2021-2022 学年度高一下学期期初考试
数学试题
一 单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求
1. 已知集合 M={x|y=ln(x+1)}, N = {y | y = ex},则 M∩N=（ ）
A. (-1,0) B. (0,+∞) C. (-1,+∞) D. R
2. 已知函数 = +3 + 3（a＞0，且 a≠1）的图象恒过点 P，若角 的终边经过点 P，则 =
3 3
A． B． C． D．
5 5
3. 已知点( + , )在第三象限,则 的取值范围是( )
3
A.(2k + ,2k + )(k Z) B. (2k + ,2k + )(k Z)
4 2 4
3 5 5 7
C． (2k + ,2k + )(k Z) D .(2k + ,2k + )(k Z)
4 4 4 4
4．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建
一条游览道路．平面示意图如图所示，道路 OC 长度为 8（单
位：百米），OA 是函数 = ( + )图象的一部分，ABC
是函数 = ( + ) ( > 0, > 0, | | < , ∈ [4,8])
2
的图象，最高点为 B（5， ）,则道路 OABC所对应函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．基本再生数 R0与世代间隔 T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，
世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在 α型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型 I（t）＝
1 / 5
ert描述累计感染病例数 I（t）随时间 t（单位：天）的变化规律，指数增长率 r与 R0、T近似满
足 R0＝1+rT，有学者基于已有数据估计出 R0＝3.22，T＝10．据此，在 α型病毒疫情初始阶段，
累计感染病例数增加至 I（0）的 3倍需要的时间约为（ ）（参考数据：ln3≈1.10）
A．2天 B．3天 C．4天 D．5天
x +1 +1, x 0
6. 若函数 f (x) = sin ( x) ,0 x 1，满足 f (a) = f (b) = f (c) = f (d ) = f (e)且
3
x 3, x 1
, , , , 互不相等，则 + + + + 的取值范围是（ ）
4 9 4 3
A. 0,log3 B. 0,log3 C. 0,log3 D. 0,log3
9 4 3 4
7．已知函数 ，函数 g（x）＝（m﹣1）x（1≤x≤2）．若任意的 x1∈
[0，1]，存在 x2∈[1，2]，使得 f（x1）＝g（x2），则实数 m的取值范围为（ ）
A． B．（1，+∞） C． D．
8. 已知函数 f (x)是 R上的增函数，且 ，其中
是锐角，并且使得 g (x) = sin x + 在 , 上单调递减，则 的取值范围是( )
4 2
5 5 1 1 5
A． , B． , C． , D． ,
4 4 4 2 2 4 2 4
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是（ ）
A．命题“ ，sin sin ”的否定为 ，sin sin .
B．若a R ，则“a3 1”是“ a2 1”的充分不必要条件.
C. 若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2.
D．f（x）＝tanx既是奇函数又是增函数.
2 / 5
1 x, x a
10. 设函数 f (x) = x ，若 f (1) = 2 f (0)，则实数 可以为（ ）
2 , x a
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
11. 已知函数 f (x) = 2x 1 ，实数 、b满足 f (a) = f (b)(a b)，则下列结论正确的有（ ）
A. 2a +2b 2 B. a、b，使0 a+b 1
C. 2a +2b = 2 D. a+b 0
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德
牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x R ，用 x 表示不超过 x的
ex 1
最大整数，则 y = x 称为高斯函数，例如： 3.5 = 4， 2.1 = 2.已知函数 f ( x) = ，
ex +1
函数 g(x) = f (x) ，以下结论正确的是（ ）
A. f (x)在 R 上是增函数 B. g (x)是偶函数
C. f (x)是奇函数 D. g (x)的值域是 1,0
三、填空题：本小题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 若正实数 a，b满足 ，则 a+b的最小值为________.
2021 3
14． 已知 f (x) = x + ax bsin x 7, f ( 5) = 4 ，则 f (5) =___________.
1
15. 设函数 f(x)＝ln(1＋|x|)－ ，则使得 f(x)＞f(2x－1)成立的 x的取值范围是______.
1+ x2
16. 已知函数 f (x) = log2 (ax2 ax+ 4) .
1
（1）若 f (x)在 ,2 上单调递减，则实数a 的取值范围是_________；
2
（2）若 f (x)的值域是 R ，则实数a 的取值范围是_________.
3 / 5
四、解答题，本题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
3
sin ( )sin +
17. 已知 2
f ( ) . =
sin ( )
sin + 2cos
（1）若 tan =2，求
3 f ( ) 的值；
1 5
（2）若 f = ，求 cos + +cos 的值.
6 3 3 12 6 3
18．已知函数 ( ) = (2 + ) (0 < < )，函数 = ( )为奇函数．
2 12
（1）求函数 ( )的单调递增区间；
（2）将函数 y＝ ( )的图象向右平移 个单位，然后将所得图象上的各点的横坐标缩小到原
来的 （纵坐标不变）得到函数 ( )的图象，
证明：当 ∈ [0, ]时，2 2( ) ( ) 1 ≤ 0.
4
19. 已知 f (x) = 4sin x+ sin x+ 3 .
2 3
（1）求函数 f (x)的的最小正周期和单调递减区间；
7
（2）若关于 x的方程 f (x) =m+ 2sin 2x 在区间 , 上恰有两个不等实根，求实数 m 的取值
12 12
范围.
4 / 5
20. 已知函数 f (x) = ln x m .
1
（1）若函数 g(x) = f (x)+ ex在区间 ,1 内存在零点，求实数 m 的取值范围；
e
f (ex
x
（2）若关于 x的方程 +1) = 有实数根，求实数 m 的取值范围.
2
21. 给出下面三个条件：①函数 y = f (x) 的图象与直线 y = 1只有一个交点；②函数 f (x+1) 是
偶函数；③函数 f (x)的两个零点的差为 2，在这三个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使
函数 f (x)的解析式确定
问题：二次函数 f (x) = ax2 +bx + c 满足 f (x +1) f (x) = 2x 1，且___________(填所选条件的序
号).
（1）求 f (x)的解析式；
1
（2）若对任意 ∈ [ , 27]，2 ( 3 ) + ≤ 0恒成立，求实数 m 的取值范围； 9
（3）若函数 g(x) = (2t 1) f (3x ) 2 3x 2 有且仅有一个零点，求实数 t的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
22. 已知函数 f (x) = x2 tx + 2t 2, g(x) = 2 | x 1|，函数F(x) = min{ f (x), g(x)}，其中
p, p q
min p,q = .
q, p q
（1）若 f (x) 2t 4恒成立，求实数 t 的取值范围；
（2）若 t 6，
①求使得F(x) = f (x)成立的 x的取值范围；
②求F (x)在区间[0,6]上的最大值M (t)．
5 / 5齐市实验高中2021-2022学年高一下学期开学考试
数学答案
一 单项选择题: BBDCDCDA
二、多项选择题： ABC AB CD ACD
三、填空题： 13 . 14. -18 15. 16 ①. ②.
四、解答题
17. 【答案】（1）（2）.
【详解】，
（1）；
（2），，
又，∴，
∴．
.
．
∴．
18． 解：（1）f（x﹣）＝sin（2x﹣+φ），
因为其为奇函数，所以﹣+φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ+，k∈Z，
因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝sin（2x+），
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递增区间[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
19.（1），；（2）.
20. 【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）因为函数与在都是增函数，
所以函数在也是增函数，
因为函数在区间内存在零点，所以解得.
所以实数m的取值范围为.
（2）关于x的方程有实数根等价于关于x的方程有实数根，所以存在实数x使成立.
因为（当且仅当，时取等号），
所以，
所以实数m的取值范围是.
21.【答案】选1 (1). ；(2). (3). 或
22. 【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）因为恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，所以，解得，
所以；
（2）①当时，，所以，解得；
当时，，所以，
因为，所以，
所以无解，
综上所述：的取值范围是；
②由①可知：，
当时，，所以，所以；
当时，的对称轴为，所以，
且，所以，
令，所以，所以，
综上可知：.
