6.1 平方根（第3课时）课件（共45张PPT）

(共45张PPT)
2022年春人教版数学
七年级下册数学精品课件
人教版 · 数学· 七年级（下）
第六章 实数
6.1 平方根
第3课时 平方根
1.了解平方根的概念,掌握平方根的特征。
2.能正确区分平方根与算术平方根的意义。
3.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根。
学习目标
3分米
要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少？
这个问题实际上就是求：
答：9平方分米.
这是已知底数和指数，求幂的运算.
乘方运算
新知一 平方根的概念及性质
合作探究
？分米
反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？
实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即：
显然，括号里应是±3，但－3不符题意.
∴方桌面的边长应是3分米.
9平方分米
你还能得到什么问题呢？
问题: 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
想一想：3和-3有什么特征？
由于 ，
所以这个数是3或-3.
3和-3互为相反数，会不会是巧合呢
(1) 4的平方等于16，那么16的算术平方根就是_____.
(2) 的平方等于 ，那么 的算术平方根就是____.
(3) 展厅地面为正方形，其面积是49 m2，则其边长为___m.
4
7
问题：平方等于16， ，49的数还有吗？
做一做,想一想:
写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
-11
11
0.6
0
没有
x2
x
8
-8
4
3
4
3
-
？
？
？
？
？
？
？
？
？
？
-4
-0.6
64
121
0.36
0
填一填，想一想:
根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.我们抽象出下述概念：
如果x是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：x与-x.即平方根互为相反数.
平方根的性质：
例如： (±1)2=1，1的平方根为±1.　
如果有一个数x，使得x2=a，那么我们把x叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.
1. 121的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？
4. -9有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数.
3.
的平方根是什么？
通过这些题目的解答，你能发现什么
问题：（1）正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.
有没有一个数的平方是负数？
平方根的性质：
1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2.0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
归纳小结
例 求下列各数的平方根：
(1)100； (2) ； (3)0.25.
解：(1) ∵(±10)2＝100，
∴100的平方根是±10；
(3) ∵(±0.5)2＝0.25，
∴0.25的平方根是±0.5.
(2) ∵(± )2＝ ，
∴ 的平方根是± ；
典例精析 求平方根
合作探究
x 8 -8 -
16 0.36 判断下列说法是否正确：
（1）0的平方根是0； （ ）
（2）1的平方根是1； （ ）
（3）-1的平方根是-1; （ ）
（4）0.01是0.1的一个平方根.（ ）　
填表：
√
×
×
×
64
64
+4
-4
+0.6
-0.6
巩固新知
根号
被开方数
根指数
可以省略
合起来，一个正数a的平方根就用“ ”表示，（读作“正、负根号a”）
一个正数a的正平方根，用“ ”表示，（读作“根号a”）.又叫a的算术平方根.a的负平方根，用“ ”表示，（读作“负根号a”）.
新知二 平方根的读法和表示
非负数a的平方根表示为：
合作探究
例如：
5的平方根表示为
4的平方根表示为
的平方根表示为
0的平方根表示为:
规定
0的平方根为0.
例 分别求下列各数的平方根：
解: 由于
因此36的平方根是6与-6.
36是正数
（1）36 ;
有两个平方根
即
典例精析 利用平方根的表示求平方根
（2） ;
（1）36 ;
（3）1.21 .
有两个平方根
因此 的平方根是 与 .
有两个平方根
（3）1.21.
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即
即
解: 由于 ，
解: 由于 ，
（2） ;
求下列各数的平方根：
（1）81； （2） ； （3）0.49.
解：(1)∵ (±9)2=81，
(3)∵(±0.7)2=0.49，
∴0.49的平方根为±0.7．
∴81的平方根为±9．
即 .
（2）
的平方根是 ，
即 .
即 .
巩固新知
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
平方
已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.
新知三 平方与开方的关系
合作探究
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
？运算
反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？
求一个数的平方根的运算叫作开平方.
开平方与平方是什么关系？
a的平方根
底数
幂
被开方数
互为
逆运算
指数
根号
已知底数和指数求幂
已知幂和指数求底数
开平方运算
平方运算
开平方与平方的对比填空
正数与零
任何数
幂
平方根
开方
平方
运算符号
适用范围
运算结果名称
性质
正数有 个平方根,它们是 ,零的平方根是 ,
负数 .
正数的平方是 数; 零的平方是 ; 负数的平方是 数.
正
正
0
2
互为相反数
0
没有平方根
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
平方根与算术平方根的联系与区别：
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：
1.个数不同：一个正数有两个平方根，
但只有一个算术平方根.
联系：
2.表示法不同：平方根表示为：
而算术平方根表示为 .
例　求下列各式的值：
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
典例精析 开平方的有关计算
（1）
（2）
（3）
下列各式有意义吗？
±
（3） ;
求下列各式的值.
（4） .
（1） ;
（2） ;
有意义
有意义
有意义
无意义
巩固新知
B
课堂练习
2．(3分)如果x2＝a，那么下列说法错误的是( )
A．若x确定，则a的值是唯一的
B．若a确定，则x的值是唯一的
C．a是x的平方
D．x是a的平方根
B
3．(3分)(桂林中考)9的平方根是( )
A．3 B．±3 C．－3 D．9
4．(3分)下列说法正确的是( )
A．任何非负数都有两个平方根
B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根
D．负数没有平方根
B
D
±3
解：±7
解：±16
B
9．(3分)一个数的算术平方根是5，则这个数的平方根为( )
A．25 B．±25
C．－5 D．±5
10．(3分)一个数的平方根就是这个数的算术平方根，这个数是( )
A．1 B．0
C．－1 D．1或0
D
B
平方根
平方根的概念
开平方及相关运算
平方根的性质
归纳新知
B
D
课后练习
D
4．(1)若－3是m的一个平方根，则m＋40的平方根是____；
(2)若一个正数的平方根为3－a和2a＋3，则这个正数为____．
±7
81
4
16
6．求下列各式中的x：
(1)9x2－25＝0; (2)4(2x－1)2＝36.
解：(2x－1)2＝9，
2x－1＝±3，
2x－1＝3或2x－1＝－3，
x＝2或x＝－1
解：1
解：6.45
解：2a－1＝3，∴a＝2.∴3×2－2b＋1＝9，b＝－1.
∴4a－b＝9.∴4a－b的平方根为±3
9．已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值.
解：根据题意，分以下两种情况：
①当a＝1与5－2a是同一个平方根时，则a－1＝5－2a，解得a＝2.
此时，m＝(2－1)2＝1；
②当a－1与5－2a是两个平方根时，则a－1＋5－2a＝0，解得a＝4.
此时，m＝(4－1)2＝9.
综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9
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