第二十二章四边形练习题2020-2021学年上海市各地区沪教版（上海）数学八年级下学期期末试题选编（Word版含解析）
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| 名称 | 第二十二章四边形练习题2020-2021学年上海市各地区沪教版（上海）数学八年级下学期期末试题选编（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-03 22:39:10 | ||
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文档简介
沪教版数学第二十二章：四边形练习题
一、单选题
1．（2021·上海金山·八年级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列选项中的一个条件，不能得到四边形ABCD是平行四边形，这个选项是（ ）
A．AD＝BC B．AB∥CD C．AB＝CD D．∠A＝∠C
2．（2021·上海松江·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．四个内角为、、和的四边形是一定是平行四边形
B．一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形
3．（2021·上海·八年级期末）已知：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
4．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2＋b2＝ab＋10，那么小正方形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021·上海·八年级期末）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
6．（2021·上海闵行·八年级期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，四边形是正方形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是矩形
7．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，在菱形中，，，BF与DE相交于点G，CG与BD相交于点H．下列结论中：①；②；③﹒正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（2021·上海普陀·八年级期末）下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角相等； B．对角线互相垂直的四边形是菱形；
C．等腰梯形的对角线相等； D．两条对角线相等的平行四边形是矩形．
9．（2021·上海·八年级期末）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B．一组对边平行，且有一个角是直角，一组邻边相等的四边形是正方形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
10．（2021·上海青浦·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形；
B．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形；
C．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形；
D．一组对边平行，且对角线互相垂直的四边形是正方形．
11．（2021·上海青浦·八年级期末）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图②所示，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·上海宝山·八年级期末）四边形不具稳定性，四条边长都确定的四边形．当内角的大小发生变化时．其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ）
A． B． C． D．1
13．（2021·上海闵行·八年级期末）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为的等腰梯形，底差等于，面积为，那么这个等腰梯形的纵横比等于（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·上海浦东新·八年级期末）下列四边形中，对角线一定不相等的是（ ）
A．直角梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
15．（2021·上海·上外附中八年级期末）下列命题中，假命题有（ ）个
①对角线互相垂直的平行四边形是矩形．
②对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．
③对角线互相垂直并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．
④对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形．
A．4 B．3 C．2 D．1
16．（2021·上海·八年级期末）如图，在梯形中，，，，那么下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·上海徐汇·八年级期末）已知四边形中，，下列判断中的正确是（ ）
A．如果，那么四边形是等腰梯形
B．如果，那么四边形是菱形
C．如果AC平分BD，那么四边形是矩形
D．如果，那么四边形是正方形
18．（2021·上海崇明·八年级期末）已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
19．（2021·上海·八年级期末）一个多边形的每个内角都为，那么该正多边形的边数为________．
20．（2021·上海崇明·八年级期末）一个多边形的每一个内角都是135°，则它的边数为 ___．
21．（2021·上海·八年级期末）一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形的边数为______．
22．（2021·上海普陀·八年级期末）每个内角都是的多边形的边数是__________．
23．（2021·上海青浦·八年级期末）如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形内角和的度数为______．
24．（2021·上海杨浦·八年级期末）如果过多边形的一个顶点共有6条对角线，那么这个多边形的内角和是_______度．
25．（2021·上海闵行·八年级期末）已知是平行四边形的对角线与的交点.，，，那么的周长等于_______．
26．（2021·上海·上外附中八年级期末）四边形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，AC与BD相交于点O，∠COB＝120°，AD＝7，BD＝10，则四边形ABCD的面积为 ___．
27．（2021·上海浦东新·八年级期末）在中，AC与BD相交于点，，，将沿直线AC翻折后，点B落在点E处，那么DE的长为_____________．
28．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，在中，已知，，，则_____________cm．
29．（2021·上海·八年级期末）在平行四边形中，，则________°．
30．（2021·上海·八年级期末）如果菱形边长是10，短的对角线长为12，那么这个菱形的面积是________．
31．（2021·上海市康城学校八年级期末）直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____．
32．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为_____．
33．（2021·上海浦东新·八年级期末）若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为_________．
34．（2021·上海·八年级期末）如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，点、、、、在同一水平面上，则正方形的面积为__________．
35．（2021·上海·八年级期末）小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是__________米．
36．（2021·上海崇明·八年级期末）已知菱形的边长为2，一个内角为，那么该菱形的面积为__________．
37．（2021·上海黄浦·八年级期末）已知菱形的边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积等于__________．
38．（2021·上海普陀·八年级期末）已知菱形的周长为20㎝ ，两条对角线的比为3：4，则菱形的面积为___________．
39．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的周长是____
．
40．（2021·上海黄浦·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8cm，AD＝10cm，点P在边BC上从B向C运动，点Q在边DA上从D向A运动，如果P，Q运动的速度都为每秒1cm，那么当运动时间t＝_____秒时，四边形ABPQ是直角梯形．
41．（2021·上海杨浦·八年级期末）平行四边形 ABCD 中，两条邻边长分别为3和5，∠BAD与∠ABC的平分线交于点E，点F 是CD的中点，连接EF，则EF=________.
42．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，AB=6，BC=10，则EF=___________．
43．（2021·上海崇明·八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5，其中一条底边的长为6，那么该梯形的另一条底边的长是__________．
44．（2021·上海·上外附中八年级期末）如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝___．
45．（2021·上海闵行·八年级期末）如图，等腰梯形中，，，对角线，如果高，那么等腰梯形的中位线的长为_______．
46．（2021·上海青浦·八年级期末）化简：___________．
三、解答题
47．（2021·上海长宁·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，联结CE．
（1）求证：AD∥CE；
（2）求CE的长．
48．（2021·上海·奉教院附中八年级期末）如图，已知，直线，点P在线段上，点D为射线上一动点，连接，射线交直线于点E．已知，．
（1）如图1，当点D在线段上时，求证：；
（2）当时，请在图2中画出相应的图形，并求线段的长；
（3）如果的平分线交射线于点G，设，，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
49．（2021·上海·八年级期末）如图已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,边AB的垂直平分线交边BC 于点E,垂足为点D，取线段BE的中点F,联结 DF,求证:AC=DF。
50．（2021·上海·八年级期末）如图，在中，，，，点P是AB上的动点，联结CP，并以CP为边作等边（点E在线段CP上方），M是线段AB的中点，联结EM．
（1）请猜想：线段EM与PB的数量关系？线段EM与CB的位置关系？
（2）请证明上题中你的猜想；
（3）请猜想：点P在BM上移动时，四边形ECPM的面积是否发生变化？并加以说明．
51．（2021·上海黄浦·八年级期末）如图，在四边形中，,点为的中点.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)联结,如果平分， 求的长.
52．（2021·上海静安·八年级期末）已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为 ．（请将答案直接填写在空格内）
53．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）如图，在中，，点是的中点，将沿翻折得到，联结．
（1）求证：；
（2）求的长．
54．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，四边形ABCD中，BAD=BCD=90°，E为对角线BD的中点，连接AE、CE．
（1）求证：AE=CE；
（2）若AC=8，BD=10，求△ACE的面积．
55．（2021·上海杨浦·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．
(1)求证：CG=CE；
(2)联结CF，求证：∠BFC=45°；
(3)如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．
56．（2021·上海松江·八年级期末）如图，已知点、分别是正方形边以及边延长线上的点（与正方形顶点不重合)，满足．联结，交对角线于点．
（1）联结，，求证：；
（2）求证：；
（3）如果正方形边长为，设，的面积为，求关于的函数关系式．
57．（2021·上海黄浦·八年级期末）在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设．
（1）求边的长；
（2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式；
（3）如果的长为，求梯形的面积．
58．（2021·上海宝山·八年级期末）将两张宽度相等的纸片叠放在一起，得到如图的四边形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图，联结，过点A、D分别作的垂线、，垂足分别为点F、E．
①设M为中点，联结、，求证：；
②如果，P是线段上一点（不与点A、C重合），当为等腰三角形时，求的值．
59．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在梯形中，，点从点开始沿向终点以每秒的速度移动，点从点开始沿向终点以每秒的速度移动，设运动时间为秒，连接．
（1）线段的长度是 ；
（2）当 秒时，四边形是矩形；
（3）在点运动过程中，当取何值时，线段与相等？
（4）连接，当是等腰三角形时，直接写出的值．
60．（2021·上海·上外附中八年级期末）如图1，点Q是正方形ABCD边BC的中点，点P在BC延长线上，CR平分∠DCP，AQ⊥QR于Q．（本题不需要写理由）
（1）求证AQ＝QR；
（2）如图2，若将条件中的点Q改为BC边上的任意一点，其余条件不变，AQ＝QR是否依然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
（3）若将第（2）小题中的正方形改为正n边型ABCD…（n为大于等于3的正整数），点Q为BC边上的任意一点，点P在BC延长线上，CR平分∠DCP，则当∠AQR＝ °时，AQ＝QR．（用n表示，直接写出结果，无需证明）
61．（2021·上海·八年级期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点与点不重合时，过点作于点，作交于点，过点作射线垂线段，垂足为点，得到矩形，设点的运动时间为秒．
（1）求点与点重合时的值；
（2）设矩形与菱形重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）设矩形的对角线与相交于点，
①当时，的值为________；
②时，求出的值．
62．（2021·上海长宁·八年级期末）如图1，直角梯形，，，，点B在底边上，，，过点B做底边的垂线交的延长线于点G．
（1）求线段的长度；
（2）联结，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P到达点C后即停止运动，设运动时间为t．
①如图2，当点P在的角平分线上，求t的值；
②如果在线段上存在点Q，使得四边形是平行四边形，请直接写出平行四边形的面积．
63．（2021·上海闵行·八年级期末）如图，已知在梯形中，，，点是对角线的中点，联结 并延长，交边于点，联结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）联结，如果垂直平分，求证：四边形是菱形．
64．（2021·上海宝山·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为
（1）求直线的表达式；
（2）以线段为边作正方形，点A、B在直线的下方，求点A的坐标；
（3）设直线与y轴交于点E，点F在y轴右侧，且与全等，顶点O、A、E分别与顶点O、C、F对应，求的长．
65．（2021·上海·八年级期末）如图，已知四边形是平行四边形，将边延长至点，使，联结、，与交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是矩形．
66．（2021·上海·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．
67．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形 ABCD外做正方形 GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．
（1）求证：；
（2）若正方形 ABCD的边长为1，当点H为 DE中点时，求CG的长．
68．（2021·上海金山·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝45°，BC＝8，DE⊥BC，垂足为E，延长DE至F，使得DE＝EF，联结AC、BF、CF．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）设AD＝x，梯形ABCD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）联结AF交BC于点O，如果△AOB是等腰三角形，求AD的长．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】
根据平行四边形的判定方法逐一进行选择判断．
【详解】
解：A、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、一组对边平行而另一组对边相等不能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°．∴CD∥AB．
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，属于基础题型，关键要记准平行四边形的判定方法．
2．D
【分析】
根据平行四边形的判定定理对每个选项进项判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、四个内角为60°、120°、60°和120°的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，错误，是假命题，不符合题意；
B、两条对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定定理，难度不大．
3．B
【分析】
先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可．
【详解】
解：∵E是AC中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=BC，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴AC=DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．
4．A
【分析】
由正方形1性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题．
【详解】
解：设大正方形的边长为，
大正方形的面积是18，
，
，
，
，
，
小正方形的面积，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出．
5．A
【分析】
根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理即可判断．
【详解】
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故原命题是假命题；
C、以两条对角线为对称轴的四边形是菱形，以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，故原命题是假命题；
D、对角线相等的平行四边形才是矩形，故原命题是假命题；
故选：A．
【点睛】
本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
6．A
【分析】
根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
解：当时，四边形是矩形，此说法错误，符合题意；
当时，四边形是菱形，此说法正确，不符合题意；
当时，四边形是菱形，此说法正确，不符合题意；
当时，四边形是矩形，此说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了四边形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，从而完成求解．
7．D
【分析】
由菱形的性质及AB=BD，得△ABD是等边三角形，故可判断①正确；由△ABD是等边三角形及AE=DF，可得，故可得②正确；根据全等的性质可判断③正确．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD，AD∥BC
∵AB=BD
∴AB=BD=AD
∴△ABD是等边三角形
∴∠A=∠ADB=60°
∵AD∥BC
∴∠DBC=∠ADB=60°
故①正确
在△AED和△DFB中
∴
故②正确
∵
∴∠ADE=∠DBF
∵∠BGE=∠GDB+∠DBF=∠GDB+∠ADE=∠ADB=60°
故③正确正确
所以正确的有：①②③
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明△ABD是等边三角形是解答本题的关键．
8．B
【分析】
分别根据平行四边形的性质、菱形的判定、等腰梯形的性质、矩形的判定逐项判断即可．
【详解】
解：A、平行四边形的对角相等是真命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，假命题，符合题意；
C、等腰梯形的对角线相等是真命题，不符合题意；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查判断命题的真假，涉及平行四边形的性质、菱形的判定、等腰梯形的性质、矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解答的关键．
9．D
【分析】
利用正方形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【详解】
解：A、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，原命题错误；
B、一组对边平行，且有一个角是直角，一组邻边相等的四边形可能是直角梯形，不一定是正方形，原命题错误；
C、对角线平分、相等且互相垂直的四边形是正方形，原命题错误；
D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．
10．C
【分析】
通过已知条件推导出对应图形以及根据平行四边形、等腰梯形、正方形、矩形和菱形的判定定理判断即可．
【详解】
A. 一组对边平行，且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，是假命题；
B. 一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形可能是直角梯形，是假命题；
C. 一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形，是真命题；
D. 一组对边平行，且对角线互相垂直的四边形可能是菱形，是假命题．
故选：C
【点睛】
本题考查了真命题的定义、平行四边形的判定、等腰梯形的判定、矩形的判定和菱形的判定等知识，要求学生能根据已知条件推导出其对应的图形，考查了学生对相关概念的理解与应用，该题对学生的推理分析能力有较高要求．
11．A
【分析】
根据函数图像分析各拐点的意义，时沿运动，时沿运动，可知，的值，从而求得；
【详解】
根据函数图像分析，
时，的值不断增大，沿运动；
时，的值没有变化，沿运动；
时，的值不断减小，沿运动；
,
四边形是矩形
故选A
【点睛】
本题考查了矩形的性质，动点问题，动点问题的函数图像的实际意义，理解函数图像中拐点的意义是解题的关键．
12．A
【分析】
过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积=AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AM=AD'，D'M=AM=AD'，然后求出菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2，即可求解．
【详解】
解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示：
则∠D'MA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积=AB2，AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠DAD′=30°，
∴∠D'AM=90°-30°=60°，
∴∠AD'M=30°，
∴AM=AD'，D'M=AM=AD'，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AB=AD'=AD，菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2，
∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出D'M=AD'是解题的关键．
13．C
【分析】
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据BC-AD=6求出BE=CF=3，利用勾股定理求出高AE的长，利用梯形面积公式求出AD的长，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案．
【详解】
解：如图，由题意得：AB=CD=5，BC-AD=6，
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴BE=CF=3，
∴，
∵梯形面积，
∴，
∴BC=9，
∴梯形的中位线=，
∴这个等腰梯形的纵横比=，
故选：C．
．
【点睛】
此题考查勾股定理，梯形面积公式及中位线公式，正确理解题意确定各线之间的数量及关系是解题的关键．
14．A
【分析】
根据特殊四边形对角线的性质判断即可．
【详解】
解：A、直角梯形的对角线一定不相等，符合题意；
B、矩形的对角线一定相等，不符合题意；
C、正方形的对角线一定相等，不符合题意；
D、等腰梯形的对角线一定相等，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查了特殊四边形对角线的性质，解题的关键是熟练掌握特殊四边形对角线的性质．
15．A
【分析】
利用矩形和正方形的判定方法分别对每个小题进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，符合题意．
②对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，符合题意．
③对角线互相垂直并且有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故原命题错误，是假命题，符合题意．
④对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形，错误，是假命题，符合题意，
错误的有4个，
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形和正方形的判定方法，难度不大．
16．A
【分析】
A、根据三角形的三边关系即可得出A不正确；B、通过等腰梯形的性质结合全等三角形的判定与性质即可得出∠ADB=90°，从而得出B正确；C、由梯形的性质得出AB∥CD，结合角的计算即可得出∠ABC=60°，即C正确；D、由平行线的性质结合等腰三角形的性质即可得出∠DAC=∠CAB，即D正确．综上即可得出结论．
【详解】
A、∵AD=DC，
∴AC＜AD+DC=2CD，
故A不正确；
B、∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠BAD，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠BAC=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，∠ABC+∠DCB=180°，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=∠BAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，B正确，
C、∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，C正确．
D、∵△DAB≌△CBA，
∴∠ADB=∠BCA．
∵AC⊥BC，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
∴DB⊥AD，D正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是逐项分析四个选项的正误．本题属于中档题，稍显繁琐，但好在该题为选择题，只需由三角形的三边关系得出A不正确即可．
17．C
【分析】
根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理进行判断即可．
【详解】
解：A． 如果BC=AD，那么四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误；
B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是矩形，错误；
C． 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形，正确；
D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是正方形，错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查等腰梯形的判定，关键是根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理解答．
18．C
【分析】
利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．
【详解】
解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，
∴①向量与向量是相等的向量，正确．
②向量与向量是互为相反的向量，正确．
③向量与向量是相等的向量；错误．
④向量与向量是平行向量．正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查平面向量，矩形的性质等知识，长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，平行向量也叫共线向量，是方向相同或相反的非零向量．
19．10
【分析】
先求出每一个外角的度数，再根据边数=360°÷外角的度数计算即可．
【详解】
解：正多边形的一个内角是，
该正多边形的一个外角为，
多边形的外角之和为，
边数，
这个正多边形的边数是10．
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
20．8
【分析】
先求出该多边形的每一个外角的度数，再利用多边形的外角和求出答案．
【详解】
解：∵一个多边形的每一个内角都是135°，
∴该多边形的每一个外角都是45°，
∴该多边形的边数为，
故答案为：8
【点睛】
此题考查多边形的外角的性质，多边形的外角和，熟记多边形的外角和是解题的关键．
21．十二
【分析】
首先设这个多边形是n边形，然后根据题意得：（n-2）×180=1800，解此方程即可求得答案．
【详解】
解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n-2）×180=1800，
解得：n=12．
∴这个多边形是十二边形．
故答案为：十二．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n-2）×180°．
22．9
【分析】
设多边形的边数为n，利用内角和公式列出方程求解即可．
【详解】
解：每个内角都是的多边形，
设边数为n，则（n﹣2）·180°=140°·n，
解得：n=9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查多边形的定义及其内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解答的关键．
23．
【分析】
根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数，然后利用多边形的内角和公式计算内角和即可．
【详解】
解：∵一个多边形的每个外角都是60°，
∴n=360°÷60°=6，
则内角和为：（6-2） 180°=720°，
故答案为：720°．
【点睛】
本题主要考查了利用外角求正多边形的边数的方法以及多边形的内角和公式，解题的关键是掌握任意多边形的外角和都等于360度．
24．1260°
【分析】
从多边形一个顶点可作6条对角线，则这个多边形的边数是9，n边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，代入公式就可以求出内角和．
【详解】
解：∵过多边形的一个顶点共有6条对角线，
故该多边形边数为9，
∴（9-2） 180°=1260°，
∴这个多边形的内角和为1260°．
故答案为：1260°．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．
25．59
【分析】
由平行四边形的性质可求得OB、OC，则可求得答案．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=BD=19，CO=AC=12，BC=AD=28，
∴BO+CO+BC=19+12+28=59，即△OBC的周长为59，
故答案为：59．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
26．
【分析】
作对角线的辅助线，通过平行四边形ACED证明△ABD≌△CDE，从而将梯形的面积转化为直角三角形的面积．
【详解】
解：过点作交的延长线于点，于，
，，
四边形为平行四边形，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，，．
在和中，
，
，
四边形的面积等于的面积，即．
故答案为：．
【点睛】
此题主要是平移对角线，构造一个平行四边形和等腰三角形，把梯形的面积转化为三角形的面积是解题关键．
27．
【分析】
连接,,根据翻折，，可知,从而利用勾股定理即可求得
【详解】
如图，连接,
四边形是平行四边形,，
翻折
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，轴对称图形的性质，勾股定理，画出图形找到直角三角形是解题的关键．
28．
【分析】
根据平行四边形的性质求出OD的长度，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】
因为，
∴OD=OB=3，
所以在中，．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理．
29．
【分析】
根据平行四边形的性质求解．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
又∠BAD=50°，
∴∠ABC=180°-50°=130°，
故答案为130 ．
【点睛】
本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键 ．
30．96
【分析】
利用菱形的对角线互相垂直平分,借助勾股定理,计算长对角线，根据菱形的面积等于对角线积的一半计算即可．
【详解】
解：如图，
四边形是菱形，
，，，
∴=8，
，
∴=96，
故答案为96．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
31．5．
【详解】
试题分析：∵直角三角形的两条直角边长为6，8，∴由勾股定理得，斜边=10.
∴斜边上的中线长=×10=5．
考点：1.勾股定理；2. 直角三角形斜边上的中线性质．
32．5
【分析】
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM=DM=13，根据等腰三角形的性质得到BN=12，根据勾股定理得到答案.
【详解】
连接BM、DM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AC，DM=AC，
∴BM=DM=13，又N是BD的中点，
∴BN=DN=BD=12，
∴MN==5，
故答案为5.
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
33．8
【分析】
根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】
解：∵正方形的一条对角线的长为4，
∴这个正方形的面积=×4 =8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键．
34．
【分析】
首先由正方形的面积得出，然后证明，得出，然后利用勾股定理得出BG的长度，最后利用面积公式求解即可．
【详解】
∵正方形的面积为，正方形的面积为，
，
，
．
在和中，，
，
，
，
∴正方形的面积为，
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握这些性质是解题的关键．
35．
【分析】
根据长方形的面积公式得到长与宽的积，再根据勾股定理得到长与宽的平方和．联立解方程组求得长与宽的和可．
【详解】
解：设长方形的长是a，宽是b，
根据题意，得：
（2）+（1）×2，得，
即a+b=，
所以长方形的周长是×2=m．
【点睛】
注意根据题意结合勾股定理联立解方程组，只需求得长与宽的和即可．熟练掌握掌握长方形的面积计算公式和勾股定理是解题的关键．
36．
【分析】
连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，根据菱形的面积公式即可求出答案．
【详解】
解：过点A作AM⊥BC于点M，
∵菱形的边长为2cm，
∴AB=BC=2cm，
∵有一个内角是60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴（cm），
∴（cm），
∴此菱形的面积为：（cm2）．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质和30°直角三角形性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．
37．120
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是5．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是12，则另一条对角线的长是24，进而求出菱形的面积．
【详解】
解：在菱形中，，，
对角线互相垂直平分，
，，
在中，，
．
则此菱形面积是，
故答案为：120．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．
38．．
【详解】
解：已知菱形的周长为20㎝ ，可得菱形的边长为5cm，设两条对角线长分别为3x，4x，
根据勾股定理可得（）2+（ 2x）2=102， 解得，x=2，
则两条对角线长分别为6cm、8，所以菱形的面积为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查菱形的性质；勾股定理．
39．41
【分析】
延长BN交AC于点D，易证得Rt△ANB≌Rt△AND，可得N为BD的中点；由已知M是BC的中点可得MN是△BCD的中位线，可得CD的长，据AC=AD+CD可得AC的长，即可得△ABC的周长．
【详解】
解：如图，延长BN交AC于点D，
∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，
∴∠BAN=∠DAN，∠ANB=∠AND，
在Rt△ANB和Rt△AND中，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD=AB=10，BN=DN，
即N为BD的中点，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CD=2MN=6，AC=AD+CD=10+6，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=10+（10+6）+15=41．
故答案为：41．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，涉及到三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
40．7
【分析】
过点A作AE⊥BC于E，因为AD∥BC，所以当AE∥QP时，则四边形ABPQ是直角梯形，利用已知条件和路程与速度的关系式即可求出时间t的值
【详解】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
过点A作AE⊥BC于E，
∴当AE∥QP时，则四边形ABPQ是直角梯形，
∵∠B＝60°，AB＝8cm，
∴BE＝4cm，
∵P，Q运动的速度都为每秒1cm，
∴AQ＝10﹣t，AP＝t，
∵BE＝4，
∴EP＝t﹣4，
∵AE⊥BC，AQ∥EP，AE∥QP，
∴QP⊥BC，AQ⊥AD，
∴四边形AEPQ是矩形，
∴AQ＝EP，
即10﹣t＝t﹣4，
解得t＝7，
故答案为7．
【点睛】
此题考查直角梯形，平行四边形的性质，解题关键在于作辅助线
41．3.5或0.5
【分析】
分两种情况讨论：①当AB=3，BC=5时，延长AE交BC于M，由平行线的性质和角平分线的定义可推出∠BAM=∠AMB，得到AB=BM=3，求出CM=2，再证明∠AEB=90°，根据等腰三角形三线合一得到E为AM的中点，所以EF为梯形ADCM的中位线，根据中位线的性质可求EF；②当AB=5，BC=3时，延长AE交BC的延长线于M，连接DM，延长EF与DM交于G，同理可证AE=EM，CM=2，再利用三角形中位线的性质可求出EF.
【详解】
分两种情况：
①如图1，当AB=3，BC=5时，延长AE交BC于M，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠AMB
∵AM平分∠BAD，
∴∠DAM=∠BAM
∴∠BAM=∠AMB
∴AB=BM=3
∴CM=BC-BM=5-3=2
∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°
又∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=∠DAB+∠ABC=90°，
∴∠AEB=90°
∴BE⊥AM，
∵BA=BM
∴AE=EM
∵DF=CF
∴EF为梯形ADCM的中位线
∴EF=
②如图，当AB=5，BC=3时，
延长AE交BC的延长线于M，连接DM，延长EF与DM交于G，
同①可证：AE=EM，CM=BM-BC=AB-BC=2，
EG为△ADM的中位线，FG为△CDM的中位线，
∴EG=AD=1.5，FG=CM=1，
∴EF=EG-FG=0.5
综上所述，EF的长为3.5或0.5
故答案为：3.5或0.5
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及梯形和三角形中位线的性质，利用角平分线和平行线的性质推出△ABM为等腰三角形是解题的关键.
42．2
【分析】
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】
解：为的中位线，
，
， 是 的中点，
，
，
故答案为：2
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
43．
【分析】
根据梯形中位线定理解答即可．
【详解】
解：设该梯形的另一条底边的长是xcm，根据题意得：，解得：x=4，
即该梯形的另一条底边的长是4cm．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了梯形中位线定理，属于基本题目，熟练掌握该定理是解题关键．
44．4.5
【分析】
作辅助线如图所示，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM=∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM=GM．同理AN=DN，根据三角形中位线定理即可求得MN．
【详解】
解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，
∵BM为∠ABC的平分线，
∴∠CBM=∠ABM，
∵BM⊥AG，
∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MGB+∠CBM=90°，
∴∠BAM=∠MGB，
∴△ABG为等腰三角形，
∴AM=GM．BG=AB=10，
同理AN=DN，CD=AC=6，
∴MN为△ADG的中位线，
∴MN=DG=（BC-BG+CD）=（BC-AB+AC）=（13-10+6）=4.5．
故答案为：4.5．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
45．8
【分析】
过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，根据等腰梯形的性质证得AC=BD，AD∥BC，由此得到四边形ACFD是平行四边形，再推出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边中线的性质推出，由此得到答案．
【详解】
解：过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，AD∥BC，
∵DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AC=DF，AD=CF，
∴BD=DF ，
∵，
∴DF⊥BD，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∵DE⊥BF，
∴
∴，即梯形的中位线是8cm，
故答案为：8．
【点睛】
此题考查等腰梯形的性质，平行四边形的判定及性质，等腰直角三角形斜边中线的性质，正确引出辅助线是解题的关键．
46．
【分析】
根据向量的加减运算即可得．
【详解】
原式
故答案为：．
【点睛】
本题考查了向量的加减运算，熟记运算法则是解题关键．
47．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由折叠的性质可得DE=BD，AE=AB，可证
EF=BF，AD⊥BE，由等腰三角形的性质可求∠DBE＝∠DEB，∠DEC＝∠DCE，由三角形的内角和定理可求CE⊥BE ，可得结论；
（2）由三角形的面积公式可求BF的长，由勾股定理可求CE的长．
【详解】
证明：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝DE＝ ，
∵将△ABD沿AD翻折得到△AED，
∴DE＝BD，AE＝AB，
∴AD垂直平分BE，
∴EF＝BF，AD⊥BE，
∵DE＝DB＝CD，
∴∠DBE＝∠DEB，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DBE+∠DEB+∠DEC+∠DCE＝180°，
∴∠DEB+∠DEC＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴CE⊥BE，
∴AD∥CE；
（2）∵S△ABC＝×AC×AB＝×3×4＝6，且CD＝BD，
∴S△ADB＝S△ABC＝3，
∴AD×FB＝3，
∴FB＝ ，
∴BE＝ ，
∴CE＝ ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
48．（1）见解析；（2）图见解析，2；（3）
【分析】
（1）先判断出，进而判断出，再判断出，得到即可；
（2）依题意画出图形，由（1）得到，再判断出，求出，进而求出AE；
（3）先表示出，再判断出，得到，在中，，即，即可．
【详解】
（1）证明：如图1，
作于点H，作于点F，
，
．
，
．
，即，
．
，
．
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，
作于点H，作于点F，
同（1）得，
，
，
，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
∵在四边形AHPF中，，
∴四边形AHPF是矩形，
，
；
（3）如图3，
作于点H，作于点F，
由（2）得，
，
，
，
，
．
∵PG平分，
．
，
，
，
在中，，
即，
．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质和判定，矩形的判定及性质，同角的余角相等，勾股定理，证明出是关键．
49．见解析.
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得DF=BE，最后根据直角三角形30度的性质得AC=AE，从而得出结论．
【详解】
证明：如图，连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE,∠EDB=90°，
∴∠EAB=∠EBA=15°，
∴∠AEC=30°，
Rt△EDB中,∵F是BE的中点，
∴DF=BE，
Rt△ACE中,∵∠AEC=30°，
∴AC=AE，
∴AC=DF.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及30°所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本性质得出线段关系是解题的关键.
50．（1）；；（2）见解析；（3）面积不变；见解析
【分析】
（1）连接CM，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得CM=CB，然后根据题意运用SAS定理证明△ECM≌△PCB，从而求得EM与PB的数量及位置关系；
（2）利用（1）中的思路进行推理证明；
（3）结合全等三角形的的性质可得△ECM与△PCB面积相等，从而四边形ECPM的面积即△MCB的面积，根据题意可求其面积为定值，从而得出结论
【详解】
解：（1）；
（2）连接CM
∵在中，，，M是线段AB的中点
∴CM=，∠B=60°
∴△CBM是等边三角形
∴CM=CB，∠MCB=60°
又∵以CP为边作等边
∴CE=CP，∠ECP=60°
∴∠ECM+∠MCP=∠PCB+∠MCP
∴∠ECM =∠PCB
在△ECM和△PCB中
∴△ECM≌△PCB
∴EM=PB，∠EMC=∠B=60°
又∵∠MCB=60°
∴∠EMC=∠MCB
∴
（3）过点M作MN⊥BC
由（2）已证△MCB为等边三角形
∴MB=BC=2
∵MN⊥BC
∴∠BMN=
∴BN=
∴在Rt△MCB中，
∴
又∵△ECM≌△PCB
∴点P在BM上移动时，
即四边形ECPM的面积不会发生变化．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线及含30°的直角三角形的性质，题目难度不大有一定的综合性，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
51．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可.
（2）此题有两种解决方法，方法一：证明四边形是等腰梯形，方法二：证明∠BDC为直角.
【详解】
（1）证明:，点为的中点，
，
又四边形是平行四边形
,四边形是菱形
（2）解:方法一四边形是梯形.
平分
四边形是菱形，.
四边形是等腰梯形，
方法二：平分
，即，
四边形是菱形，
，即，
【点睛】
此题考查菱形的判定与性质，解题关键在于结结合题意运用菱形的判定与性质即可.
52．（1）见解析；（2）；（3）8或或6
【分析】
（1）连结，证明，得到相等的角，再由平行线的性质证明，从而得，由菱形的定义判定四边形是菱形；
（2）连结，交于点，作于点，由菱形的面积及边长求出菱形的高，再求的长，由勾股定理列出关于、的等式，整理得到关于的函数解析式；
（3）以为腰的等腰三角形分三种情况，其中有两种情况是等腰三角形与或全等，另一种情况可由（2）中求得的菱形的高求出的长，再求等腰三角形的底边长．
【详解】
解：（1）证明：如图1，连结，
，，，
，
，
即；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是菱形
（2）如图2，连结，交于点，作于点，则，
由（1）得，四边形是菱形，
，
，
，，
，
，
，
由，且，得，
解得；
，
，
由，且，得，
点在边上且不与点、重合，
，
关于的函数解析式为，
（3）如图3，，且点在的延长线上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即等腰三角形的底边长为8；
如图4，，作于点，于点，则，
，
，
，
，
，
由（2）得，，
，
，
即等腰三角形的底边长为；
如图5，，点与点重合，连结，
，，，
，
，
即，
等腰三角形的底边长为6．
综上所述，以为腰的等腰三角形的底边长为8或或6，
故答案为：8或或6．
【点睛】
此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、求与几何图形有关的函数关系式等知识与方法，在解第（3）题时，需要进行分类讨论，求出所有符合条件的值，以免丢解．
53．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，再由折叠的性质得，，再由外角和定理得，则，即可证明结论；
（2）利用勾股定理求出BC的长，由（1）得，设，则，在和中，利用勾股定理列式求出x的值，再根据中位线定理得到即可．
【详解】
解：（1）∵，D是BC中点，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）∵，，，
∴，
由（1）知，
设，则，
∵折叠，
∴AD是BE的垂直平分线，
在和中，
，，
∴，即，解得，
∵D、F分别是BC和BE的中点，
∴．
【点睛】
本题考查折叠的性质，中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．
54．（1）见解析；（2）12
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=BD，CE=BD，即可得证；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质解答．
【详解】
（1）∵∠BAD=∠BCD=90°，E是BD的中点，
∴AE=BD，CE=BD，
∴AE= CE；
（2）过E作EF⊥AC于F，如图：
由（1）得：AE= CE，
∴AF=FC，
∵AC=8，BD=10，
∴AE= CE=BD=，AF=FC=AC=，
∴EF=，
∴△ACE的面积为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
55．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由ASA证得△BCG≌△DCE，即可得出结论；
（2）过点C作CM⊥BF，CN⊥DE，垂足分别为M，N，证明△CMG≌△CNE，可得CM=CN，再根据角平分线的判定可得结论；
（3）由正方形的性质得出∠BCG=90°，AB=BC=CD=2，BD=AB，由G为DC中点，得CG=1，在Rt△BCG中，由勾股定理得BG，设GF=x，在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得到方程，求出x，由（1）知△BCG≌△DCE，可得BG=DE．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，
∵BF⊥DE，
∴∠DFG=∠BCG=90°，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠GBC=∠EDC，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG=CE；
（2）如图，过点C作CM⊥BF，CN⊥DE，垂足分别为M，N，
∵△BCG≌△DCE，
∴CG=CE，∠CGM=∠CEN，
又∵∠CMG=∠CNE=90°，
∴△CMG≌△CNE（AAS），
∴CM=CN，
∴CF平分∠BFE，
∴∠BFC=∠BFE=45°；
（3）连接BD
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG=90°，AB=BC=CD=2，BD=AB=，
∵G为DC中点，
∴CG=GD=CD=1，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG=，
设GF=x，
在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2-BF2=DF2，DG2-GF2=DF2，
∴，
解得：x=，
∴DF=，
由（1）知：△BCG≌△DCE，
∴BG=DE=，
∴EF=DE-DF==．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
56．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据正方形性质可得，，进而证明，即可证得结论；
（2）过点作交于点，证明，即可证得结论；
（3）过点作于点，连结，由，可得出，，利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
；
（2）如图1，过点作交于点，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）如图2，过点作于点，连结，
四边形是正方形且边长为1，
，，
又，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
的面积为，
，
关于的函数关系式为．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形性质，等腰三角形性质，三角形面积公式等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
57．（1）3；（2）；（3）或
【分析】
（1）过作，与、分别相交于点、，从而判定四边形是矩形，在中求出的长，利用可得出的长；
（2）首先确定，过点作，与、分别相交于、，根据，，可表示出、，继而可得出关于的函数解析式；
（3）①当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，可求得梯形的面积，②当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面积．
【详解】
解：（1）如图1，过作，与、分别相交于点、，
梯形中，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
．
（2），，
，
，
，
，，
，
，
如图2，过点作，与、分别相交于、，
，，
，，
，
，
关于的函数解析式为；
（3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，
，
当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，
，
综上所述，梯形的面积为或．
【点睛】
本题考查直角梯形及由实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解．
58．（1）见解析；（2）①见解析；②或
【分析】
（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
（2）①过点作于，连接，由，可得，再证明，利用三角形内角和定理即可得出答案；
②设，则，设，则，根据勾股定理可得，即，从而得出，即可得到，根据是线段上一点（不与点、重合），不存在，可得出当为等腰三角形时，仅有两种情形：或，分类讨论即可求得答案．
【详解】
解：（1）如图1，过点作于，于，
两条纸条宽度相同，
．
，，
四边形是平行四边形．
．
，
四边形是菱形；
（2）①如图2，过点作于，连接，
则，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
经过点，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②，
设，则，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
是线段上一点（不与点、重合），
不存在，
当为等腰三角形时，仅有两种情形：或，
Ⅰ．当时，则，如图3，
，，
，
，
，
，
；
Ⅱ．当时，如图4，过点作于点，
在中，，
，
，
，
；
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形判定和性质，三角形面积公式，菱形面积，等腰三角形性质，勾股定理等，运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题是解题关键．
59．（1）；（2）；（3）秒或秒；（4）为秒，秒或秒
【分析】
（1）过点D作DG⊥BC于G，运用勾股定理求得CG=9cm，进而求得的长度；
（2）连接PQ，根据矩形性质建立方程求解即可；
（3）分两种情况：①当P1Q1=CD=15cm时，过点Q1作Q1H⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，可证明Rt△P1Q1H≌Rt△CDG（HL），由P1H=CG，建立方程求解即可；②当P2Q2=CD=15cm时，四边形P2Q2DC是平行四边形，根据DQ2=P2C，建立方程求解即可；
（4）分三种情况：PC=CD，PD=CD或PD=PC，分别建立方程求解即可．
【详解】
解：（1）如图1
过点D作DG⊥BC于G，
则∠DGB=∠DGC=90°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴DG=AB=12cm，AD=BG，
∵BC=27cm，CD=15cm，∴（cm）
∴AD=BG=BC-CG=27-9=18（cm），
故答案为：18；
（2）如图2，连接PQ，由题意得：BP=3t cm，DQ=2t cm，
∴AQ=AD-DQ=（18-2t）cm，
∵四边形ABPQ是矩形，∴AQ=BP，
∴18-2t=3t，解得.
故答案为：
（3）如图3，
∵DQ1=2t cm，BP1=3t cm，
∴AQ1=（18-2t）cm，
①当P1Q1=CD=15cm时，
过点Q1作Q1H⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，则∠CGD=∠BHQ1=90°，
由（1）知，DG=AB=12cm，CG=9cm，
∵∠A=∠B=90°，
∴四边形ABHQ1是矩形，
∴Q1H=AB=12cm，BH=AQ1=（18-2t）cm，
∴P1H=BH-BP1=（18-5t）cm，
∵DG=Q1H，CD=P1Q1，
∴Rt△P1Q1H≌Rt△CDG（HL），
∴P1H=CG，
∴18-5t=9，解得；
②当P2Q2=CD=15cm时，四边形P2Q2DC是平行四边形，
∴DQ2=P2C，
∵DQ2=2t cm，BP2=3t cm，
∴P2C=（27-3t）cm，
∴2 t =27-3 t，解得.
综上所述，当t取秒或秒时，线段PQ与CD相等；
（4）∵△PCD是等腰三角形，
∴PC=CD或PD=CD或PD=PC，
∵BP=3t cm，
∴PC=（27-3t）cm，
过点D作DG⊥BC于G，则∠DGP=90°，
由（1）（2）知，CD=15cm，BG=18cm，DG=12cm，BP=3t cm，
∴PG=（18-3t）cm，PC=（27-3t）cm，
∴PD2=PG2+DG2=（18-3t）2+122，
①当PC=CD时，27-3t=15，解得：t=4;
②当PD=CD时，则（18-3t）2+122=152，解得：t=3或t=9（舍去）;
③当PD=PC时，则（18-3t）2+122=（27-3t）2，解得；
综上所述，当△PCD是等腰三角形时，t的值为4或3或
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，等腰三角形性质，平行四边形的性质等综合知识，注意分类讨论思想的应用，难度较大.
60．（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）
【分析】
（1）如图1中，取AB的中点E，连接EQ．证明△AEQ≌△QCR（ASA），可得AQ=QR．
（2）结论成立；在边AB上截取AE=QC，连接QE．证明△AEQ≌△QCR（ASA），可得AQ=QR．
（3）在AB上截取BM=BQ，连接MQ，求出∠AMQ和∠QCR的度数，证明∠BAQ=∠CQR，利用ASA证明△AMQ≌△QCR，可得AQ=QR．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，取AB的中点E，连接EQ．
∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠RQC=180°-∠AQR-∠AQB=180°-∠B-∠AQB=∠QAB=∠QAE，
∵AB=BC，AE=EB，BQ=QC，
∴BE=BQ，AE=CQ，
∴∠BEQ=45°，
∴∠AEQ=135°．
∵R是∠DCP的平分线上一点，
∴∠RCP=45°，
∴∠QCR=135°．
在△AEQ与△QCR中，∠QAE=∠RQC，AE=QC，∠AEQ=∠QCR，
∴△AEQ≌△QCR（ASA），
∴AQ=QR．
（2）结论成立；
理由：在边AB上截取AE=QC，连接QE．
∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠RQC=180°-∠AQR-∠AQB=180°-∠B-∠AQB=∠QAB=∠QAE，
BE=AB-AE=BC-QC=BQ，
∴∠BEQ=45°，
∴∠AEQ=135°．
∵R是∠DCP的平分线上一点，
∴∠RCP=45°，
∴∠QCR=135°．
在△AEQ与△QCR中，∠QAE=∠RQC，AE=QC，∠AEQ=∠QCR，
∴△AEQ≌△QCR（ASA），
∴AQ=QR．
（3）当∠AQR=时，AQ=QR，
在AB上截取BM=BQ，连接MQ，
∵AB=BC，
∴∠BMQ=∠BQM，
∵∠ABC=180°-，
∴∠BMQ=∠BQM=，
∴∠AMQ=180°-，
∵CR平分∠DCP，
∴∠PCR=∠DCR=∠DCP=×=，
∴∠QCR=180°-∠PCR=180°-，
∴∠AMQ=∠QCR，
∵AB-BM=BC-BQ，
∴AM=QC，
∵∠BAQ+∠AQB=，
∠AQB+∠CQR=180°-∠AQR=，
∴∠BAQ=∠CQR，
在△AMQ和△QCR中，
，
∴△AMQ≌△QCR（ASA），
∴AQ=QR，
∴当∠AQR=时，AQ=QR．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
61．（1）；（2）当时，；当时，；（3）①4；②3
【分析】
（1）用时间t表示AH即可；
（2）分两种情况：当H在边AD上、当H在边AD延长线上，讨论求解即可；
（3）①当O'O∥AD时，证明O'O是△AFG的中位线，得O是AG中点，从而可得G与C重合，此时，E与B重合，
②当OO'⊥AD时，延长OO'交AD于N，证明O'N是△FGH的中位线，从而可得AN=AF+FN=2t，而在Rt△AON中即可列出方程求解．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=30°，
∵GE∥AD，
∴∠GEB=∠BAD=60°，
∴∠EGA=∠GEB-∠BAC=30°，
∴∠EGA=∠BAC=30°，
∴GE=AE=2t，
∵四边形EFHG是矩形，
∴FH=GE=2t，
在Rt△AEF中，AF=AE=t，，
∴AH=AF+FH=3t，
当点与点重合时
（2）当H在边AD上时，
矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积即是矩形EFHG的面积，
当H在边AD延长线上，即时，设HG交CD于M，
∴矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积
．
∴
（3）①，是的中点，
∵四边形EFHG是矩形，
∴O'是FG的中点，
∵O'O∥AD，
∴O'O是△AFG的中位线，
∴O是AG中点，
∴OA=OG，
又∵O是AC中点，OA=OC，
∴G与C重合，此时，E与B重合，
∴．
②当OO'⊥AD时，延长OO'交AD于N，如图：
∵OO'⊥AD，
∴OO'∥GH，
∵O'是FG的中点，
∴O'N是△FGH的中位线，
∴N是FH的中点，
∵FH=2t，
∴FN=HN=t，
∴AN=AF+FN=2t，
在Rt△AOB中，AB=8，∠OAB=30°，
∴OB=4，OA=，
在Rt△AON中，∠DAC=30°，
∴，
∴
∴2t=6，
∴t=3．
【点睛】
本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用t表达出相关线段的长度，再列方程解决问题．
62．（1）2cm；（2）①；②
【分析】
（1）证明四边形是正方形，推出，解直角三角形求出，可得结论．
（2）①如图2中，过点作于，用表示出，，构建方程求出即可．
②如图3中，过点作于．设，则，构建方程求出，可得结论．
【详解】
解：（1）如图1中，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，，，
，
．
（2）①如图2中，过点作于．
，是等腰直角三角形，
，
，
，
．
②如图3中，过点作于．
四边形是平行四边形，
，
，
，
设，则，
，
，
，
平行四边形的面积．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，直角梯形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
63．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据AAS证明△ADE≌△CFE得出ED＝EF，进而可得四边形AFCD是平行四边形；
（2）根据垂直平分线的性质证明，再根据菱形的判定定理即可求解．
【详解】
（1），
，.
点是对角线的中点，
.
在和中，
.
.
又，
四边形是平行四边形，
（2），，
.
又垂直平分，
.
.
，垂直平分，
.
，，
.
.
.
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了直角梯形，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法，证明四边形AFCD是平行四边形是解题的关键．
64．（1）；（2）；（3）或
【分析】
（1）因为直线经过原点，可以设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意画出草图，如图1，因为，且，所以过和分别作轴的垂线，构造“三垂直”全等模型，求出和长度即可解决；
（3）根据题意画草图，可以知道点有两种位置，即在上方和下方，当在上方时，如图2，可以直接利用全等三角形的性质，得到在轴上，且，再利用勾股定理得到的长度，当在下方时，如图3，根据全等三角形的性质，得到在直线上，证得为等腰三角形，过作于，利用勾股定理求得的长度．
【详解】
解：（1）设直线为，
代入点得，，
直线的表达式为；
（2）如图1，过作轴于，过作轴于，
则，
四边形为正方形，
，，
，，
，
在与中，
，
，
，，
的坐标为，
，，
的坐标为；
（3）设直线的解析式为，
代入点，坐标可得，，
解得，
直线为，
令，则，
直线与轴交于点，
，
①如图2，当在下方时，
，
，
，
，
点轴正半轴上，
，
的坐标为，
，
②如图3，当在上方时，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，，，四点共线，
又，
，
过作于，
，
，
，
，
，，
，
或．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，同时，解决本题的关键是根据题意画出草图，第2题和第3题都涉及到了画图问题，要仔细辨别点的位置，当点的位置不确定时，一定要注意要分类讨论，比如第3问只说明了在轴右侧，所以要根据在上方和下方展开讨论．
65．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）先根据四边形ABCD是平行四边形可得AB=CD，即BE//CD,再证即可证明；
（2）先证明，再结合四边形BECD是平行四边形即可证明．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
，即BE//CD
．
∴四边形BECD是平行四边形．
（2）
．
，
，
，，
∵四边形BECD是平行四边形
∴四边形是矩形．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质和矩形的判定，灵活应用相关性质定理和判定定理是解答本题的关键．
66．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的四边相等，即可证得；
（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．
∵AB=CD，
∴FG=FH=HE=EG．
∴四边形EGFH是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，
∴GF∥DC，HF∥AB．
∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．
∴∠GFH=90°．
∴菱形EGFH是正方形．
∵AB=1，
∴EG=AB=．
∴正方形EGFH的面积=（）2=．
67．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据正方形性质证明全等即可；
（2）连接BD，首先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据垂直平分线的性质求出BE的长度，即可求出CG的长度．
【详解】
（1）证明：∵正方形，∴，，
同理：，，
∴，
∴在和，
，
∴，∴
在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，连接BD，
∵点H为中点，，
∴为的垂直平分线，∴，
∵，
∴，∴．
∵，∴．
【点睛】
此题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等和垂直平分线的性质等，解题的关键是熟练掌握以上性质并作出辅助线．
68．（1）见解析；（2）；（3）4或
【分析】
（1）连接，利用等腰梯形的性质得到，再利用证明，根据垂直平分线的性质得到，从而得到，然后证得，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）过点作于，先证明四边形是矩形，设，则，运用梯形面积公式即可得出答案；
（3）分三种情况：①当时，可得出时等腰直角三角形，根据，即，可求得答案；②当时，得出与重合，与四边形是梯形不符，故此情况不存在；③当时，求出BM，利用ME=BC-BM-EC=BC-2BM求出ME，可得AD，即可求得答案．
【详解】
解：（1）连接，
梯形中，，，
，
在和中，
，
．
．
又，，
，，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）如图2，过点作于，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
设，
，
，
．
（3）作于，
由（2）得：，，
是等腰三角形，
或或，
①当时，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
②当时，，
，
，
与重合，与四边形是梯形不符，
③当时，
则，
∴ME=BC-BM-EC=BC-2BM=，
，
综上所述，的长为4或．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，梯形面积公式等，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题关键．
答案第1页，共2页
一、单选题
1．（2021·上海金山·八年级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列选项中的一个条件，不能得到四边形ABCD是平行四边形，这个选项是（ ）
A．AD＝BC B．AB∥CD C．AB＝CD D．∠A＝∠C
2．（2021·上海松江·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．四个内角为、、和的四边形是一定是平行四边形
B．一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形
3．（2021·上海·八年级期末）已知：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
4．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2＋b2＝ab＋10，那么小正方形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021·上海·八年级期末）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
6．（2021·上海闵行·八年级期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，四边形是正方形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是矩形
7．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，在菱形中，，，BF与DE相交于点G，CG与BD相交于点H．下列结论中：①；②；③﹒正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（2021·上海普陀·八年级期末）下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角相等； B．对角线互相垂直的四边形是菱形；
C．等腰梯形的对角线相等； D．两条对角线相等的平行四边形是矩形．
9．（2021·上海·八年级期末）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B．一组对边平行，且有一个角是直角，一组邻边相等的四边形是正方形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
10．（2021·上海青浦·八年级期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形；
B．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形；
C．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形；
D．一组对边平行，且对角线互相垂直的四边形是正方形．
11．（2021·上海青浦·八年级期末）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图②所示，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·上海宝山·八年级期末）四边形不具稳定性，四条边长都确定的四边形．当内角的大小发生变化时．其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ）
A． B． C． D．1
13．（2021·上海闵行·八年级期末）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为的等腰梯形，底差等于，面积为，那么这个等腰梯形的纵横比等于（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·上海浦东新·八年级期末）下列四边形中，对角线一定不相等的是（ ）
A．直角梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
15．（2021·上海·上外附中八年级期末）下列命题中，假命题有（ ）个
①对角线互相垂直的平行四边形是矩形．
②对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．
③对角线互相垂直并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．
④对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形．
A．4 B．3 C．2 D．1
16．（2021·上海·八年级期末）如图，在梯形中，，，，那么下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·上海徐汇·八年级期末）已知四边形中，，下列判断中的正确是（ ）
A．如果，那么四边形是等腰梯形
B．如果，那么四边形是菱形
C．如果AC平分BD，那么四边形是矩形
D．如果，那么四边形是正方形
18．（2021·上海崇明·八年级期末）已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
19．（2021·上海·八年级期末）一个多边形的每个内角都为，那么该正多边形的边数为________．
20．（2021·上海崇明·八年级期末）一个多边形的每一个内角都是135°，则它的边数为 ___．
21．（2021·上海·八年级期末）一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形的边数为______．
22．（2021·上海普陀·八年级期末）每个内角都是的多边形的边数是__________．
23．（2021·上海青浦·八年级期末）如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形内角和的度数为______．
24．（2021·上海杨浦·八年级期末）如果过多边形的一个顶点共有6条对角线，那么这个多边形的内角和是_______度．
25．（2021·上海闵行·八年级期末）已知是平行四边形的对角线与的交点.，，，那么的周长等于_______．
26．（2021·上海·上外附中八年级期末）四边形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，AC与BD相交于点O，∠COB＝120°，AD＝7，BD＝10，则四边形ABCD的面积为 ___．
27．（2021·上海浦东新·八年级期末）在中，AC与BD相交于点，，，将沿直线AC翻折后，点B落在点E处，那么DE的长为_____________．
28．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，在中，已知，，，则_____________cm．
29．（2021·上海·八年级期末）在平行四边形中，，则________°．
30．（2021·上海·八年级期末）如果菱形边长是10，短的对角线长为12，那么这个菱形的面积是________．
31．（2021·上海市康城学校八年级期末）直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____．
32．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为_____．
33．（2021·上海浦东新·八年级期末）若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为_________．
34．（2021·上海·八年级期末）如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，点、、、、在同一水平面上，则正方形的面积为__________．
35．（2021·上海·八年级期末）小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是__________米．
36．（2021·上海崇明·八年级期末）已知菱形的边长为2，一个内角为，那么该菱形的面积为__________．
37．（2021·上海黄浦·八年级期末）已知菱形的边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积等于__________．
38．（2021·上海普陀·八年级期末）已知菱形的周长为20㎝ ，两条对角线的比为3：4，则菱形的面积为___________．
39．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的周长是____
．
40．（2021·上海黄浦·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8cm，AD＝10cm，点P在边BC上从B向C运动，点Q在边DA上从D向A运动，如果P，Q运动的速度都为每秒1cm，那么当运动时间t＝_____秒时，四边形ABPQ是直角梯形．
41．（2021·上海杨浦·八年级期末）平行四边形 ABCD 中，两条邻边长分别为3和5，∠BAD与∠ABC的平分线交于点E，点F 是CD的中点，连接EF，则EF=________.
42．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，AB=6，BC=10，则EF=___________．
43．（2021·上海崇明·八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5，其中一条底边的长为6，那么该梯形的另一条底边的长是__________．
44．（2021·上海·上外附中八年级期末）如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝___．
45．（2021·上海闵行·八年级期末）如图，等腰梯形中，，，对角线，如果高，那么等腰梯形的中位线的长为_______．
46．（2021·上海青浦·八年级期末）化简：___________．
三、解答题
47．（2021·上海长宁·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，联结CE．
（1）求证：AD∥CE；
（2）求CE的长．
48．（2021·上海·奉教院附中八年级期末）如图，已知，直线，点P在线段上，点D为射线上一动点，连接，射线交直线于点E．已知，．
（1）如图1，当点D在线段上时，求证：；
（2）当时，请在图2中画出相应的图形，并求线段的长；
（3）如果的平分线交射线于点G，设，，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
49．（2021·上海·八年级期末）如图已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,边AB的垂直平分线交边BC 于点E,垂足为点D，取线段BE的中点F,联结 DF,求证:AC=DF。
50．（2021·上海·八年级期末）如图，在中，，，，点P是AB上的动点，联结CP，并以CP为边作等边（点E在线段CP上方），M是线段AB的中点，联结EM．
（1）请猜想：线段EM与PB的数量关系？线段EM与CB的位置关系？
（2）请证明上题中你的猜想；
（3）请猜想：点P在BM上移动时，四边形ECPM的面积是否发生变化？并加以说明．
51．（2021·上海黄浦·八年级期末）如图，在四边形中，,点为的中点.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)联结,如果平分， 求的长.
52．（2021·上海静安·八年级期末）已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为 ．（请将答案直接填写在空格内）
53．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）如图，在中，，点是的中点，将沿翻折得到，联结．
（1）求证：；
（2）求的长．
54．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，四边形ABCD中，BAD=BCD=90°，E为对角线BD的中点，连接AE、CE．
（1）求证：AE=CE；
（2）若AC=8，BD=10，求△ACE的面积．
55．（2021·上海杨浦·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．
(1)求证：CG=CE；
(2)联结CF，求证：∠BFC=45°；
(3)如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．
56．（2021·上海松江·八年级期末）如图，已知点、分别是正方形边以及边延长线上的点（与正方形顶点不重合)，满足．联结，交对角线于点．
（1）联结，，求证：；
（2）求证：；
（3）如果正方形边长为，设，的面积为，求关于的函数关系式．
57．（2021·上海黄浦·八年级期末）在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设．
（1）求边的长；
（2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式；
（3）如果的长为，求梯形的面积．
58．（2021·上海宝山·八年级期末）将两张宽度相等的纸片叠放在一起，得到如图的四边形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图，联结，过点A、D分别作的垂线、，垂足分别为点F、E．
①设M为中点，联结、，求证：；
②如果，P是线段上一点（不与点A、C重合），当为等腰三角形时，求的值．
59．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在梯形中，，点从点开始沿向终点以每秒的速度移动，点从点开始沿向终点以每秒的速度移动，设运动时间为秒，连接．
（1）线段的长度是 ；
（2）当 秒时，四边形是矩形；
（3）在点运动过程中，当取何值时，线段与相等？
（4）连接，当是等腰三角形时，直接写出的值．
60．（2021·上海·上外附中八年级期末）如图1，点Q是正方形ABCD边BC的中点，点P在BC延长线上，CR平分∠DCP，AQ⊥QR于Q．（本题不需要写理由）
（1）求证AQ＝QR；
（2）如图2，若将条件中的点Q改为BC边上的任意一点，其余条件不变，AQ＝QR是否依然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
（3）若将第（2）小题中的正方形改为正n边型ABCD…（n为大于等于3的正整数），点Q为BC边上的任意一点，点P在BC延长线上，CR平分∠DCP，则当∠AQR＝ °时，AQ＝QR．（用n表示，直接写出结果，无需证明）
61．（2021·上海·八年级期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点与点不重合时，过点作于点，作交于点，过点作射线垂线段，垂足为点，得到矩形，设点的运动时间为秒．
（1）求点与点重合时的值；
（2）设矩形与菱形重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）设矩形的对角线与相交于点，
①当时，的值为________；
②时，求出的值．
62．（2021·上海长宁·八年级期末）如图1，直角梯形，，，，点B在底边上，，，过点B做底边的垂线交的延长线于点G．
（1）求线段的长度；
（2）联结，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P到达点C后即停止运动，设运动时间为t．
①如图2，当点P在的角平分线上，求t的值；
②如果在线段上存在点Q，使得四边形是平行四边形，请直接写出平行四边形的面积．
63．（2021·上海闵行·八年级期末）如图，已知在梯形中，，，点是对角线的中点，联结 并延长，交边于点，联结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）联结，如果垂直平分，求证：四边形是菱形．
64．（2021·上海宝山·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为
（1）求直线的表达式；
（2）以线段为边作正方形，点A、B在直线的下方，求点A的坐标；
（3）设直线与y轴交于点E，点F在y轴右侧，且与全等，顶点O、A、E分别与顶点O、C、F对应，求的长．
65．（2021·上海·八年级期末）如图，已知四边形是平行四边形，将边延长至点，使，联结、，与交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是矩形．
66．（2021·上海·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．
67．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形 ABCD外做正方形 GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．
（1）求证：；
（2）若正方形 ABCD的边长为1，当点H为 DE中点时，求CG的长．
68．（2021·上海金山·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝45°，BC＝8，DE⊥BC，垂足为E，延长DE至F，使得DE＝EF，联结AC、BF、CF．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）设AD＝x，梯形ABCD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）联结AF交BC于点O，如果△AOB是等腰三角形，求AD的长．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】
根据平行四边形的判定方法逐一进行选择判断．
【详解】
解：A、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、一组对边平行而另一组对边相等不能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°．∴CD∥AB．
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，属于基础题型，关键要记准平行四边形的判定方法．
2．D
【分析】
根据平行四边形的判定定理对每个选项进项判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、四个内角为60°、120°、60°和120°的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，错误，是假命题，不符合题意；
B、两条对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定定理，难度不大．
3．B
【分析】
先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可．
【详解】
解：∵E是AC中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=BC，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴AC=DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．
4．A
【分析】
由正方形1性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题．
【详解】
解：设大正方形的边长为，
大正方形的面积是18，
，
，
，
，
，
小正方形的面积，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出．
5．A
【分析】
根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理即可判断．
【详解】
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故原命题是假命题；
C、以两条对角线为对称轴的四边形是菱形，以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，故原命题是假命题；
D、对角线相等的平行四边形才是矩形，故原命题是假命题；
故选：A．
【点睛】
本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
6．A
【分析】
根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
解：当时，四边形是矩形，此说法错误，符合题意；
当时，四边形是菱形，此说法正确，不符合题意；
当时，四边形是菱形，此说法正确，不符合题意；
当时，四边形是矩形，此说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了四边形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，从而完成求解．
7．D
【分析】
由菱形的性质及AB=BD，得△ABD是等边三角形，故可判断①正确；由△ABD是等边三角形及AE=DF，可得，故可得②正确；根据全等的性质可判断③正确．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD，AD∥BC
∵AB=BD
∴AB=BD=AD
∴△ABD是等边三角形
∴∠A=∠ADB=60°
∵AD∥BC
∴∠DBC=∠ADB=60°
故①正确
在△AED和△DFB中
∴
故②正确
∵
∴∠ADE=∠DBF
∵∠BGE=∠GDB+∠DBF=∠GDB+∠ADE=∠ADB=60°
故③正确正确
所以正确的有：①②③
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明△ABD是等边三角形是解答本题的关键．
8．B
【分析】
分别根据平行四边形的性质、菱形的判定、等腰梯形的性质、矩形的判定逐项判断即可．
【详解】
解：A、平行四边形的对角相等是真命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，假命题，符合题意；
C、等腰梯形的对角线相等是真命题，不符合题意；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查判断命题的真假，涉及平行四边形的性质、菱形的判定、等腰梯形的性质、矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解答的关键．
9．D
【分析】
利用正方形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【详解】
解：A、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，原命题错误；
B、一组对边平行，且有一个角是直角，一组邻边相等的四边形可能是直角梯形，不一定是正方形，原命题错误；
C、对角线平分、相等且互相垂直的四边形是正方形，原命题错误；
D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．
10．C
【分析】
通过已知条件推导出对应图形以及根据平行四边形、等腰梯形、正方形、矩形和菱形的判定定理判断即可．
【详解】
A. 一组对边平行，且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，是假命题；
B. 一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形可能是直角梯形，是假命题；
C. 一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形，是真命题；
D. 一组对边平行，且对角线互相垂直的四边形可能是菱形，是假命题．
故选：C
【点睛】
本题考查了真命题的定义、平行四边形的判定、等腰梯形的判定、矩形的判定和菱形的判定等知识，要求学生能根据已知条件推导出其对应的图形，考查了学生对相关概念的理解与应用，该题对学生的推理分析能力有较高要求．
11．A
【分析】
根据函数图像分析各拐点的意义，时沿运动，时沿运动，可知，的值，从而求得；
【详解】
根据函数图像分析，
时，的值不断增大，沿运动；
时，的值没有变化，沿运动；
时，的值不断减小，沿运动；
,
四边形是矩形
故选A
【点睛】
本题考查了矩形的性质，动点问题，动点问题的函数图像的实际意义，理解函数图像中拐点的意义是解题的关键．
12．A
【分析】
过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积=AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AM=AD'，D'M=AM=AD'，然后求出菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2，即可求解．
【详解】
解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示：
则∠D'MA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积=AB2，AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠DAD′=30°，
∴∠D'AM=90°-30°=60°，
∴∠AD'M=30°，
∴AM=AD'，D'M=AM=AD'，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AB=AD'=AD，菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2，
∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出D'M=AD'是解题的关键．
13．C
【分析】
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据BC-AD=6求出BE=CF=3，利用勾股定理求出高AE的长，利用梯形面积公式求出AD的长，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案．
【详解】
解：如图，由题意得：AB=CD=5，BC-AD=6，
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴BE=CF=3，
∴，
∵梯形面积，
∴，
∴BC=9，
∴梯形的中位线=，
∴这个等腰梯形的纵横比=，
故选：C．
．
【点睛】
此题考查勾股定理，梯形面积公式及中位线公式，正确理解题意确定各线之间的数量及关系是解题的关键．
14．A
【分析】
根据特殊四边形对角线的性质判断即可．
【详解】
解：A、直角梯形的对角线一定不相等，符合题意；
B、矩形的对角线一定相等，不符合题意；
C、正方形的对角线一定相等，不符合题意；
D、等腰梯形的对角线一定相等，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查了特殊四边形对角线的性质，解题的关键是熟练掌握特殊四边形对角线的性质．
15．A
【分析】
利用矩形和正方形的判定方法分别对每个小题进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，符合题意．
②对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，符合题意．
③对角线互相垂直并且有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故原命题错误，是假命题，符合题意．
④对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形，错误，是假命题，符合题意，
错误的有4个，
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形和正方形的判定方法，难度不大．
16．A
【分析】
A、根据三角形的三边关系即可得出A不正确；B、通过等腰梯形的性质结合全等三角形的判定与性质即可得出∠ADB=90°，从而得出B正确；C、由梯形的性质得出AB∥CD，结合角的计算即可得出∠ABC=60°，即C正确；D、由平行线的性质结合等腰三角形的性质即可得出∠DAC=∠CAB，即D正确．综上即可得出结论．
【详解】
A、∵AD=DC，
∴AC＜AD+DC=2CD，
故A不正确；
B、∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠BAD，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠BAC=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，∠ABC+∠DCB=180°，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=∠BAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，B正确，
C、∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，C正确．
D、∵△DAB≌△CBA，
∴∠ADB=∠BCA．
∵AC⊥BC，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
∴DB⊥AD，D正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是逐项分析四个选项的正误．本题属于中档题，稍显繁琐，但好在该题为选择题，只需由三角形的三边关系得出A不正确即可．
17．C
【分析】
根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理进行判断即可．
【详解】
解：A． 如果BC=AD，那么四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误；
B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是矩形，错误；
C． 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形，正确；
D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是正方形，错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查等腰梯形的判定，关键是根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理解答．
18．C
【分析】
利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．
【详解】
解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，
∴①向量与向量是相等的向量，正确．
②向量与向量是互为相反的向量，正确．
③向量与向量是相等的向量；错误．
④向量与向量是平行向量．正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查平面向量，矩形的性质等知识，长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，平行向量也叫共线向量，是方向相同或相反的非零向量．
19．10
【分析】
先求出每一个外角的度数，再根据边数=360°÷外角的度数计算即可．
【详解】
解：正多边形的一个内角是，
该正多边形的一个外角为，
多边形的外角之和为，
边数，
这个正多边形的边数是10．
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
20．8
【分析】
先求出该多边形的每一个外角的度数，再利用多边形的外角和求出答案．
【详解】
解：∵一个多边形的每一个内角都是135°，
∴该多边形的每一个外角都是45°，
∴该多边形的边数为，
故答案为：8
【点睛】
此题考查多边形的外角的性质，多边形的外角和，熟记多边形的外角和是解题的关键．
21．十二
【分析】
首先设这个多边形是n边形，然后根据题意得：（n-2）×180=1800，解此方程即可求得答案．
【详解】
解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n-2）×180=1800，
解得：n=12．
∴这个多边形是十二边形．
故答案为：十二．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n-2）×180°．
22．9
【分析】
设多边形的边数为n，利用内角和公式列出方程求解即可．
【详解】
解：每个内角都是的多边形，
设边数为n，则（n﹣2）·180°=140°·n，
解得：n=9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查多边形的定义及其内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解答的关键．
23．
【分析】
根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数，然后利用多边形的内角和公式计算内角和即可．
【详解】
解：∵一个多边形的每个外角都是60°，
∴n=360°÷60°=6，
则内角和为：（6-2） 180°=720°，
故答案为：720°．
【点睛】
本题主要考查了利用外角求正多边形的边数的方法以及多边形的内角和公式，解题的关键是掌握任意多边形的外角和都等于360度．
24．1260°
【分析】
从多边形一个顶点可作6条对角线，则这个多边形的边数是9，n边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，代入公式就可以求出内角和．
【详解】
解：∵过多边形的一个顶点共有6条对角线，
故该多边形边数为9，
∴（9-2） 180°=1260°，
∴这个多边形的内角和为1260°．
故答案为：1260°．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．
25．59
【分析】
由平行四边形的性质可求得OB、OC，则可求得答案．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=BD=19，CO=AC=12，BC=AD=28，
∴BO+CO+BC=19+12+28=59，即△OBC的周长为59，
故答案为：59．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
26．
【分析】
作对角线的辅助线，通过平行四边形ACED证明△ABD≌△CDE，从而将梯形的面积转化为直角三角形的面积．
【详解】
解：过点作交的延长线于点，于，
，，
四边形为平行四边形，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，，．
在和中，
，
，
四边形的面积等于的面积，即．
故答案为：．
【点睛】
此题主要是平移对角线，构造一个平行四边形和等腰三角形，把梯形的面积转化为三角形的面积是解题关键．
27．
【分析】
连接,,根据翻折，，可知,从而利用勾股定理即可求得
【详解】
如图，连接,
四边形是平行四边形,，
翻折
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，轴对称图形的性质，勾股定理，画出图形找到直角三角形是解题的关键．
28．
【分析】
根据平行四边形的性质求出OD的长度，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】
因为，
∴OD=OB=3，
所以在中，．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理．
29．
【分析】
根据平行四边形的性质求解．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
又∠BAD=50°，
∴∠ABC=180°-50°=130°，
故答案为130 ．
【点睛】
本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键 ．
30．96
【分析】
利用菱形的对角线互相垂直平分,借助勾股定理,计算长对角线，根据菱形的面积等于对角线积的一半计算即可．
【详解】
解：如图，
四边形是菱形，
，，，
∴=8，
，
∴=96，
故答案为96．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
31．5．
【详解】
试题分析：∵直角三角形的两条直角边长为6，8，∴由勾股定理得，斜边=10.
∴斜边上的中线长=×10=5．
考点：1.勾股定理；2. 直角三角形斜边上的中线性质．
32．5
【分析】
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM=DM=13，根据等腰三角形的性质得到BN=12，根据勾股定理得到答案.
【详解】
连接BM、DM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AC，DM=AC，
∴BM=DM=13，又N是BD的中点，
∴BN=DN=BD=12，
∴MN==5，
故答案为5.
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
33．8
【分析】
根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】
解：∵正方形的一条对角线的长为4，
∴这个正方形的面积=×4 =8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键．
34．
【分析】
首先由正方形的面积得出，然后证明，得出，然后利用勾股定理得出BG的长度，最后利用面积公式求解即可．
【详解】
∵正方形的面积为，正方形的面积为，
，
，
．
在和中，，
，
，
，
∴正方形的面积为，
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握这些性质是解题的关键．
35．
【分析】
根据长方形的面积公式得到长与宽的积，再根据勾股定理得到长与宽的平方和．联立解方程组求得长与宽的和可．
【详解】
解：设长方形的长是a，宽是b，
根据题意，得：
（2）+（1）×2，得，
即a+b=，
所以长方形的周长是×2=m．
【点睛】
注意根据题意结合勾股定理联立解方程组，只需求得长与宽的和即可．熟练掌握掌握长方形的面积计算公式和勾股定理是解题的关键．
36．
【分析】
连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，根据菱形的面积公式即可求出答案．
【详解】
解：过点A作AM⊥BC于点M，
∵菱形的边长为2cm，
∴AB=BC=2cm，
∵有一个内角是60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴（cm），
∴（cm），
∴此菱形的面积为：（cm2）．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质和30°直角三角形性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．
37．120
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是5．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是12，则另一条对角线的长是24，进而求出菱形的面积．
【详解】
解：在菱形中，，，
对角线互相垂直平分，
，，
在中，，
．
则此菱形面积是，
故答案为：120．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．
38．．
【详解】
解：已知菱形的周长为20㎝ ，可得菱形的边长为5cm，设两条对角线长分别为3x，4x，
根据勾股定理可得（）2+（ 2x）2=102， 解得，x=2，
则两条对角线长分别为6cm、8，所以菱形的面积为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查菱形的性质；勾股定理．
39．41
【分析】
延长BN交AC于点D，易证得Rt△ANB≌Rt△AND，可得N为BD的中点；由已知M是BC的中点可得MN是△BCD的中位线，可得CD的长，据AC=AD+CD可得AC的长，即可得△ABC的周长．
【详解】
解：如图，延长BN交AC于点D，
∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，
∴∠BAN=∠DAN，∠ANB=∠AND，
在Rt△ANB和Rt△AND中，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD=AB=10，BN=DN，
即N为BD的中点，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CD=2MN=6，AC=AD+CD=10+6，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=10+（10+6）+15=41．
故答案为：41．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，涉及到三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
40．7
【分析】
过点A作AE⊥BC于E，因为AD∥BC，所以当AE∥QP时，则四边形ABPQ是直角梯形，利用已知条件和路程与速度的关系式即可求出时间t的值
【详解】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
过点A作AE⊥BC于E，
∴当AE∥QP时，则四边形ABPQ是直角梯形，
∵∠B＝60°，AB＝8cm，
∴BE＝4cm，
∵P，Q运动的速度都为每秒1cm，
∴AQ＝10﹣t，AP＝t，
∵BE＝4，
∴EP＝t﹣4，
∵AE⊥BC，AQ∥EP，AE∥QP，
∴QP⊥BC，AQ⊥AD，
∴四边形AEPQ是矩形，
∴AQ＝EP，
即10﹣t＝t﹣4，
解得t＝7，
故答案为7．
【点睛】
此题考查直角梯形，平行四边形的性质，解题关键在于作辅助线
41．3.5或0.5
【分析】
分两种情况讨论：①当AB=3，BC=5时，延长AE交BC于M，由平行线的性质和角平分线的定义可推出∠BAM=∠AMB，得到AB=BM=3，求出CM=2，再证明∠AEB=90°，根据等腰三角形三线合一得到E为AM的中点，所以EF为梯形ADCM的中位线，根据中位线的性质可求EF；②当AB=5，BC=3时，延长AE交BC的延长线于M，连接DM，延长EF与DM交于G，同理可证AE=EM，CM=2，再利用三角形中位线的性质可求出EF.
【详解】
分两种情况：
①如图1，当AB=3，BC=5时，延长AE交BC于M，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠AMB
∵AM平分∠BAD，
∴∠DAM=∠BAM
∴∠BAM=∠AMB
∴AB=BM=3
∴CM=BC-BM=5-3=2
∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°
又∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=∠DAB+∠ABC=90°，
∴∠AEB=90°
∴BE⊥AM，
∵BA=BM
∴AE=EM
∵DF=CF
∴EF为梯形ADCM的中位线
∴EF=
②如图，当AB=5，BC=3时，
延长AE交BC的延长线于M，连接DM，延长EF与DM交于G，
同①可证：AE=EM，CM=BM-BC=AB-BC=2，
EG为△ADM的中位线，FG为△CDM的中位线，
∴EG=AD=1.5，FG=CM=1，
∴EF=EG-FG=0.5
综上所述，EF的长为3.5或0.5
故答案为：3.5或0.5
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及梯形和三角形中位线的性质，利用角平分线和平行线的性质推出△ABM为等腰三角形是解题的关键.
42．2
【分析】
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】
解：为的中位线，
，
， 是 的中点，
，
，
故答案为：2
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
43．
【分析】
根据梯形中位线定理解答即可．
【详解】
解：设该梯形的另一条底边的长是xcm，根据题意得：，解得：x=4，
即该梯形的另一条底边的长是4cm．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了梯形中位线定理，属于基本题目，熟练掌握该定理是解题关键．
44．4.5
【分析】
作辅助线如图所示，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM=∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM=GM．同理AN=DN，根据三角形中位线定理即可求得MN．
【详解】
解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，
∵BM为∠ABC的平分线，
∴∠CBM=∠ABM，
∵BM⊥AG，
∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MGB+∠CBM=90°，
∴∠BAM=∠MGB，
∴△ABG为等腰三角形，
∴AM=GM．BG=AB=10，
同理AN=DN，CD=AC=6，
∴MN为△ADG的中位线，
∴MN=DG=（BC-BG+CD）=（BC-AB+AC）=（13-10+6）=4.5．
故答案为：4.5．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
45．8
【分析】
过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，根据等腰梯形的性质证得AC=BD，AD∥BC，由此得到四边形ACFD是平行四边形，再推出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边中线的性质推出，由此得到答案．
【详解】
解：过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，AD∥BC，
∵DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AC=DF，AD=CF，
∴BD=DF ，
∵，
∴DF⊥BD，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∵DE⊥BF，
∴
∴，即梯形的中位线是8cm，
故答案为：8．
【点睛】
此题考查等腰梯形的性质，平行四边形的判定及性质，等腰直角三角形斜边中线的性质，正确引出辅助线是解题的关键．
46．
【分析】
根据向量的加减运算即可得．
【详解】
原式
故答案为：．
【点睛】
本题考查了向量的加减运算，熟记运算法则是解题关键．
47．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由折叠的性质可得DE=BD，AE=AB，可证
EF=BF，AD⊥BE，由等腰三角形的性质可求∠DBE＝∠DEB，∠DEC＝∠DCE，由三角形的内角和定理可求CE⊥BE ，可得结论；
（2）由三角形的面积公式可求BF的长，由勾股定理可求CE的长．
【详解】
证明：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝DE＝ ，
∵将△ABD沿AD翻折得到△AED，
∴DE＝BD，AE＝AB，
∴AD垂直平分BE，
∴EF＝BF，AD⊥BE，
∵DE＝DB＝CD，
∴∠DBE＝∠DEB，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DBE+∠DEB+∠DEC+∠DCE＝180°，
∴∠DEB+∠DEC＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴CE⊥BE，
∴AD∥CE；
（2）∵S△ABC＝×AC×AB＝×3×4＝6，且CD＝BD，
∴S△ADB＝S△ABC＝3，
∴AD×FB＝3，
∴FB＝ ，
∴BE＝ ，
∴CE＝ ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
48．（1）见解析；（2）图见解析，2；（3）
【分析】
（1）先判断出，进而判断出，再判断出，得到即可；
（2）依题意画出图形，由（1）得到，再判断出，求出，进而求出AE；
（3）先表示出，再判断出，得到，在中，，即，即可．
【详解】
（1）证明：如图1，
作于点H，作于点F，
，
．
，
．
，即，
．
，
．
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，
作于点H，作于点F，
同（1）得，
，
，
，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
∵在四边形AHPF中，，
∴四边形AHPF是矩形，
，
；
（3）如图3，
作于点H，作于点F，
由（2）得，
，
，
，
，
．
∵PG平分，
．
，
，
，
在中，，
即，
．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质和判定，矩形的判定及性质，同角的余角相等，勾股定理，证明出是关键．
49．见解析.
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得DF=BE，最后根据直角三角形30度的性质得AC=AE，从而得出结论．
【详解】
证明：如图，连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE,∠EDB=90°，
∴∠EAB=∠EBA=15°，
∴∠AEC=30°，
Rt△EDB中,∵F是BE的中点，
∴DF=BE，
Rt△ACE中,∵∠AEC=30°，
∴AC=AE，
∴AC=DF.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及30°所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本性质得出线段关系是解题的关键.
50．（1）；；（2）见解析；（3）面积不变；见解析
【分析】
（1）连接CM，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得CM=CB，然后根据题意运用SAS定理证明△ECM≌△PCB，从而求得EM与PB的数量及位置关系；
（2）利用（1）中的思路进行推理证明；
（3）结合全等三角形的的性质可得△ECM与△PCB面积相等，从而四边形ECPM的面积即△MCB的面积，根据题意可求其面积为定值，从而得出结论
【详解】
解：（1）；
（2）连接CM
∵在中，，，M是线段AB的中点
∴CM=，∠B=60°
∴△CBM是等边三角形
∴CM=CB，∠MCB=60°
又∵以CP为边作等边
∴CE=CP，∠ECP=60°
∴∠ECM+∠MCP=∠PCB+∠MCP
∴∠ECM =∠PCB
在△ECM和△PCB中
∴△ECM≌△PCB
∴EM=PB，∠EMC=∠B=60°
又∵∠MCB=60°
∴∠EMC=∠MCB
∴
（3）过点M作MN⊥BC
由（2）已证△MCB为等边三角形
∴MB=BC=2
∵MN⊥BC
∴∠BMN=
∴BN=
∴在Rt△MCB中，
∴
又∵△ECM≌△PCB
∴点P在BM上移动时，
即四边形ECPM的面积不会发生变化．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线及含30°的直角三角形的性质，题目难度不大有一定的综合性，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
51．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可.
（2）此题有两种解决方法，方法一：证明四边形是等腰梯形，方法二：证明∠BDC为直角.
【详解】
（1）证明:，点为的中点，
，
又四边形是平行四边形
,四边形是菱形
（2）解:方法一四边形是梯形.
平分
四边形是菱形，.
四边形是等腰梯形，
方法二：平分
，即，
四边形是菱形，
，即，
【点睛】
此题考查菱形的判定与性质，解题关键在于结结合题意运用菱形的判定与性质即可.
52．（1）见解析；（2）；（3）8或或6
【分析】
（1）连结，证明，得到相等的角，再由平行线的性质证明，从而得，由菱形的定义判定四边形是菱形；
（2）连结，交于点，作于点，由菱形的面积及边长求出菱形的高，再求的长，由勾股定理列出关于、的等式，整理得到关于的函数解析式；
（3）以为腰的等腰三角形分三种情况，其中有两种情况是等腰三角形与或全等，另一种情况可由（2）中求得的菱形的高求出的长，再求等腰三角形的底边长．
【详解】
解：（1）证明：如图1，连结，
，，，
，
，
即；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是菱形
（2）如图2，连结，交于点，作于点，则，
由（1）得，四边形是菱形，
，
，
，，
，
，
，
由，且，得，
解得；
，
，
由，且，得，
点在边上且不与点、重合，
，
关于的函数解析式为，
（3）如图3，，且点在的延长线上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即等腰三角形的底边长为8；
如图4，，作于点，于点，则，
，
，
，
，
，
由（2）得，，
，
，
即等腰三角形的底边长为；
如图5，，点与点重合，连结，
，，，
，
，
即，
等腰三角形的底边长为6．
综上所述，以为腰的等腰三角形的底边长为8或或6，
故答案为：8或或6．
【点睛】
此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、求与几何图形有关的函数关系式等知识与方法，在解第（3）题时，需要进行分类讨论，求出所有符合条件的值，以免丢解．
53．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，再由折叠的性质得，，再由外角和定理得，则，即可证明结论；
（2）利用勾股定理求出BC的长，由（1）得，设，则，在和中，利用勾股定理列式求出x的值，再根据中位线定理得到即可．
【详解】
解：（1）∵，D是BC中点，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）∵，，，
∴，
由（1）知，
设，则，
∵折叠，
∴AD是BE的垂直平分线，
在和中，
，，
∴，即，解得，
∵D、F分别是BC和BE的中点，
∴．
【点睛】
本题考查折叠的性质，中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．
54．（1）见解析；（2）12
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=BD，CE=BD，即可得证；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质解答．
【详解】
（1）∵∠BAD=∠BCD=90°，E是BD的中点，
∴AE=BD，CE=BD，
∴AE= CE；
（2）过E作EF⊥AC于F，如图：
由（1）得：AE= CE，
∴AF=FC，
∵AC=8，BD=10，
∴AE= CE=BD=，AF=FC=AC=，
∴EF=，
∴△ACE的面积为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
55．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由ASA证得△BCG≌△DCE，即可得出结论；
（2）过点C作CM⊥BF，CN⊥DE，垂足分别为M，N，证明△CMG≌△CNE，可得CM=CN，再根据角平分线的判定可得结论；
（3）由正方形的性质得出∠BCG=90°，AB=BC=CD=2，BD=AB，由G为DC中点，得CG=1，在Rt△BCG中，由勾股定理得BG，设GF=x，在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得到方程，求出x，由（1）知△BCG≌△DCE，可得BG=DE．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，
∵BF⊥DE，
∴∠DFG=∠BCG=90°，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠GBC=∠EDC，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG=CE；
（2）如图，过点C作CM⊥BF，CN⊥DE，垂足分别为M，N，
∵△BCG≌△DCE，
∴CG=CE，∠CGM=∠CEN，
又∵∠CMG=∠CNE=90°，
∴△CMG≌△CNE（AAS），
∴CM=CN，
∴CF平分∠BFE，
∴∠BFC=∠BFE=45°；
（3）连接BD
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG=90°，AB=BC=CD=2，BD=AB=，
∵G为DC中点，
∴CG=GD=CD=1，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG=，
设GF=x，
在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2-BF2=DF2，DG2-GF2=DF2，
∴，
解得：x=，
∴DF=，
由（1）知：△BCG≌△DCE，
∴BG=DE=，
∴EF=DE-DF==．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
56．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据正方形性质可得，，进而证明，即可证得结论；
（2）过点作交于点，证明，即可证得结论；
（3）过点作于点，连结，由，可得出，，利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
；
（2）如图1，过点作交于点，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）如图2，过点作于点，连结，
四边形是正方形且边长为1，
，，
又，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
的面积为，
，
关于的函数关系式为．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形性质，等腰三角形性质，三角形面积公式等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
57．（1）3；（2）；（3）或
【分析】
（1）过作，与、分别相交于点、，从而判定四边形是矩形，在中求出的长，利用可得出的长；
（2）首先确定，过点作，与、分别相交于、，根据，，可表示出、，继而可得出关于的函数解析式；
（3）①当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，可求得梯形的面积，②当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面积．
【详解】
解：（1）如图1，过作，与、分别相交于点、，
梯形中，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
．
（2），，
，
，
，
，，
，
，
如图2，过点作，与、分别相交于、，
，，
，，
，
，
关于的函数解析式为；
（3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，
，
当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，
，
综上所述，梯形的面积为或．
【点睛】
本题考查直角梯形及由实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解．
58．（1）见解析；（2）①见解析；②或
【分析】
（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
（2）①过点作于，连接，由，可得，再证明，利用三角形内角和定理即可得出答案；
②设，则，设，则，根据勾股定理可得，即，从而得出，即可得到，根据是线段上一点（不与点、重合），不存在，可得出当为等腰三角形时，仅有两种情形：或，分类讨论即可求得答案．
【详解】
解：（1）如图1，过点作于，于，
两条纸条宽度相同，
．
，，
四边形是平行四边形．
．
，
四边形是菱形；
（2）①如图2，过点作于，连接，
则，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
经过点，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②，
设，则，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
是线段上一点（不与点、重合），
不存在，
当为等腰三角形时，仅有两种情形：或，
Ⅰ．当时，则，如图3，
，，
，
，
，
，
；
Ⅱ．当时，如图4，过点作于点，
在中，，
，
，
，
；
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形判定和性质，三角形面积公式，菱形面积，等腰三角形性质，勾股定理等，运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题是解题关键．
59．（1）；（2）；（3）秒或秒；（4）为秒，秒或秒
【分析】
（1）过点D作DG⊥BC于G，运用勾股定理求得CG=9cm，进而求得的长度；
（2）连接PQ，根据矩形性质建立方程求解即可；
（3）分两种情况：①当P1Q1=CD=15cm时，过点Q1作Q1H⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，可证明Rt△P1Q1H≌Rt△CDG（HL），由P1H=CG，建立方程求解即可；②当P2Q2=CD=15cm时，四边形P2Q2DC是平行四边形，根据DQ2=P2C，建立方程求解即可；
（4）分三种情况：PC=CD，PD=CD或PD=PC，分别建立方程求解即可．
【详解】
解：（1）如图1
过点D作DG⊥BC于G，
则∠DGB=∠DGC=90°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴DG=AB=12cm，AD=BG，
∵BC=27cm，CD=15cm，∴（cm）
∴AD=BG=BC-CG=27-9=18（cm），
故答案为：18；
（2）如图2，连接PQ，由题意得：BP=3t cm，DQ=2t cm，
∴AQ=AD-DQ=（18-2t）cm，
∵四边形ABPQ是矩形，∴AQ=BP，
∴18-2t=3t，解得.
故答案为：
（3）如图3，
∵DQ1=2t cm，BP1=3t cm，
∴AQ1=（18-2t）cm，
①当P1Q1=CD=15cm时，
过点Q1作Q1H⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，则∠CGD=∠BHQ1=90°，
由（1）知，DG=AB=12cm，CG=9cm，
∵∠A=∠B=90°，
∴四边形ABHQ1是矩形，
∴Q1H=AB=12cm，BH=AQ1=（18-2t）cm，
∴P1H=BH-BP1=（18-5t）cm，
∵DG=Q1H，CD=P1Q1，
∴Rt△P1Q1H≌Rt△CDG（HL），
∴P1H=CG，
∴18-5t=9，解得；
②当P2Q2=CD=15cm时，四边形P2Q2DC是平行四边形，
∴DQ2=P2C，
∵DQ2=2t cm，BP2=3t cm，
∴P2C=（27-3t）cm，
∴2 t =27-3 t，解得.
综上所述，当t取秒或秒时，线段PQ与CD相等；
（4）∵△PCD是等腰三角形，
∴PC=CD或PD=CD或PD=PC，
∵BP=3t cm，
∴PC=（27-3t）cm，
过点D作DG⊥BC于G，则∠DGP=90°，
由（1）（2）知，CD=15cm，BG=18cm，DG=12cm，BP=3t cm，
∴PG=（18-3t）cm，PC=（27-3t）cm，
∴PD2=PG2+DG2=（18-3t）2+122，
①当PC=CD时，27-3t=15，解得：t=4;
②当PD=CD时，则（18-3t）2+122=152，解得：t=3或t=9（舍去）;
③当PD=PC时，则（18-3t）2+122=（27-3t）2，解得；
综上所述，当△PCD是等腰三角形时，t的值为4或3或
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，等腰三角形性质，平行四边形的性质等综合知识，注意分类讨论思想的应用，难度较大.
60．（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）
【分析】
（1）如图1中，取AB的中点E，连接EQ．证明△AEQ≌△QCR（ASA），可得AQ=QR．
（2）结论成立；在边AB上截取AE=QC，连接QE．证明△AEQ≌△QCR（ASA），可得AQ=QR．
（3）在AB上截取BM=BQ，连接MQ，求出∠AMQ和∠QCR的度数，证明∠BAQ=∠CQR，利用ASA证明△AMQ≌△QCR，可得AQ=QR．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，取AB的中点E，连接EQ．
∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠RQC=180°-∠AQR-∠AQB=180°-∠B-∠AQB=∠QAB=∠QAE，
∵AB=BC，AE=EB，BQ=QC，
∴BE=BQ，AE=CQ，
∴∠BEQ=45°，
∴∠AEQ=135°．
∵R是∠DCP的平分线上一点，
∴∠RCP=45°，
∴∠QCR=135°．
在△AEQ与△QCR中，∠QAE=∠RQC，AE=QC，∠AEQ=∠QCR，
∴△AEQ≌△QCR（ASA），
∴AQ=QR．
（2）结论成立；
理由：在边AB上截取AE=QC，连接QE．
∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠RQC=180°-∠AQR-∠AQB=180°-∠B-∠AQB=∠QAB=∠QAE，
BE=AB-AE=BC-QC=BQ，
∴∠BEQ=45°，
∴∠AEQ=135°．
∵R是∠DCP的平分线上一点，
∴∠RCP=45°，
∴∠QCR=135°．
在△AEQ与△QCR中，∠QAE=∠RQC，AE=QC，∠AEQ=∠QCR，
∴△AEQ≌△QCR（ASA），
∴AQ=QR．
（3）当∠AQR=时，AQ=QR，
在AB上截取BM=BQ，连接MQ，
∵AB=BC，
∴∠BMQ=∠BQM，
∵∠ABC=180°-，
∴∠BMQ=∠BQM=，
∴∠AMQ=180°-，
∵CR平分∠DCP，
∴∠PCR=∠DCR=∠DCP=×=，
∴∠QCR=180°-∠PCR=180°-，
∴∠AMQ=∠QCR，
∵AB-BM=BC-BQ，
∴AM=QC，
∵∠BAQ+∠AQB=，
∠AQB+∠CQR=180°-∠AQR=，
∴∠BAQ=∠CQR，
在△AMQ和△QCR中，
，
∴△AMQ≌△QCR（ASA），
∴AQ=QR，
∴当∠AQR=时，AQ=QR．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
61．（1）；（2）当时，；当时，；（3）①4；②3
【分析】
（1）用时间t表示AH即可；
（2）分两种情况：当H在边AD上、当H在边AD延长线上，讨论求解即可；
（3）①当O'O∥AD时，证明O'O是△AFG的中位线，得O是AG中点，从而可得G与C重合，此时，E与B重合，
②当OO'⊥AD时，延长OO'交AD于N，证明O'N是△FGH的中位线，从而可得AN=AF+FN=2t，而在Rt△AON中即可列出方程求解．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=30°，
∵GE∥AD，
∴∠GEB=∠BAD=60°，
∴∠EGA=∠GEB-∠BAC=30°，
∴∠EGA=∠BAC=30°，
∴GE=AE=2t，
∵四边形EFHG是矩形，
∴FH=GE=2t，
在Rt△AEF中，AF=AE=t，，
∴AH=AF+FH=3t，
当点与点重合时
（2）当H在边AD上时，
矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积即是矩形EFHG的面积，
当H在边AD延长线上，即时，设HG交CD于M，
∴矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积
．
∴
（3）①，是的中点，
∵四边形EFHG是矩形，
∴O'是FG的中点，
∵O'O∥AD，
∴O'O是△AFG的中位线，
∴O是AG中点，
∴OA=OG，
又∵O是AC中点，OA=OC，
∴G与C重合，此时，E与B重合，
∴．
②当OO'⊥AD时，延长OO'交AD于N，如图：
∵OO'⊥AD，
∴OO'∥GH，
∵O'是FG的中点，
∴O'N是△FGH的中位线，
∴N是FH的中点，
∵FH=2t，
∴FN=HN=t，
∴AN=AF+FN=2t，
在Rt△AOB中，AB=8，∠OAB=30°，
∴OB=4，OA=，
在Rt△AON中，∠DAC=30°，
∴，
∴
∴2t=6，
∴t=3．
【点睛】
本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用t表达出相关线段的长度，再列方程解决问题．
62．（1）2cm；（2）①；②
【分析】
（1）证明四边形是正方形，推出，解直角三角形求出，可得结论．
（2）①如图2中，过点作于，用表示出，，构建方程求出即可．
②如图3中，过点作于．设，则，构建方程求出，可得结论．
【详解】
解：（1）如图1中，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，，，
，
．
（2）①如图2中，过点作于．
，是等腰直角三角形，
，
，
，
．
②如图3中，过点作于．
四边形是平行四边形，
，
，
，
设，则，
，
，
，
平行四边形的面积．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，直角梯形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
63．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据AAS证明△ADE≌△CFE得出ED＝EF，进而可得四边形AFCD是平行四边形；
（2）根据垂直平分线的性质证明，再根据菱形的判定定理即可求解．
【详解】
（1），
，.
点是对角线的中点，
.
在和中，
.
.
又，
四边形是平行四边形，
（2），，
.
又垂直平分，
.
.
，垂直平分，
.
，，
.
.
.
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了直角梯形，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法，证明四边形AFCD是平行四边形是解题的关键．
64．（1）；（2）；（3）或
【分析】
（1）因为直线经过原点，可以设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意画出草图，如图1，因为，且，所以过和分别作轴的垂线，构造“三垂直”全等模型，求出和长度即可解决；
（3）根据题意画草图，可以知道点有两种位置，即在上方和下方，当在上方时，如图2，可以直接利用全等三角形的性质，得到在轴上，且，再利用勾股定理得到的长度，当在下方时，如图3，根据全等三角形的性质，得到在直线上，证得为等腰三角形，过作于，利用勾股定理求得的长度．
【详解】
解：（1）设直线为，
代入点得，，
直线的表达式为；
（2）如图1，过作轴于，过作轴于，
则，
四边形为正方形，
，，
，，
，
在与中，
，
，
，，
的坐标为，
，，
的坐标为；
（3）设直线的解析式为，
代入点，坐标可得，，
解得，
直线为，
令，则，
直线与轴交于点，
，
①如图2，当在下方时，
，
，
，
，
点轴正半轴上，
，
的坐标为，
，
②如图3，当在上方时，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，，，四点共线，
又，
，
过作于，
，
，
，
，
，，
，
或．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，同时，解决本题的关键是根据题意画出草图，第2题和第3题都涉及到了画图问题，要仔细辨别点的位置，当点的位置不确定时，一定要注意要分类讨论，比如第3问只说明了在轴右侧，所以要根据在上方和下方展开讨论．
65．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）先根据四边形ABCD是平行四边形可得AB=CD，即BE//CD,再证即可证明；
（2）先证明，再结合四边形BECD是平行四边形即可证明．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
，即BE//CD
．
∴四边形BECD是平行四边形．
（2）
．
，
，
，，
∵四边形BECD是平行四边形
∴四边形是矩形．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质和矩形的判定，灵活应用相关性质定理和判定定理是解答本题的关键．
66．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的四边相等，即可证得；
（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．
∵AB=CD，
∴FG=FH=HE=EG．
∴四边形EGFH是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，
∴GF∥DC，HF∥AB．
∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．
∴∠GFH=90°．
∴菱形EGFH是正方形．
∵AB=1，
∴EG=AB=．
∴正方形EGFH的面积=（）2=．
67．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据正方形性质证明全等即可；
（2）连接BD，首先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据垂直平分线的性质求出BE的长度，即可求出CG的长度．
【详解】
（1）证明：∵正方形，∴，，
同理：，，
∴，
∴在和，
，
∴，∴
在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，连接BD，
∵点H为中点，，
∴为的垂直平分线，∴，
∵，
∴，∴．
∵，∴．
【点睛】
此题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等和垂直平分线的性质等，解题的关键是熟练掌握以上性质并作出辅助线．
68．（1）见解析；（2）；（3）4或
【分析】
（1）连接，利用等腰梯形的性质得到，再利用证明，根据垂直平分线的性质得到，从而得到，然后证得，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）过点作于，先证明四边形是矩形，设，则，运用梯形面积公式即可得出答案；
（3）分三种情况：①当时，可得出时等腰直角三角形，根据，即，可求得答案；②当时，得出与重合，与四边形是梯形不符，故此情况不存在；③当时，求出BM，利用ME=BC-BM-EC=BC-2BM求出ME，可得AD，即可求得答案．
【详解】
解：（1）连接，
梯形中，，，
，
在和中，
，
．
．
又，，
，，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）如图2，过点作于，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
设，
，
，
．
（3）作于，
由（2）得：，，
是等腰三角形，
或或，
①当时，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
②当时，，
，
，
与重合，与四边形是梯形不符，
③当时，
则，
∴ME=BC-BM-EC=BC-2BM=，
，
综上所述，的长为4或．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，梯形面积公式等，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题关键．
答案第1页，共2页