2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册 第五章一元函数的导数及其应用单元测试（word含解析）

人教版（2019）选修二一元函数的导数及其应用单元测试
考试范围：导数；考试时间：120分钟；
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）
1．有一机器人的运动方程为，(是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
2．偶函数为函数的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C．和 D．
4．设，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．曲线上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为（ ）
A．(－3,3) B．(－11,4)
C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)
7．已知函数，要使函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，有下列结论：
①在上都是增函数；
②若，则；
③若，则；
④若，则曲线上不存在相异两点M，N处的切线互相平行．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．③ C．③④ D．②③④
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9．下列求导错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.
11．已知定义在上的函数的导函数为，且， ，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．设，若为函数的极大值点，则下列关系中可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．如图所示，直线是曲线在点处的切线，则__________.
14．已知函数，则f（e）＝__.
15．已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
x 0 2 4 5
3 1 2.5 1 3
的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
①在区间上单调递增；
②有2个极大值点；
③的值域为；
④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是______．
16．已知函数，若当时，函数与有相同的最小值，则m的最小值为___________.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
18．（12分）已知函数，，且．求：
(1)a的值及曲线在点处的切线方程；
(2)函数在区间上的最大值．
19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的值及在上的解析式；
(2)若在区间上有极值，求的取值范围.
20．（12分）给定函数.
(1)判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；
(2)画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；
(3)求出方程的解的个数.
21．（12分）函数.（）
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)求函数的极值.
22．（12分）已知函数.
(1)讨论函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的最大整数值.
参考答案：
1．B
由题知，，
当时，，即速度为7.
故选：B
2．B
由图象可知，的图象从左往右，是增减增，由此排除AD选项，
由图象可知，当时，增长越来越快，由此排除C选项.
故选：B
3．B
因为函数，
所以，
由，解得，
所以函数的单调递减区间是，
故选：B
4．A
因为，，，
，，，
以此类推可知，对任意的，，
因为，因此，.
故选：A.
5．D
解：因为，所以，设切点为，则，解得，所以切点为，点到直线的距离，所以曲线上的点到直线的距离的最小值是；
故选：D
6．C
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得即
解得或
当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，
所以数对为(4,-11)，选项C正确.
故选：C.
7．A
要使函数有三个解，则与图象有三个交点，
因为当时，，
所以，
可得在上递减，在递增，
所以，有最小值，且时，，
当趋向于负无穷时，趋向于0，但始终小于0，
当时，单调递减，
由图像可知：
所以要使函数有三个零点，则.
故选：A．
8．C
①，x＞0
令＝0，即，∵，∴方程有两个不等实数根，设为，∵，故两根异号，即方程必有一个正根，不妨设该正根为，
则在递减，在递增，即f(x)在不单调，故①错误；
②，x＞0，
，
令，则.
，g(x)在单调递减，在单调递增，故，故②错误；
③，，，
故f(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，故，
故③正确；
④，x＞0，令h(x)＝，则＝＞0，
∴是x＞0时的单调递增函数，
故f(x)不存在两个相等的导数值，即不存在相异的两点切线平行.故④正确.
故选：C.
9．AB
，A错误；
，B错误；
，C正确；
，D正确．
故选：AB．
10．AC
在时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A正确；
在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，但两曲线在此时的切线斜率不相同，因此瞬时变化率不相同，B错误；
在两个时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，因此在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C正确；
在和两个时间段内，时间差不多，但甲血管中药物浓度差前者小于后者，药物浓度的平均变化率不相同，D错．
故选：AC．
11．CD
令，，则.
因为，所以在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，即，，故A错误；
又，所以，所以在上恒成立，
因为，所以，故B错误；
又，所以，即，故C正确；
又，所以，即，故D正确.
故选：CD.
12．BC
若，则为单调函数，，
则或，函数单调，无极值点，不符合题意，故，
∴有和两个不同的零点，且在左右是不变号，在左右是变号的，
由题意可知，为函数的极大值点，
则左右附近都是小于零的，
当，即时，由，可得，
则，，
∴，
当，即时，由时，，
则，，
∴，
故选：BC．
13．
由图象可知直线过，
所以直线的斜率为，
所以.
故答案为：
14．
∵，
∴，
，
解得，
，
，
故答案为：.
15．③④
根据函数的导函数的图象与表格，整理出函数的大致图象，如图所示．
对于①，在区间上单调递减，故①错误；
对于②，有1个极大值点，2个极小值点，故②错误；
对于③，根据函数的极值和端点值可知，的值域为，故③正确；
对于④，如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4，故④正确．
综上所述，所有正确结论的序号是③④．
故答案为：③④
16．
∵,
∴,
在内,单调递减；
在上,单调递增.
∴,
对于函数，设,则,
当且仅当时取得最小值，
∴有解,
∴,令,
∴,
在内,单调递减；
在上,单调递增.
∴,即m的最小值为，
故答案为：
17．(1)
(2)
(1)
.
(2)
.
18．(1)
(2)
(1)
由题意，，
因为，所以，解得，
所以，，
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
(2)
因为，且，
所以在上单调递增，
所以，即函数在区间上的最大值为.
19．(1)，
(2)
(1)
解：因为是定义在上的奇函数，
所以，取得，
即，所以，
所以时.
设，则，所以，
又，所以，所以.
(2)
解：由可知在处取得极值，
所以或，
解得或，即，
所以的取值范围是.
20．(1)函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值；
(2)具体见解析；
(3)具体见解析.
(1)
，时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值.
(2)
作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当
时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0.
(3)
结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解.
21．(1)单调增区间为，；单调减区间为
(2)当时，的极大值为，极小值为；
当时，的极大值为，极小值为；
当时，无极值.
(1)
当时，，定义域为，
则，
由，得或；，得，
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为.
(2)
函数，定义域为，
则，令得，
①当时，函数的单调增区间为，，单调减区间为，
所以函数在时取得极大值为，
在时取得极小值为；
②当时，函数的单调增区间为，，单调减区间为，
所以函数在时取得极大值为，
在时取得极小值为；
③当时，恒成立，故函数的单调增区间为，无极值.
综上：当时，的极大值为，极小值为；
当时，的极大值为，极小值为；
当时，无极值.
22．(1)极大值，无极小值
(2)2
(1)
解：函数的定义域为，
所以
①当时，函数在上单调递减，函数无极值
②当时，由得
当时，，单调递增，时，，单调递减，
所以有极大值，无极小值；
(2)
解：由（1）知：①当时，函数在上单调递减，
当时，成立，
所以当时，由题意不需要考虑，
②当时，，
令，，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴
又，又在上单调递增，
∴的最大整数值为2.