2021-2022学年苏科版八年级下册数学第9章中心对称图形——平行四边形单元测试卷（Word版含答案）

2021-2022学年苏科新版八年级下册数学《第9章 中心对称图形——平行四边形》单元测试卷
一．选择题（共11小题，满分33分）
1．如图中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后形成的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．能由图中的图形旋转得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．将平行四边形纸片沿过其对称中心的任一直线对折，下图不可能的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km
7．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
8．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（　　）
A．4 B． C． D．
9．下列图形中，是中心对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
10．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE＝BC，成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
二．填空题（共10小题，满分30分）
12．与点A（﹣3，4）关于原点对称的点B的坐标为　 　．
13．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案与第1个至第4个中的第　 　个箭头方向相同（填序号）．
14．时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的角度是　 　．
15．一个正五角星绕着它的中心至少旋转　 　度能与自身重合．
16．如图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE绕A点逆时针旋转90°再向右平移2个单位的图形（其中C、D为所在小正方形边的中点）　 　．
17．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是　 　．
18．如图，平行四边形ABCD中，F，E分别在边AD，BC上，要使AE＝CF，需要添加的条件是　 　（只填一个你认为正确的即可）．
19．直角三角形斜边上的中线长为5cm，则斜边长为　 　cm．
20．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为　 　．
21．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O'的距离为4；
③∠AOB＝150°；
④S四边形AOBO′＝6+3；
⑤S△AOC+S△AOB＝6+．
其中正确的结论是　 　．
三．解答题（共6小题，满分57分）
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，﹣3）、C（4，﹣4），
（1）作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
23．如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME＝MF．
（1）求证：BE⊥AC；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
24．（1）计算： +﹣2﹣1；
（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是　 　；在前16个图案中有　 　个；第2008个图案是　 　．
25．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
求证：BE+CF＞EF，若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
26．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
27．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90度．
（1）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）．
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180度．（　 　）
②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（　 　）
（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是　 　（写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：
①是轴对称图形，但不是中心对称图形：　 　；
②既是轴对称图形，又是中心对称图形：　 　．
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题，满分33分）
1．解：根据旋转的性质可知，图中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后形成的是
和．
故选：C．
2．解：绕着图形的中心，顺时针旋转180度，得到的图形是
故选：B．
3．解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，
∴作图正确的是C选项图形．
故选：C．
4．解：因为平行四边形是中心对称图形，所以折叠的两部分为全等的图形，故B不可能．
故选：B．
5．解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B为旋转中心．
故选：B．
6．解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点，
∴CM＝AB＝×2.6＝1.3（km），
故选：C．
7．解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；
B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；
C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；
D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；
故选：C．
8．解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∴BB′＝2AB＝4．
故选：A．
9．解：第一个图形是中心对称图形，
第二个图形是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，
第四个图形是轴对称图形，
是中心对称图形的有3个，
故选：C．
10．解：∵CH⊥AB，垂足为H，
∴∠CHB＝90°，
∵点M是BC的中点．
∴MH＝BC，
∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，
∴MH的最大值为3，
故选：A．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，
∵AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，故①正确；
∴∠EAC＝∠ACE＝30°
∴∠BAC＝90°，
∴S△ABC＝AB AC，故②错误；
∵BE＝EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE＝S△ACE，故③错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝CO，
∵AE＝CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE＝30°，
∴EO＝EC，
∵EC＝AB，
∴OE＝BC，故④正确；
故正确的个数为2个，
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
12．解：∵点B与点A关于原点对称，
∴点B的坐标为（3，﹣4）．
故答案为：（3，﹣4）．
13．解：2019÷4＝504…3，
故第2019个图案中的指针指向与第3个图案相同，
故答案为：3
14．解：∵周角为360°，时针12小时转一周，
∴每小时对应的角度为：360°÷12＝30°．
∵时针从上午8时到上午11时走了三个小时，
∴时针旋转的角度是：30°×3＝90°．
故答案为：90°．
15．解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．
故答案为：72
16．解：
17．解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝＝2，
故答案为2．
18．解：AF＝CE；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵AF＝EC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE＝CF，
故答案为：AF＝CE．
19．解：∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，∴斜边长＝2×5＝10cm．
20．解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm2．
故答案为： cm2．
21．解；连接OO'，如图1，
∵BO＝BO'，∠OBO'＝60°，
∴△BOO'是等边三角形，
∴OO'＝BO＝4，
故②正确；
∵∠OBO'＝∠ABC＝60°，
∴∠ABO'＝∠ABC且OB＝OB'，AB＝AC，
∴△ABO'≌△CBO （SAS），故①正确；
∴AO'＝CO＝5，
∵O'A2＝25，AO2+O'O2＝25∴O'A2＝AO2+O'O2
∴∠AOO'＝90°，
∴∠AOB＝150°，
故③正确；
∵△OO'B是等边三角形，AO＝3，OO'＝4，
∴S△BOO'＝4，S△AOO'＝6，
∴S四边形AOBO′＝6+4，
故④错误；
如图2，
将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO'位置，
同理可得S△AOC+S△AOB＝6+，
故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
三．解答题（共6小题，满分57分）
22．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图知点A1的坐标为（﹣2，1）、B1的坐标为（﹣1，3）、C1的坐标为（﹣4，4）．
23．（1）证明：∵CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，
∴MF＝BM＝CM＝BC，
∵ME＝MF，
∴ME＝BM＝CM＝BC，
∴∠MEB＝∠MBE，∠MEC＝∠MCE，
∵2∠MEB+2∠MEC＝180°，
∴∠MEB+∠MEC＝90°，
∴BE⊥AC；
（2）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵ME＝MF＝BM＝CM，
∴∠BMF+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣2×130°
＝100°，
在△MEF中，∠FME＝180°﹣100°＝80°．
24．解：（1）原式＝＝2；
（2）根据分析，知应分别为，5，．
25．解：（1）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）若∠A＝90°，则∠EBC+∠FCB＝90°，
由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，
∴BE2+CF2＝EF2．
26．解：（1）连接PP′，由题意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，
∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，
所以∠PAP′＝60度．故△APP′为等边三角形，
所以PP′＝AP＝AP′＝6；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
可求∠APB＝90°+60°＝150°．
27．解：（1）等腰梯形必须旋转360°才能与自身重合；矩形旋转180°可以与自身重合．
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180度．（假）
②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（真）
（2）①只要旋转120°的倍数即可；
②只要旋转90°的倍数即可；
③只要旋转60°的倍数即可；
④只要旋转45°的倍数即可．
故是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是①、③．
（3）360°÷72°＝5．
①是轴对称图形，但不是中心对称图形：如正五边形，正十五边形；
②既是轴对称图形，又是中心对称图形：如正十边形，正二十边形．