2021-2022学年北师大版数学八年级下册1.4.1角平分线课件（第一课时 18张）

(共18张PPT)
角平分线第一课时
温故知新
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
用尺规作角的平分线
作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.

3.作射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
A
B
O
C
D
E
学习目标
1. 能够证明角平分线的性质定理、判定定理及其相关结论.（重点）
2. 角的平分线相关定理的推理证明及对知识的综合应用.（重难点）
新知探究
角平分线上的点有什么性质吗
角平分线上的点到角两边的距离相等。
你能证明这个结论吗？
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
A
B
O
D
E
C
P
证明：∵OC是∠AOB的平分线
∴∠1=∠2
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在 PDO和 PEO中
∠PDO=∠PEO
∠1=∠2，
OP=OP（公共边）
∴ PDO ≌ PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
1
2
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE.
A
O
C
B
1
P
D
E
2
你能写出上面这个定理的逆命题吗
这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出反例.
平分线上的点到这个角的两边距离相等.
在一个角的内部，如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.
角平分线性质定理的逆命题：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.
A
O
C
B
1
P
D
E
2
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°
　　　 在Rt ODP和Rt OEP中
OP=OP
PD=PE
　　　 ∴ Rt ODP ≌ Rt OEP(HL)．
　　　∴ ∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
∴OP平分∠AOB．
A
O
C
B
1
P
D
E
2
∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E(已知)，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线上.
A
O
C
B
1
P
D
E
2
B
A
E
D
C
F
1. 如图，在 ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC，且DE=DF，求DE的长.
解：∵ DE⊥AB,DF⊥AC，且DE=DF，
∴ AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
　　　又∵∠BAC=60°
∴ ∠BAD=30°
在Rt ADE中，∠AED=90°,AD=10,
∴DE= AD= ×10=5(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
2. 如图，AD，AE分别是 ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么位置关系
E
D
A
B
C
F
解：AD⊥AE，理由如下：
∵AD，AE分别平分∠BAC，∠CAF
∴∠CAD= ∠BAC
∠CAE= ∠CAF
∴∠CAD+∠CAE= ∠BAC+ ∠CAF
= ( ∠BAC+∠CAF )
= ×180°=90°，即∠DAE=90°
∴ AD⊥AE
课堂小结
1. 角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
2. 角平分线的判定定理：
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
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