2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.1函数的单调性2课件（15张ppt）

(共15张PPT)
5.3.1 函数的单调性
__________
一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系：
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增；
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减.
复习引入
注
探究新知
问题1 如何探究函数的单调性？
判断函数的单调性
观察函数的图象
函数单调性的定义
利用导数的正负
y=x3－3x
y=x3+3x
探究新知
问题2 如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？
原函数
定义域
导函数
求导运算
导函数的正负
原函数的单调性
解不等式
函数单调性与导数的关系
例1 求函数 的单调区间.
典例分析
对于 且 ，有
函数 的定义域为 .
解：（定义法）
……
解：（导数法）
令 ，解得 ，或 .
对 求导数，得
函数 的定义域为 .
单调递增
单调递减
单调递增
和 把函数定义域划分成三个区间， 在各个区间的正负，以及 的单调性如表所示：
所以， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，如图所示.
利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤：
第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性.
第2步，求出导数f ′(x)的零点；
第1步，确定函数f (x)的定义域；
方法归纳
利用导数研究函数y=f (x)的单调性的优势：
不熟悉的、复杂的函数
熟悉的、简单的函数
转化
单调递减 单调递增 单调递减
所以， 在 和 上单调递减，在 上单调递增，如图所示.
1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） （2）
解：（1）函数 的定义域为 .
巩固练习
对 求导数，得
令 ，解得 ，或
解：（2）函数 的定义域为 .
单调递增 单调递减 单调递增
所以， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，如图所示.
对 求导数，得
令 ，解得 ，或 .
问题4 能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？
探究新知
研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况.
y = x3
一般地，设函数y=f(x)，在区间(a, b)上：
如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”；
反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”.
形成结论
函数增减的快慢与导数的关系
解：因为
所以
当 x>1时，
当x=1时，
当0所以，f(x), g(x)在(0,+∞)上都是增函数.
在区间(0,1)上，g(x)的函数图象比f(x)的图像要“陡峭”；
在区间(1,+∞)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”.
所以， f(x), g(x)的图象依次是图中的C2,C1.
典例分析
∵函数在(0,1]上单调递增
典例分析
2. 证明函数 在区间 上单调递减.
证明：函数 的定义域为 .
巩固练习
当 时， ，
因此函数 区间 上单调递减.
对 求导数，得
课堂小结
1.利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤：
第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性.
第2步，求出导数f ′(x)的零点；
第1步，确定函数f (x)的定义域；
一般地，设函数y=f(x)，在区间(a, b)上：
如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”；
反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”.
2.函数增减的快慢与导数的关系