高中数学人教A版（2019）必修 第二册 6.2平面向量的运算（1） 课件 (共38张PPT)

(共38张PPT)
6.2平面向量的运算（1）
复习回顾
向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
复习回顾
向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
向量：既有大小又有方向的量
零向量：长度为0的向量
单位向量：长度等于1个单位长度的向量
平行向量：方向相同或相反的非零向量；规定：0与任意向量平行
相等向量：长度相等且方向相同的向量
研究问题
我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷．
向量能否也能像数一样进行运算呢？
猜想向量加法的运算律是什么？与数的运算律有什么不同？
研究问题
我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷．
向量能否也能像数一样进行运算呢？
类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？
研究问题
我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷．
向量能否也能像数一样进行运算呢？
类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？
类比矢量的合成，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？
情境1：蛛网问题（位移的合成）
当蜘蛛在 A 点吃完蚊子以后，发现又有一只蚊子粘在了 B 点．
请你画出蜘蛛从 A 点到 B 点的位移．
蜘蛛经历了从 O 到 A 再到 B 的路程，你能画出蜘蛛的总位移吗？
A
O
B
C
D
E
F
情境1：蛛网问题（位移的合成）
当蜘蛛在 A 点吃完蚊子以后，发现又有一只蚊子粘在了 B 点．
请你画出蜘蛛从 A 点到 B 点的位移．
蜘蛛经历了从 O 到 A 再到 B 的路程，你能画出蜘蛛的总位移吗？
A
O
B
C
D
E
F
位移的合成 向量的加法
已知非零向量a, b，在平面内取任意一点A，作则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即
a＋b ＝ ＋ ＝ ．
a
b
a
b
A
B
a ＋ b
C
向量的加法
概念：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
向量的加法
概念：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
向量求和的法则
三角形法则
首尾相接，由始到终
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型
情境2：力的合成
在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，你能做出这个物体所受合力吗？
O
A
B
D
力的合成 向量的加法
已知非零向量a, b，在平面内取任意一点A，作以AB, AC为邻边作□ABDC，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即
a＋b ＝ ＋ ＝ ．
a
b
a
b
A
B
a ＋ b
C
D
向量的加法
概念：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
向量求和的法则
三角形法则
首尾相连，由始到终
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型
平行四边形法则
共起点，对角连
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型
向量的加法
概念：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
向量求和的法则
三角形法则
平行四边形法则
对于零向量与任意向量a，我们规定
　　　　　a ＋ 0 ＝ 0 ＋ a ＝ a.
向量加法法则的应用
例1　在下列各小题中，已知向量a, b，求作向量 a ＋ b ．
　(1)
a
b
向量加法法则的应用
例1　在下列各小题中，已知向量a, b，求作向量 a ＋ b ．
　(1)
a
b
a
b
a ＋ b
a
b
a ＋ b
向量加法法则的应用
例1　在下列各小题中，已知向量a, b，求作向量 a ＋ b ．
　(2)
　(3)
a
b
a
b
向量加法法则的应用
例1　在下列各小题中，已知向量a, b，求作向量 a ＋ b ．
　(2)
　(3)
a
b
a
b
a
b
a ＋ b
a
b
a ＋ b
思考：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
向量加法法则的应用
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 (1) 首尾相接 (2) 适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 (1) 共起点 (2) 仅适用于不共线的两个向量求和 向量加法法则的应用
例1　在下列各小题中，已知向量a, b，求作向量 a ＋ b ．
　(1)
　(2)
　(3)
探索：|a ＋ b|, | a |, | b |之间的关系？
向量加法法则的应用
例1　在下列各小题中，已知向量a, b，求作向量 a ＋ b ．
　(1)
　(2)
　(3)
探索：|a ＋ b|, | a |, | b |之间的关系？
一般地，我们有
|a ＋ b| | a |＋| b |,
当且仅当a, b方向相同时等号成立；
|a ＋ b|,
当且仅当a, b方向相反时等号成立.
向量加法法则的应用
变式1　已知向量a, b, c，求作向量 a ＋ b ＋ c．
a
b
c
向量加法法则的应用
变式1　已知向量a, b, c，求作向量 a ＋ b ＋ c．
a
b
c
a
b
c
a ＋ b ＋ c
a
b
c
a ＋ b ＋ c
a ＋ b
a ＋ b
多个向量求和（多边形法则）
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．
想一想
数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？
数的加法运算律
交换律 a ＋ b ＝ b ＋ a
结合律 ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c )
向量的加法运算律
交换律 a ＋ b ＝ b ＋ a
结合律 ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c )
？
向量加法的运算律
向量加法的交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a
a
b
a ＋ b
b
a
向量加法的运算律
向量加法的结合律：( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c )
a
b
c
a ＋ b
a ＋ b ＋ c
b ＋ c
向量加法的运算律
向量的加法运算律
交换律 a ＋ b ＝ b ＋ a
结合律 ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c )
向量加法运算律的应用
例2　化简
　(1)
　(2) ；
　(3)
向量加法运算律的应用
例2　化简
　(1)
　(2) ；
　(3)
解　(1) 原式 ；
　　(2) 原式 ；
　　(3) 原式 ．
向量加法的实际应用
例3　长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h．
　(1) 用向量表示江水速度、船实际航行的速度；
A
北
向量加法的实际应用
例3　长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h．
　(1) 用向量表示江水速度、船实际航行的速度；
解　(1) 表示船速， 表示江水速度，以AD, AB为邻边作□ABCD，
　　则表示船实际航行的速度．
A
北
A
B
D
C
向量加法的实际应用
例3　长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h．
　(2) 求船实际航行的速度的大小与方向（与江水速度间夹角的正切值）．
A
B
D
C
向量加法的实际应用
例3　长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h．
　(2) 求船实际航行的速度的大小与方向（与江水速度间的夹角的正切值）．
解　(2) 在Rt△ ABC中，, ，于是
　　 .
　　因为tan CBA
　　故，船实际航行速度的大小为 km/h，方向与江水速度夹角的正切值为.
A
B
D
C
小结
内容
方法
小结
内容
一个概念：向量的加法，两个向量的和仍然是一个向量．
两个法则：向量加法的 三角形法则 和 平行四边形法则 ．
一个不等式： |a ＋ b| | a |＋| b |
两条运算律：向量加法的 交换律 a ＋ b ＝ b ＋ a
　　　　　　　　　　　　 结合律 ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c )
方法
具体与抽象的数学思维方法
类比的思想方法
祝你学业进步！