DC、DA，并将AB、DB、DC、AC的中点E、H、G、F依次连接，得到四边形EHGF．
（1）求证：四边形EHGF是平行四边形；
（2）若BD⊥CD，AD＝7，BD＝8，CD＝6，求四边形EHGF的周长．
【答案】（1）证明：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝ BC．
∵H、G分别是DB、DC的中点，
∴HG∥BC，HG＝ BC．
∴HG＝EF，HG∥EF．
∴四边形EHGF是平行四边形
（2）解：∵BD⊥CD，BD＝8，CD＝6，
∴BC＝ ＝ ＝10，
∵E、F、H、G分别是AB、AC、BD、CD的中点，
∴EH＝FG＝ AD＝3.5，
EF＝GH＝ BC＝5，
∴四边形EHGF的周长＝EH＋GH＋FG＋EF＝17
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）证EF是△ABC的中位线，HG是△DBC的中位线，得出EF∥BC，EF= BC，HG∥BC，HG= BC，则EF∥HG，EF=HG，即可得出结论； （2）由勾股定理求出BC=10，则EF=GH= BC=5，由三角形中位线定理得出EH= AD= ，即可得出答案．
24．（2020八下·滨州月考）已知：四边形ABCD，E，F，G，H是各边的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）假如四边形ABCD是一个矩形，猜想四边形EFGH是什么图形？并证明你的猜想。
【答案】（1）∵E，F，G，H是各边的中点，
∴EF∥AC∥HG，HE∥BD∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形ABCD是一个矩形，四边形EFGH是菱形；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝ AC＝ ＝EH，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理，由两组对边分别平行的四边形为平行四边形即可得到答案；
（2）根据题意可知，由邻边相等的平行四边形为菱形进行判断即可得到答案。
25．（2019八下·兰州期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长.
【答案】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN= AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM= AC，又∵AC=AD，∴MN=BM；
（2）解：∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM= AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°.∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴ ，而由（1）知，MN=BM= AC= ×2=1，∴BN= .
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的定义及定理，可证得MN=AD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到BM=AC，然后由AD=AC，可证得结论。
（2）利用角平分线的定义可求出∠BAC=∠DAC=30°，再利用直角三角形的性质及等腰三角形的性质可证得BM=AM，可得到∠MAB=∠MBA=30°，利用三角形外角的性质可求出∠BMC的度数，就可证得△BMN是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出BN的长。
26．（2019八下·镇江期中）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G.
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长.
【答案】（1）解：四边形DEFG是平行四边形，
理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点，
∴EF= BC，EF∥BC，
同理DG= BC，DG∥BC，
∴EF=DG，EF∥DG，
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OM=4，
∴BC=2EF=8.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答；（2）根据直角三角形的性质求出EF，根据三角形中位线定理计算即可.
27．（2019八下·温州期中）如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，点F是CB的中点，过点F作FE∥AC交AB于点E点D是CA延长线上的一点，且AD= AC，连接DE、AF
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若四边ADEF的周长是24cm，BC的长为6cm，求四边形ADEF的面积.
【答案】（1）证明：∵点F是CB的中点，过点F作FE∥AC，
∴BE=AE，
∴EF= AC，
∵AD= AC，
∴EF=AD，
∵EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ADEF的周长是24cm，
∴AD+AF=12，
∴AF=12-AD，
∵AC=2AD，CF= BC=3，
∴AC2+CF2=AF2，
即（2AD）2+9=（12-AD）2，
∴AD= -4，
∴四边形ADEF的面积=AD CF=3 -12.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行线等分线段定理，可知BE=AE，再利用三角形中位线定理就可证得EF=AD，然后利用平行四边形的判定方法，可证得结论。
（2）利用平行四边形的性质，可得到AD+AF的值，再根据已知 AC=2AD，同时求出CF的长，利用勾股定理建立关于AD的方程，解方程求出AD的值，然后求出四边形ADEF的面积。
28．（2019八下·蔡甸月考）在菱形ABCD中，∠BAD＝60°
（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE.若AB＝4，求线段EC的长
（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论
（3）在(2)的条件下，若AC＝ ，请你直接写出DM＋CN的最小值
【答案】（1）解：如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180 ，
∵∠A=60 ，
∴∠ABC=120 ，
∴ ABD是等边三角形，
∴BD=AD=4，
∵E是AB的中点，
由勾股定理得：DE=2 ，
∵DC∥AB，
∴∠EDC=∠DEA=90 ，
在Rt DEC中，
EC=2
（2）解：如图2，延长CD至H，使CD=DH，连接NH、AH，
∵AD=CD，
∴AD=DH，
∵CD∥AB，
∴∠HDA=∠BAD=60 ，
∴ ADH是等边三角形，
∴AH=AD， ∠HAD=60 ，
∵ AMN是等边三角形，
∴AM=AN， ∠NAM=60 ，
∴∠HAN=∠DAM，
∴ ANH≌ AMD，
∴HN=DM，
∵D是CH的中点，Q是NC的中点，
∴DQ是 CHN的中位线，
∴HN=2DQ，
∴DM=2DQ
（3）解：如图2，由（2）知，HN=DM，
∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，
即：点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小，
此时，点D和点Q重合，
即：CN+DM的最小值为CH，
如图3，
由（2）知，△ADH是等边三角形，
∴∠H=60°.
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACD= ∠BCD= ∠BAD=30°，
∴∠CAH=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ACH中，CH= =2，
∴DM+CN的最小值为2
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图1，连接BD，根据菱形的性质，可得出BD平分∠ABC， ABD是等边三角形，∠ABC=120°，从而可得BD=AD=AB=4.由点E为线段AB的中点，可得DE⊥AB，从而可得∠EDC=∠DEA=90 ，根据勾股定理可求出DE=2，在Rt△DEC中，利用勾股定理即可求出EC的长.
（2）如图2，延长CD至H，使CD=DH，连接NH、AH， 先证 ADH是等边三角形， 结合 AMN是等边三角形，利用等边三角形的性质，根据“SAS”可证 ANH≌ AMD， 可得HN=DM， 根据三角形中位线定理可得HN=2DQ， 由等量代换即得DM=2DQ.
（3）要CN+DM最小，便是CN+HN最小，即当点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小，最小值即是CH的长.由（2）及菱形的性质可求出△CAH是直角三角形且∠CAH=90°，由CH= 求出CH的长即可.
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