2021-2022学年高二下学期数学 人教A版（2019）选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 章末复习检测题 （word含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》章末复习检测题
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不能确定
2．已知函数在时取得极值，则（ ）
A．10 B．5 C．4 D．2
3．函数在上的最大值为2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是函数在上的导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．定义在R上的函数，若，，，则比较a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x－f(x)<0，其中是函数f(x)的导函数.若2f(m－2019)>(m－2019)f（2），则实数m的取值范围为（ ）
A．(0，2019) B．(2019，＋∞)
C．(2021，＋∞) D．(2019，2021)
7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．曲线的切线和曲线可能有两个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．在点处有切线，不一定存在
10．达芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽，达芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链线.建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，双曲余弦函数则以下正确的是（ ）
A．是奇函数 B．在上单调递减
C．， D．，
11．关于函数，.下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为
B．有两个零点
C．有两个极值点
D．存在唯一极小值点，且
12．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．已知函数在处可导，若＝1，则_______．
14．已知函数的最小值为，则_____．
15．已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.
16．对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________.
四、解答题
17．已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
18．已知函数.
（1）若曲线的图象与轴相切，求的值；
（2）求曲线斜率最小的切线方程.
19．已知函数.
（1）当时，讨论的导函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
20．设函数，是函数的导数.
（1）证明：在区间上没有零点；
（2）证明：在上，.
21．已知函数，.
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）设，试讨论函数的单调性.
22．已知函数的图象在处的切线为.
(1)若函数，求函数的单调区间；
(2)设函数图象上存在一点处的切线为直线，若直线也是曲线的切线，证明：实数存在，且唯一.
参考答案：
1．A
由题意结合函数的解析式有：
，
，
则，因为，所以k1>k2.
2．A
】
∵,∴，
∵是函数的极值点，∴的实数根，
即,解得．
.
3．D
解:由函数的解析式可得:，
当≤0时,即时，在内恒成立，函数在区间上单调递增,而,不合题意;
当≥2，即时,在内恒成立，函数导函数在区间[0, 2]上单调递减,而f(0)=2 ,满足题意;
当，即时，在区间上, 函数单调递减,在区间 上, 函数单调递增，满足题意时有 ,即: , 解得 ,此时 ,
综上可得,实数的取值范围是[4 , +∞) .
4．A
函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，
当时，；当时，；当时，.
所以，当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，.
5．C
根据题意，函数，其导数，
即函数为增函数，
又由，
则有，
6．D
令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝
∵xf′(x)－f(x)<0，∴h′(x)<0，
∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵2f(m－2019)>(m－2019)f（2），m－2019>0，
∴，
即h(m－2019)>h（2）
∴m－2019<2且m－2019>0，
解得2019∴实数m的取值范围为(2019，2021).
7．B
① 当时，只需时显然成立，时，，令，，可得函数的减区间，增区间为，故有，得；
② 当时，，有.
③ 当 时，，即.
故实数的取值范围为.
8．B
解：的导数为，
曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，即.
由于切线与曲线相切，
可联立，
得，
又，两线相切有一切点，
所以有，
解得.
9．AD
曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，如曲线在处的切线与曲线有另外一个交点,故A正确，B不正确；
不存在，曲线在点处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为，故C不正确；D选项正确．
10．BCD
由题意可知，，定义域为
所以，所以是偶函数；故选项A错误；
函数的导数为，
所以当时，，当时，，
所以函数，单调递减区间为 ，单调递增区间为，
又，所以函数在上单调递增，
由复合函数的单调性可知，在上单调递减，故选项B正确；
由基本不等式可知，，当且仅当时取等号；故选项C正确；
由C可知，，，所以，使得成立，故选项D正确；
11．ABD
，，，
，切线方程为,即,故A正确；
，当时，，
当时，，,∴，
∴时，，∴单调递增，
，，
在内，存在唯一的零点,且，
且在内，，单调递减；
，，单调递增，
∴为极值点，且为极小值点.
由，∴，
∵，∴，
∴，
∴有唯一的极值点，且为极小值点，且，故C错误，D正确；
又∵,
结合函数的单调性可知
∴有两个零点，故B正确；
12．ABC
∵是增函数，∴A正确；
对于B，构造函数，∴，当时，是减函数，∴，即，
B正确；
对于C，构造函数，∴，当时，是减函数，∴，即，C正确；
对于D，，
，因为，所以，
因为是增函数，所以，
D不正确.
13．
即
14．
函数的定义域为，且，
令，得.
当时，；当时，.
所以，函数在取得极小值，亦即最小值，即，因此，.
15．
对任意都存在使成立，
所以得到，
而，所以，
即存在，使，
此时，，
所以，
因此将问题转化为
存在，使成立，
设，则，
，
当，，单调递增，
所以，
即，所以，
所以实数的取值范围是.
16．(1)；（2）2013.
（1），函数在处取得极值，所以有；
（2）由（1）可知：，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，
，，故函数的最小值为.
18．（1）或；（2）.
（1）函数的导数为，
设切点为，可得，解得或，
当时，则，可得；当时，.
综上可得或；
（2），当时，的最小值为，
可得切点为，此时切线的方程为，即为.
19．(1) 当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为；(2).
（1）当时，，
，
当时，，的单调递减区间为；
当时，，的单调递增区间为.
（2） ，
（i）当时，，所以在上单调递增，
.
（ii）当时，，
由，得，
①当时，，所以时，，在上单调递增，
又由，所以，即在上单调递增，
所以有.
②当时，，当时，，在上单调递减，
又由，所以，所以在上单调递减，
所以有，故此时不满足，
综上，.
20．（1）见解析；（2）见解析.
（1），，
当时，，
因此，函数在区间上没有零点；
（2），
由，所以恒成立，故只需证明即可．
设，
，
故函数在区间上单调递增，所以．
所以当时，，即.
21．（1）；（2）答案见解析.
（1）因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，解得.
验证：当时，，
易得在处取得极大值.
（2）因为，
所以.
①若，则当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，∴函数在上单调递减.
②若，，
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，恒成立，∴函数在上单调递增；
当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减.
22．(1)函数定义域为，求导得：，
因的图象在处的切线为，则有，解得，即，
因此，，且，，
所以函数的单调递增区间为和.
(2)
由函数得，，，则切线的方程为，即，
设直线与曲线相切于点，由求导得：，
则直线的方程也为，即，
因此有：，即，整理得：，
由(1)知，在区间上递增，又，，
于是得方程必在区间上有唯一的根，即方程在上有唯一的根，
因，，因此，方程在上唯一的根就是，而，
所以存在，且唯一.