云南省砚山县第三高级中学2021-2022学年高二下学期3月开学考试数学试题（Word版含答案解析）

砚山县第三高级中学2021-2022学年高二下学期3月开学考试
数学试卷
考试时间：120分钟,满分150分.
第I卷（选择题）
一、单选题（一共12题，每题5分，共60分）
1．（ ）．
A． B． C． D．
2．函数(a＞0且a≠1)一定经过的定点是（ ）
A．(0,1) B．(1,3) C．(1,2) D．(1,1)
3．已知的终边在第四象限，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．下面各组函数中表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知曲线，则下面结论正确的是（　　）
A．把上点向右平移个单位长度得到曲线
B．把上点向右平移个单位长度得到曲线
C．把上点向左平移个单位长度得到曲线
D．把上点向左平移个单位长度得到曲线
10．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
11．函数的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．已知偶函数的定义域为，且在区间上的图象如图所示，则使的的取值范围为 ．
14．函数，的最大值是_________.
15．已知扇形的半径为4，圆心角为，则扇形的面积为___________.
16．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则______．
三、解答题（共6个题，17题10分，18、19、20、21、22各12分，共70分）
17．（10分）已知函数.
(1)化简；
(2)若，求下列表达式的值：①；②.
18．（12分）已知函数.
（1）求的值；
（2）若，试求的取值范围.
19．（12分）已知函数.
（1）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
20．（12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四张卡片，现从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，每张卡片被取出的可能性相等.
（1）求取出的两张卡片上标号为相邻整数的概率；
（2）求取出的两张卡片上标号之和能被3整除的概率.
21．（12分）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数的值域．
22．（12分）已知甲射击的命中率为0.7．乙射击的命中率为0.8，甲乙两人的射击互相独立．求：
(1)甲乙两人同时击中目标的概率；
(2)甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率；
(3)甲乙两人中恰有一人击中目标的概率．
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用诱导公式和二倍角的正弦公式可求三角函数式的值.
【详解】
，
故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
根据指数函数过,结合函数图像平移变换即可求得函数过的定点.
【详解】
因为指数函数(a＞0且a≠1)过定点
将向右平移1个单位,向上平移2个单位可得函数的图像
所以定点平移后变为
故选:B
【点睛】
本题考查了函数过定点的求法,函数图像平移变换,属于基础题.
3．A
【解析】
【分析】
结合同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式求得正确答案.
【详解】
的终边在第四象限，，
所以，
则．
故选：A
4．B
【解析】
【分析】
根据根式函数，分式函数，对数函数的定义域求函数的定义域即可.
【详解】
方法1：要使函数有意义，则有，即，所以.
所以函数的定义域为.
方法2：特殊值法
当时，无意义，所以排除A，C.
当时，，则不能当分母，所以排除D.
故选：B.
5．C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式可求三角函数式的值.
【详解】
.
故选：C.
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值的计算，本题利用辅助角公式来化简，本题属于容易题.
6．A
【解析】
【分析】
根据指对数函数的性质判断a、b、c的大小.
【详解】
由，
所以.
故选：A
7．C
【解析】
【分析】
设出函数的解析式，根据幂函数的图象过点，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．
【详解】
设幂函数的解析式为，
∵幂函数的图象过点，
∴，
解得
∴，其定义域为，且是增函数，
当时，其图象在直线的上方．对照选项可知C满足题意．
故选:C．
8．C
【解析】
分析各个选项中的两个函数的定义域及化简后的解析式是否相同.
【详解】
对于A.定义域为R，定义域为，故不为同一个函数；
对于B.定义域为，定义域为，故不为同一个函数；
对于C.和定义域相同，解析式化简后相同，为同一个函数；
对于D.定义域为，定义域为R，故不为同一个函数．
故选：C.
【点睛】
判断两个函数相同的方法：
(1)看定义域是否相同，如果定义域不同，就算解析式相同，也不是相同的函数；
(2)定义域相同的情况下，看解析式是否相同．
9．D
【解析】
，由平移规则即可得出结果.
【详解】
因为，
所以把上点向左平移个单位长度得到曲线.
故选：D.
10．B
【解析】
【详解】
分析：由公式计算可得
详解：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，
则
因为
所以，
故选B.
点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题．
11．C
【解析】
【分析】
直接利用余弦函数的范围求最值即可．
【详解】
因为，
所以的最大值为2，当，时，取得最大值．
故选：C．
12．B
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可
【详解】
解：因为函数在上均为减函数，
所以函数在上为减函数，
因为，
所以函数的零点所在的区间为，
故选：B
【点睛】
此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题
13．
【解析】
【分析】
根据函数是偶函数，把函数在区间上的图象画出，结合函数图象，求出的解集
【详解】
∵是偶函数，∴其图象关于轴对称，∴可根据在区间上的图象作出在区间上的图象，从而得到在区间上的图象，如图所示．根据图象可知，使的的取值范围为．
故答案为：
14．
【解析】
根据函数单调性可求的最大值.
【详解】
因为，为增函数，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的最值，可根据函数的单调性来求给定范围上的最值，本题属于容易题.
15．
【解析】
【分析】
先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．
【详解】
根据扇形的弧长公式可得，
根据扇形的面积公式可得．
故答案为：．
16．
【解析】
【分析】
先由三角函数定义得，再由正切的两角差公式计算即可.
【详解】
由三角函数的定义有，
而.
故答案为：
17．(1)
(2)①，②；
【解析】
【分析】
（1）直接利用诱导公式化简即可；
（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
(1)
解：因为，所以；
(2)
解：由，得
①
②
18．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接代入求解即可得答案；
（2）根据对数函数的单调性求解不等式即可得答案.
【详解】
解：（1）因为，
所以
（2）因为，即，
所以，解得.
所以的取值范围是
19．（1）见解析（2），
【解析】
【分析】
（1）利用定义证明其单调性即可；
（2）由单调性得出最值.
【详解】
（1）任取，且
，，即
即
函数在上单调递减
（2）由（1）可知，，
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）先利用树状图法或列举法列出所有可能的结果，然后确定两张卡片上标号为相邻整数的所有可能结果的个数，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
（2）利用树状图法或列举法列出所有可能的结果，然后确定两张卡片上标号之和能被3整除的所有可能结果的个数，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
方法一 利用树状图列出从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片的所有可能结果：
可以看出，试验的所有可能结果有16种.
（1）所取两张卡片上的标号为相邻整数的结果有1-2，2-1，2-3，3-2，3-4，4-3，共6种，故所求概率为，即取出的两张卡片上的标号为相邻整数的概率为.
（2）取出的两张卡片上的标号之和能被3整除的结果
有1-2，2-1，2-4，3-3，4-2，共5种，故所求概率为，即取出的两张卡片上的标号之和能被3整除的概率为.
方法二 设从甲、乙两个盒子中各取一张卡片，其标号分别为，用表示抽取结果，则所有可能的结果为，，，，共16种.
（1）所取两张卡片上的标号为相邻整数的结果有，共6种，故所求概率为.
所以取出的两张卡片上的标号为相邻整数的概率为.
（2）取出的两张卡片上的标号之和能被3整除的结果有，共5种，故所求概率为，所以取出的两张卡片上的标号之和能被3整除的概率为.
【点睛】
本题考查基本事件，古典概型，属于基础题型.
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数的单调性即可得出答案；
（2）利用整体思想结合正弦函数的性质即可得出答案.
(1)
解：令，
得，
∴的单调递增区间为；
(2)
解：当时，，
∴，
∴当时，函数的值域为．
22．(1)0.56
(2)0.94
(3)0.38
【解析】
【分析】
（1）根据独立事件的概率公式计算；
（2）结合对立事件的概率公式、独立事件的概率公式计算．
（3）利用互斥事件与独立事件的概率公式计算．
(1)
设甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，
甲乙两人同时击中目标的概率；
(2)
甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率为；
(3)
甲乙两人中恰有一人击中目标的概率为
．