2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义1课件（20张ppt）

(共20张PPT)
5.1.2 导数的概念及其几何意义
__________
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
复习引入
——瞬时变化率
——瞬时变化率
——平均变化率
——平均变化率
这两类问题都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.
问题1 解决这两类问题时有什么共性？
探究新知
问题2 一般地，对于函数 y＝f (x)，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点 (如 x ＝ x0）处的瞬时变化率吗？
追问1：为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率呢？
探究新知
为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以选取自变量x的一个改变量Δx，可以是正值，也可以是负值，但不为 0.
计算自变量x从x0变化到 x0+Δx 这个过程中函数值的平均变化率.
追问2：函数 y＝f (x) 的自变量 x 从 x0 变化到 x0+Δx 这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？
探究新知
自变量 x ：
函数值 y ：
函数 y＝f (x) 从 x0 到 的平均变化率：
追问3：函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的瞬时变化率该如何表示呢？
探究新知
无限趋近于
无限趋近于
无限趋近于
追问4：当Δx无限趋近于 0 时，平均变化率 是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？
探究新知
不一定
考查 f (x)＝| x | 在 x＝0 附近的变化情况.
举反例：
当 时，
当 时，
x
y
O
1
2
1
2
3
4
-1
-2
f (x)＝| x |
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
概念形成
导数（瞬时变化率）定义：
如果当 无限趋近于 0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，
即 有极限，则称_________________________，
并把这个确定的值叫做______________________(也称为__________ ) ,记作______或______.
用极限符号表示这个定义，就是__________________________________
y ＝ f (x) 在x ＝ x0处可导
瞬时变化率
y＝f (x)在x＝x0处的导数
问题3 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？
探究新知
问题1 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
问题2 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
——瞬时变化率
——瞬时变化率
——平均变化率
——平均变化率
实际上，导数可以描述许多运动变化事物的瞬时变化率. 比如效率、国内生产总值的增长率等.
例1 设 ，求
典例分析
解：
问题4 你能总结出求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？
方法归纳
第一步，写出 并化简；
第二步，求极限 ，
若 存在，则
巩固练习
1. 设函数 f (x)在x＝x0处可导，若 ，则f ′(x0)=( )
A.1 B.-1 C. D.
C
2. 设函数 f (x)在x＝x0处可导，若 ( )
A. f ′(x0) B.2 f ′(x0) C.-2 f ′(x0) D.0
B
3. 设函数 f (x)＝x2－1. 求：
（1）当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率；
（2）函数在 x＝1 处的导数.
解:（1）
（2）
巩固练习
解: 由导数的定义，知f (x)函数在 x＝1 处的导数为
4. 设函数 在 x＝1 处的导数.
因此函数 在 x＝1 处的导数为 .
巩固练习
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
典例分析
导数是瞬时变化率的数学表达.
追问1：这个实际问题与导数有什么关系？
解：
在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 和
所以
因为
同理，
追问2： 和 在这个实际问题中的意义是什么？
在本题中 是原油温度在时刻 x0 的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻 x0 附近的变化情况.
表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.
导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.
表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位: m/s)为 y＝v(t)＝-t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
追问1：速度与瞬时加速度的关系是什么？
瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.
典例分析
解：
在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是 和
所以
因为
同理，
追问2： 和 在这个实际问题中的意义是什么？
在本题中 是t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在t0时刻附近的变化情况.
表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s.
导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势.
表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是－6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.
导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势.
瞬时速度是位移的瞬时变化率，瞬时加速度是速度的瞬时变化率.
5. 一质点A沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系为y(t)=2t2+1，求质点A在t=2.7s时的瞬时速度.
解：
巩固练习
所以
因为
因此质点A在t=2.7s时的瞬时速度为10.8m/s.
课堂小结
第一步，写出 并化简；
第二步，求极限 ， 若 存在，则
2.求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤
1.导数的定义：