2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.3简单复合函数的导数课件（15张ppt）

(共15张PPT)
5.2.3 简单复合函数的导数
__________
导数的四则运算法则
复习回顾
探究新知
探究1 如何求函数 y＝ln(2x-1) 的导数？
现有方法无法求出它的导数：
（1）用定义不能求出极限；
（2）不是基本初等函数，没有求导公式；
（3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.
追问1 函数 y＝ln(2x-1) 可以用基本初等函数表示吗？
它的结构特点是什么？
探究新知
若设 u=2x-1 , 则 y=lnu.
如果把 y 与 u 的关系记作 y=f(u) 和，u 与 x 的关系记作 u=g(x)，那么这个“复合”的过程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x-1).
从而，y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 及u＝2x-1 经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数.
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x)).
概念形成
以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1)
（2）y＝(3x+5)3
（3）y＝e－0.05x＋1
y=log2u和u=x+1
y=u3和u=3x+5
y=eu和u=－0.05x+3
小试牛刀
探究新知
探究2 如何求复合函数的导数？
以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.
(1)猜想y=sin2x 的导数与函数y=sinu，u=2x 的导数有关.
以 y′x 表示 y 对 x 的导数, 以 y′u 表示 y 对 u 的导数, 以 u′x 表示 u 对 x 的导数
可以先得到函数y=sinu，u=2x 的导数
y′u=cosu, u′x =2
(2)可以换个角度来求 y′x ：
y′x =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x
可以发现，y′x =2cos2x=cosu·2= y′u · u′x
复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
概念形成
y′x＝y'u· u′x
[f (g(x))]′=f ′(g(x)) · g′(x)
结构特点
结果显示
探究新知
思考：现在可以用复合函数的求导法则来求函数 y＝ln(2x-1) 的导数了吗？
函数 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 复合而成
以y′u 表示对 u 求导, 以u′x表示对x求导
因为y'u＝(lnu)'＝ , u'x＝2,
所以y'x ＝ y'u · u'x ＝ ·2 =
例1 求以下函数的导数
（1）y＝(3x+5)3;（2）y＝e－0.05x＋1
解：(1)y＝(3x+5)3可以看作函数y＝u3及u＝3x+5的复合函数
根据复合函数求导法则，有
y'x＝y'u·u'x=(u3)'· (3x+5)'=3u2·3=9(3x+5)2.
(2)y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝eu及u＝－0.05x＋1的复合函数
根据复合函数求导法则，有
y'x＝y'u·u'x=(eu)'· (－0.05x＋1)'=－0.05eu=－0.05e－0.05x＋1.
典例分析
(1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；
(2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算；
(3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数.
方法归纳
探究3 你能总结求复合函数y＝f (g(x))的导数的一般步骤吗？
分解
求导
回代
解：函数 是y=18sinu 与 的复合函数
则
当t=3时，
它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s.
典例分析
例2 某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm) ,关于时间t(单位:s)的函数满足关系式 .求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义.
巩固练习
小结
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，
记作y＝f (g(x)).
2.复合函数的求导法则
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系
为y′x＝yu'×ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
3.复合函数求导的步骤：分解→求导→回代
课堂小结