2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大（小）值（2）课件（18张ppt）

(共18张PPT)
5.3.2 函数的极值与最大(小)值(2)
__________
如果在 x0 附近的左侧f '(x)>0, 右侧f '(x)<0 ，那么 f (x0)为极大值；
解方程 f '(x) = 0. 当 f '(x0) = 0 时：
如果在 x0 附近的左侧f '(x)<0, 右侧f '(x)>0 ，那么 f (x0)为极小值.
1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：
2.函数最大值和最小值的概念：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M 是函数y=f(x)的最大值.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
（2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M 是函数y=f(x)的最小值 .
复习回顾
问题1：找出函数y=f(x)的在区间[a,b]内极大值、极小值：
追问1：那么f (x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢
极大值：
f(x2), f(x4), f(x6)
极小值：
f(x1), f(x3), f(x5)
最大值：f(a) 最小值：f(x3)
探究新知
x
O
y
a
x1
b
y=f(x)
x2
x3
x4
x5
x6
问题2：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
x
y
O
a
b
y=f(x)
x
y
O
a
b
x2
x1
x3
x4
x5
y=g(x)
最大值：f(b); 最小值：f(a)
最大值：f(x3); 最小值：f(x4)
一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值.
探究新知
追问1：函数最值与极值有什么关系？
求最值的方法：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值.
1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.
2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个.
3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值.
探究新知
追问2：为什么给定函数的区间必须是闭区间？
因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值(最值有可能在区间端点处取得).
探究新知
O
x
y
a
b
y=f(x)
y=f(x)
O
x
y
a
b
O
x
y
a
b
y=f(x)
O
x
y
a
b
y=f(x)
例1 求 在[0,3]的最大值与最小值.
又因为f(0)=4,f(3)=1
典例分析
解：因为
x (0, 2) 2 ( 2, 3)
f '(x) 0
f (x)
–
+
单调递减
单调递增
所以,当x=0，时函数f(x)在[0,3]上取得最大值4，
当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值 .
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(2) 将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
方法归纳
(1) f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
巩固练习
1.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
解: (1)因为
x
f '(x) 0
f (x)
–
+
单调递减
单调递增
又因为f(0)=-2,f(2)=20
所以,当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值20，
当x= 时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值 .
令 解得 .
巩固练习
1.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
x 2 ( 2, 3)
f '(x) 0
f (x)
–
+
单调递减
单调递增
解: (1)因为
又因为
所以,当x=2时，函数f(x)在 上取得最大值20，
当x= 时，函数f(x)在 上取得最小值 .
令 解得 .
典例分析
所以,当x=1时, f(x)取得最小值.
x (0, 1) 1 ( 1, +∞)
f '(x) 0
f (x)
–
+
单调递减
单调递增
所以, f(x) ≥ f(1)=0, 即
解：将不等式 转化为
设 ,那么
令 ,解得
故当x>0时, .
除点(1,0)外，曲线C1： 在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的下方.
巩固练习
所以,当x=1时, f(x)取得最小值.
x (0, 1) 1 ( 1, +∞)
f '(x) 0
f (x)
–
+
单调递减
单调递增
所以, f(x) ≥ f(1)=0, 即x－lnx－1≥0
解：将不等式lnx≤ x－1转化为x－lnx－1≥0
令 ,解得
故当x>0时, lnx≤ x－1.
x
y
O
y=x-1
y=lnx
除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1
在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的上方.
设f(x)= x－lnx－1,那么f ′(x)= 1－
例3 给定.
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）求出方程= ()的解的个数.
解：（1）函数的定义域为
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，有极小值=
典例分析
x (－∞, －2) －2 (－2, +∞)
f '(x) 0
f (x)
–
+
单调递减
单调递增
当、的变化情况如表所示:
令f '(x) =0,解得：
因为f '(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex =(x+2)ex
（2）令=0，解得：
当时， 0; 当时， 0.
所以的图象经过特殊点A( ), B,C.
当时, 与一次函数相比, 指数函数 呈爆炸性增长, 从而
当时， ,
根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示:
（3）方程=()的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.
由(1)及图可得，当时，有最小值
所以，方程= 的解得个数有如下结论；
当< 时，解为0个;
当 或时，解为1个;
当<0时，解为2个.
f (x)=(x+1)ex
x
y
O
1
1
-1
-2
-1
（1）求出函数f(x)的定义域；
（2）求导数f '(x)及函数f '(x)的零点；
（3）用零点将f(x) 定义域为若干个区间，列表给出f '(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)单调性与极值；
（4）确定f(x)图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出f(x)的大致图象.
方法归纳
通常可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象:
例3 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其 (单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm.
(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小
典例分析
问题：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？
(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
我们利用导数工具来解决这个问题.
解：由题意可知，每瓶饮料的利润是
=
所以,令0,解得=2.
当时，<0;当时，0.
因此，当半径>2时，0 ，单调递增，即半径越大，利润越高；当半径2时，<0，单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6cm时，利润最大
（2）半径2cm时，利润最小，这时<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象上观察，你有什么发现？
r
y
O
3
2
1
2.求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
课堂小结
1.求最大（小）值的方法
只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值.
3.解决优化问题的基本思路：
优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案→优化问题