2021-2022学年高一下学期数学 人教A版（2019）必修第二册 6.4.3 余弦定理、正弦定理 分类练习 （word含解析）

6.4.3 余弦定理、正弦定理
◎正弦定理判断
1．（2021·全国·高一课时练习）在中，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
◎运用正弦定理解三角形
1．（2021·全国·高一课时练习）在中，已知，，，求；
2．（2020·陕西·延安市第一中学阶段练习）在△中，，.
（1）求的值；
（2）若，求△的面积.
◎三角形的个数问题
1．（2022·全国·专题练习）满足条件，，的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在
◎正弦定理求半径
1．（2021·吉林·长春市第二十九中学高一阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，且，，则__________.
1．（2019·新疆石河子一中高一期末）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______．
◎余弦定理边角互化问题
1．（2022·四川绵阳（文））在中，内角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
◎余弦定理
1．（2021·全国·高一课时练习）在中,内角,,所对的边分别为,,,且,则此三角形中的最大角的大小为（ ）
A． B． C． D．
◎应用余弦定理解三角形
1．（2022·湖南·高一课时练习）在中，
(1)已知，，，求；
(2)已知，，，求；
(3)已知，，，求．
◎余弦定理边角互化问题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求证：；
（2）若，且的面积为，求的值.
◎正余弦定理应用实例（三角形形状、实际模型、范围问题）
1．（2022·广西桂林·期末（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2021·河南·阶段练习）今年多地发生洪水，一小船从处以米分钟的速度沿着北偏东的方向顺河而下，在点南偏东距离为的处有一救生艇，沿着北偏西的方向快速拦截，若要拦截成功，则救生艇速度至少为___________米分钟.
3．（2022·四川绵阳·（理））在中，角的对边分别为，其中，且.
(1)求角的大小；
(2)求周长的取值范围.
4．（2021·江苏如皋·阶段练习）如图，在平面四边形中，，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，，且为锐角，求角A的大小．
巩固提升
一、单选题
1．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于（ ）
A． B． C． D．
3．某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，则此山的高度BC约为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是的三边，如果满足，则三角形的形状（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中只有一解的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为
二、多选题
7．在中，角、、的对边分别是、、，下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．三角形 中， 角 的对边分别为 ， 下列条件能判断 是钝角三角形的有 （ ）
A． B．
C． D．
9．锐角三角形的面积是，，.则（ ）
A． B． C． D．
10．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若是等边三角形，则
三、填空题
11．在中，，，，则此三角形的最大边长为___________.
12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．
13．已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△的面积为2，边上中线的长为．且，则△外接圆的面积为___________．
四、解答题
14．在中，角A B C的对边分别为a b c，已知
(1)求的值；
(2)若，求的值.
15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且.
(1)求C；
(2)若D是BC的中点，，，求AB的长.
16．如图，在山顶P点已得三点A，B，C的俯角分别为，，，其中A，B，C为山脚下两侧共线的三点，现欲沿直线AC挖掘一条隧道，试根据测得的AD，EB，BC的长度，建立估计隧道DE长度的数学模型．
17．如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°．
(1)求∠ACD；
(2)若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围．
18．在非直角中，角，，对应的边分别，，，满足.
(1)判断的形状；
(2)若边上的中线长为2，求周长的最大值.
参考答案：
◎正弦定理判断
1．D
对于选项A：由正弦定理有，故，故选项A错误；
对于选项B：因为，故，故选项B错误；
对于选项C：，由余弦定理得；故选项C错误；
对于选项D：由正弦定理可得，再根据诱导公式可得：，即，故选项D正确；
故选：D
◎运用正弦定理解三角形
1．(1)
(2)
(3)
(1)
在中，由正弦定理可得：，即，
可得，因为，，所以，即.
(2)
在中，由余弦定理可得：，
因为 ，所以.
(3)
在中，由余弦定理可得：
，
解得：.
2．（1）；（2）.
（1）因为，所以由正弦定理得；
（2）若，则，
，
，又由（1）可得，
，
．
◎三角形的个数问题
1．B
在中，因为，，，
由正弦定理 ，可得，
因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个.
故选：B.
◎正弦定理求半径
1．
根据正弦定理可知，，
所以，
而，
所以.
故答案为：
2．4π
由，解得．．解得．
，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．
故答案为：4π．
◎边角互化问题
1．(1)；
(2).
(1)
解：，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，，故.
(2)
解：由正弦定理，故，
故.
◎余弦定理
1．B
中
设,
由余弦定理可得.
因为为三角形的内角,所以此三角形中的最大角,
故选:B.
◎应用余弦定理解三角形
1．
(1)或
(2)
(3)
(1)
解：，，，
由余弦定理，可得，可得，解得或；
(2)
解：，，．
由余弦定理，可得；
(3)
解：，，，
，
，
．
◎余弦定理边角互化问题
1．（1）证明见解析；（2）.
解：（1）由余弦定理及可得：，
变形即可得到，
故，
综上所述，则结论为.
（2）已知，的面积为，
则由面积公式可得，
由（1）知，有，即
◎正余弦定理应用实例
1．B
解：因为，
所以，
则，所以，
所以是等腰三角形.
故选：B.
2．6
设在处两船相遇，则由题意得，
则是等腰三角形，所以，则，
由余弦定理，
即，所以，
小船需2分钟到处，则救生艇2分钟至少航行12米，速度至少为6米/分钟.
故答案为：6．
3．(1)
(2)
(1)
解：因为，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因为，所以；
(2)
解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为
4．（1）4；（2）．
解：（1）因为，
由正弦定理，，
可得．
由余弦定理可得，可得，
所以．
（2）因为，所以，
，即，
因为，且为锐角，
所以，
所以
，
可得，
在中，由正弦定理，
可得，可得，因为，
又A为锐角，所以．
巩固提升
1．B
因为，由正弦定理可得：，
所以.
故选：B.
2．B
，则，
由余弦定理得.
故选：B
3．B
过点D作，交BC于E，
因为，所以，则．
又因为，所以．
在中，由正弦定理，得，
在中，，故山高度约为．
故选：B.
4．A
解：因为，
所以，
所以，
所以或，
即或，
所以为等腰三角形或直角三角形.
故选：A.
5．C
因为、，且余弦函数在上为减函数，
在中，.
因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
6．C
对于A，∵，∴此三角形有两个解；
对于B，∵，由正弦定理可得，，∴此三角形无解；
对于C，∵，且，∴此三角形只有一个解；
对于D，∵的面积，，或，∴此三角形有两个解．
故选：C．
7．ABC
由余弦定理知：A，B，C正确.
对选项D，由余弦定理得，故D错误.
故选：ABC
8．BC
A：由可知，且，所以是锐角，故A不能判断；
B：由,得，则为钝角，故B能判断；
C：由正弦定理，得，则，，故C能判断；
D：由正弦定理，条件等价于=，
则，即，故，则，故D不能判断.
故选：BC
9．AC
解：锐角三角形的面积是，
，
，
为锐角，
，故A选项正确，B选项错误，
在中，运用余弦定理，
可得，
，故C选项正确，D选项错误．
故选：AC．
10．ACD
对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；
对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；
对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确.
故选：ACD.
11．
利用正弦定理可知，B对的边最大，
因为，，所以，
.
故答案为：
12．
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理可得角A，B，C的大小，再由正弦定理可得解.
【详解】
，，
，，
．
13．或
由题设及正弦定理边角关系有，又，
∴，
∴，
∴．又，
∴，即．
又据题意，得，且，
∴或，故或，
∴△外接圆的半径或，
∴△外接圆的面积为或．
故答案为：或．
14．(1)
(2)
(1)
在中，由，整理得，
又由余弦定理，可得；
(2)
由（1）可得，又由正弦定理，
及已知，可得；
故.
15．(1)
(2)
(1)
∵，∴由正弦定理可得，
∴，
∴.
∵，∴，即.
∵，∴.
(2)
设，则，
即，解得或（舍去），∴.
∵，∴.
16．.
在中，，，
由正弦定理可得，
∴，
在中，∵，，
∴，
由正弦定理可得，
∴，
∴.
17．(1)
(2)
(1)
解：在中，由余弦定理得：
，所以，
又因为，所以．
(2)
解：由，且，可得，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为为锐角三角形，，，
所以，可得，
则，所以，所以，
所以的取值范围为．
18．(1)等腰三角形
(2)
(1)
，
，
可得．
即
根据正弦定理，得．代入式，化简得．
即，为外接圆的半径）
化简得，
或，即或，又非直角，
因此是等腰三角形．
(2)
在△ABD和△ABC中，
由余弦定理可得，又，
所以，所以，
设，，，
所以△ABC的周长2a+ c=，
所以当时，2a+ c有最大值为,
即△ABC周长的最大值为.