初中数学北师大版八年级下学期期末考试复习专题：11 三角形的中位线
一、单选题
1．（2020八下·福绵期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2020八下·木兰期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
3．（2019八上·毕节月考）Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
4．（2018九上·萧山开学考）若三角形的边长为3、4、5，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．8
5．（2018·湖州）如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE=EF B．AB=2DE
C．△ADF和△ADE的面积相等 D．△ADE和△FDE的面积相等
6．（2018·巴中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（2020八下·海州期末）如图，在平行四边形 中， 、 相交于点 ，点 是 的中点.若 ，则 的长是 .
8．（2020八下·抚顺期末）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是
9．（2018·资阳）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为 ．
三、综合题
10．（2018八上·湖州期中）如图1，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，
（1）求证：△BDE为等腰三角形；
（2）若点D为AB中点，AB=6，求线段BC的长；
（3）在图2条件下，若∠BAC=60°，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BE运动，请直接写出图3当△ABP为等腰三角形时t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝3，
故答案为：B.
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半，可求出DE的长。
2．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的中位线定理得到线段的等量关系，再求出三角形的周长即可.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边= =10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为 ×10=5cm.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵三角形的边长为3、4、5，
∴此三角形的周长为3+4+5=12
∴连结各边中点所成的三角形的周长为×12=6
故答案为：6
【分析】利用三角形中位线定理可知，连结已知三角形各边中点所成的三角形的周长=原三角形的周长的一半。
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接CF，
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，
∴BD=CD=DF，
∴△BFC是直角三角形，
∴∠BFC=90°，
∵BD=DF，
∴∠B=∠BFD，
∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，
∴AE=EF，故A不符合题意，
由折叠知，EF=CE，
∴AE=CE，
∵BD=CD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，故B不符合题意，
∵AE=CE，
∴S△ADE=S△CDE，
由折叠知，△CDE≌△△FDE，
∴S△ADE=S△FDE，故D不符合题意，
∴C选项不正确，
故答案为：C．
【分析】 如图，连接CF，根据中点的定义得出 BD=CD， 由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，根据等量代换得出BD=CD=DF，根据等边对等角及三角形的内角和得出△BFC是直角三角形，且∠BFC=90°，根据等边对等角得∠B=∠BFD，根据三角形的外角定理及等量代换角的和差得出∠EAF=∠AFE， 根据等角对等边即可得出AE=EF，故A不符合题意；由折叠知，EF=CE，根据等量代换得出AE=CE，根据三角形的中位线定理得出AB=2DE，故B不符合题意；根据三角形中线的性质得出S△ADE=S△CDE，由折叠知，△CDE≌△△FDE，故S△ADE=S△FDE，故D不符合题意；从而得出答案。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且 ，②正确；
∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，
∴△ODE∽△OBC，
∴ ，①错误；
，③错误；
∵ ，
∴ ，④正确；
故答案为：B．
【分析】根据已知易证可得出DE是△ABC的中位线，利用中位线的定义及中位线定理，可对②作出判断；由DE∥BC可证得△ODE∽△OBC，可得两三角形的对应边成比例，可对①作出判断；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得出△DOE和△BOC的面积比，可对③ 作出判断；根据△DOE和△BOE的底边2OD=OB，这两边上的高相等，可得出这两三角形的面积比，然后就可求出△DOE和△DBE的面积之比，可对④作出判断；综上所述可得出答案。
7．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ 点O是BD的中点
∵点E是AB的中点
∴
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的性质可得点O是BD的中点 ,据三角形中位线定理可得 .
8．【答案】6.5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC2＋BC2＝52＋122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°
，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD＝ AB＝6.5，
故答案是：6.5.
【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD＝ AB.
9．【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
则 =（ ）2，即 = ，
解得：x=9，
即四边形BCED的面积为9，
故答案为：9．
【分析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，根据三角形中位线定理得出DE∥BC，且DE= BC，根据相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可列出方程，求解得出答案。
10．【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC=∠ABE，
∴BD=ED，
∴△DBE为等腰三角形
（2）解：∵点D为AB中点
∴AD=BD=ED= AB=3，
∵DE∥BC，
∴E为AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC=2DE=6
（3）解：在（2）的条件下可知DE=DA，且∠BAC=60°，∴△ADE为等边三角形，∵BC=2DE=AB，∴△ABC为等边三角形，
当BP=AP时，过点P作PE⊥AB，交AB于点E，
则BF= AB=6，在Rt△PBF中，∠PBF= ∠ABC=30°，∴BP= ，即t= ，
当BP=BA时，此时BP=6，即t=6，
当AB=AP时，此时，BP=2BE= ，
即t= ，综上可知当△ABP为等腰三角形时t的值为 ，6，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形-动点问题；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义及平行线的性质，可证得∠DEB=∠EBC=∠ABE，利用等角对等边，即可证得结论。
（2）由线段中点的定义，可求出DE，再证明DE为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理，可求出BC的长。
（3）在（2）的条件下易证△ABC为等边三角形。要使△ABP为等腰三角形，分三种情况讨论：当BP=AP时，过点P作PE⊥AB，交AB于点E；当BP=BA时，此时BP=6；当AB=AP时，此时，BP=2BE，分别求出BP的长，就可得出t的值。
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一、单选题
1．（2020八下·福绵期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝3，
故答案为：B.
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半，可求出DE的长。
2．（2020八下·木兰期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的中位线定理得到线段的等量关系，再求出三角形的周长即可.
3．（2019八上·毕节月考）Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边= =10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为 ×10=5cm.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可.
4．（2018九上·萧山开学考）若三角形的边长为3、4、5，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵三角形的边长为3、4、5，
∴此三角形的周长为3+4+5=12
∴连结各边中点所成的三角形的周长为×12=6
故答案为：6
【分析】利用三角形中位线定理可知，连结已知三角形各边中点所成的三角形的周长=原三角形的周长的一半。
5．（2018·湖州）如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE=EF B．AB=2DE
C．△ADF和△ADE的面积相等 D．△ADE和△FDE的面积相等
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接CF，
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，
∴BD=CD=DF，
∴△BFC是直角三角形，
∴∠BFC=90°，
∵BD=DF，
∴∠B=∠BFD，
∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，
∴AE=EF，故A不符合题意，
由折叠知，EF=CE，
∴AE=CE，
∵BD=CD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，故B不符合题意，
∵AE=CE，
∴S△ADE=S△CDE，
由折叠知，△CDE≌△△FDE，
∴S△ADE=S△FDE，故D不符合题意，
∴C选项不正确，
故答案为：C．
【分析】 如图，连接CF，根据中点的定义得出 BD=CD， 由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，根据等量代换得出BD=CD=DF，根据等边对等角及三角形的内角和得出△BFC是直角三角形，且∠BFC=90°，根据等边对等角得∠B=∠BFD，根据三角形的外角定理及等量代换角的和差得出∠EAF=∠AFE， 根据等角对等边即可得出AE=EF，故A不符合题意；由折叠知，EF=CE，根据等量代换得出AE=CE，根据三角形的中位线定理得出AB=2DE，故B不符合题意；根据三角形中线的性质得出S△ADE=S△CDE，由折叠知，△CDE≌△△FDE，故S△ADE=S△FDE，故D不符合题意；从而得出答案。
6．（2018·巴中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且 ，②正确；
∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，
∴△ODE∽△OBC，
∴ ，①错误；
，③错误；
∵ ，
∴ ，④正确；
故答案为：B．
【分析】根据已知易证可得出DE是△ABC的中位线，利用中位线的定义及中位线定理，可对②作出判断；由DE∥BC可证得△ODE∽△OBC，可得两三角形的对应边成比例，可对①作出判断；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得出△DOE和△BOC的面积比，可对③ 作出判断；根据△DOE和△BOE的底边2OD=OB，这两边上的高相等，可得出这两三角形的面积比，然后就可求出△DOE和△DBE的面积之比，可对④作出判断；综上所述可得出答案。
二、填空题
7．（2020八下·海州期末）如图，在平行四边形 中， 、 相交于点 ，点 是 的中点.若 ，则 的长是 .
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ 点O是BD的中点
∵点E是AB的中点
∴
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的性质可得点O是BD的中点 ,据三角形中位线定理可得 .
8．（2020八下·抚顺期末）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是
【答案】6.5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC2＋BC2＝52＋122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°
，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD＝ AB＝6.5，
故答案是：6.5.
【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD＝ AB.
9．（2018·资阳）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为 ．
【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
则 =（ ）2，即 = ，
解得：x=9，
即四边形BCED的面积为9，
故答案为：9．
【分析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，根据三角形中位线定理得出DE∥BC，且DE= BC，根据相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可列出方程，求解得出答案。
三、综合题
10．（2018八上·湖州期中）如图1，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，
（1）求证：△BDE为等腰三角形；
（2）若点D为AB中点，AB=6，求线段BC的长；
（3）在图2条件下，若∠BAC=60°，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BE运动，请直接写出图3当△ABP为等腰三角形时t的值．
【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC=∠ABE，
∴BD=ED，
∴△DBE为等腰三角形
（2）解：∵点D为AB中点
∴AD=BD=ED= AB=3，
∵DE∥BC，
∴E为AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC=2DE=6
（3）解：在（2）的条件下可知DE=DA，且∠BAC=60°，∴△ADE为等边三角形，∵BC=2DE=AB，∴△ABC为等边三角形，
当BP=AP时，过点P作PE⊥AB，交AB于点E，
则BF= AB=6，在Rt△PBF中，∠PBF= ∠ABC=30°，∴BP= ，即t= ，
当BP=BA时，此时BP=6，即t=6，
当AB=AP时，此时，BP=2BE= ，
即t= ，综上可知当△ABP为等腰三角形时t的值为 ，6，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形-动点问题；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义及平行线的性质，可证得∠DEB=∠EBC=∠ABE，利用等角对等边，即可证得结论。
（2）由线段中点的定义，可求出DE，再证明DE为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理，可求出BC的长。
（3）在（2）的条件下易证△ABC为等边三角形。要使△ABP为等腰三角形，分三种情况讨论：当BP=AP时，过点P作PE⊥AB，交AB于点E；当BP=BA时，此时BP=6；当AB=AP时，此时，BP=2BE，分别求出BP的长，就可得出t的值。
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