数学新教材高一下人教A版（2019）必修 第二册6.3.5　平面向量数量积的坐标表示(共24张PPT)

(共24张PPT)
第六章
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直.
课标要求
素养要求
通过推导数量积的坐标运算、求夹角和模及向量垂直的判断，体会逻辑推理素养及数学运算素养.
课前预习
知识探究
1
1.向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_____________.
x1x2＋y1y2
2.平面向量坐标表示的几个公式
x2＋y2
点睛
(1)θ为锐角或零角 x1x2＋y1y2>0；(2)θ为钝角或θ＝π x1x2＋y1y2<0.　　　
3.向量垂直的条件
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b ____________________.
x1x2＋y1y2=0
1.思考辨析，判断正误
×
(1)向量的模等于向量坐标的平方和.( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角.( )
提示　(1)向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根.
(2)只有a与b为非零向量时才正确.
(3)当θ＝180°时，cos θ＝－1<0，但不是钝角.
×
×
C
解析　由3a·b＝4，得(6，－9)·(x，2x)＝－12x＝4.
D
2
课堂互动
题型剖析
2
题型一　平面向量数量积的坐标表示
【例1】　已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
解　(1)∵a与b同向，又b＝(1，2)，
∴可设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0).
又∵a·b＝10，∴1·λ＋2·2λ＝10，
解得λ＝2>0，∴a＝(2，4).
(2)∵b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，∴(b·c)·a＝0.
1.进行数量积的坐标运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2及向量的坐标运算，并注意与函数、方程等知识的联系.
2.向量数量积的运算有两种思路：一种是基向量法，另一种是坐标法，两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法.
思维升华
【训练1】　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　)
A.10 B.－10
C.3 D.－3
解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，
所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
B
题型二　计算平面向量的模
C
5
(2)∵a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1，3)，则x＝2，且y＝1.∴a＝(2，1).
思维升华
B
解析　因为a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，
所以2x＋2＝0，解得x＝－1，
【例3】　已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
题型三　平面向量的夹角与垂直
证明　因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
即AB⊥AD.
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.
思维升华
因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4).
解　因为(a＋2b)⊥(2a－b)，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
1.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0，a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.　
课堂小结