(共28张PPT)
27.2.1 点与圆的位置关系
华师版 九年级下册
新知导入
你玩过飞镖吗 它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？
这其中体现了平面内点与圆的位置关系。
合作探究
1.在纸上画一个⊙O，在圆的内部、圆上、圆的外部分别画点A、B、C，测量OA、OB、OC的长度，测量圆的半径R；
2.比较OA、OB、OC与半径r的大小关系；
3.思考点与圆的位置关系。
【小组讨论】
新知讲解
比较OA、OB、OC与半径r的大小关系
OA < r，
OB = r，
OC > r
新知讲解
想一想：点与圆有什么位置关系？
我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径.
若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径；
若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径；
若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径.
新知讲解
反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？
若OA < r，则点A在圆内；
若OB = r，则点B在圆上；
若OC > r，则点C在圆外；
新知讲解
【总结归纳】
若⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则存在如下关系：
(1)点在圆内 d
(2)点在圆上 d＝r；
(3)点在圆外 d>r.
新知讲解
【做一做】已知⊙O的半径r=10 cm ，圆心O到直线AB的距离d=OD=6 cm. 在直线AB上有P、Q、R三点，且有PD=8 cm，QD>8 cm，RD<8cm. P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？
解：由勾股定理可知PD=8 cm，所以P、Q、R三点对于圆的位置关系依次为在圆上、在圆外、在圆内.
新知讲解
圆上的点有无数多个，那么多少个点就可以确定一个圆呢？
过一点，可以画多少个圆
A
可以得出：过点A可以画无数个圆.圆心可以是平面上任意一点，半径就是这点和点A之间的线段长.
新知讲解
过两点，可以画多少个圆？圆心在哪里？
A
B
可以得出：过两点可以画无数个圆，
这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
新知讲解
【思考】经过三点一定能画出一个圆吗 如果能，那么如何找出这个圆的圆心呢？
B
C
A
如果A、B、C三点不在同一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA=OB=OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆.
新知讲解
如果A、B、C三点在同一条直线上，能画出经过这三点的圆吗
A
B
C
当三个点在同一条直线上，不能确定一个圆
合作探究
已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.
A
B
C
O
经过三角形的三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个圆。
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
新知讲解
C
A
B
O
如图：⊙O是△ABC的外接圆，
△ABC是⊙O的内接三角形，
点O是△ABC的外心.
三角形的外心就是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
课堂练习
1. 在同一平面内，圆O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与圆O的位置关系为( )
A．点A在圆内
B．点A在圆上
C．点A在圆外
D．无法确定
A
课堂练习
2.数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，⊙B的半径为4，若点A在⊙B外，则( )
A．a<2或a>10
B．2C．a<2
D．a>10
A
课堂练习
3.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是( )
A．①
B．②
C．③
D．均不可能
A
课堂练习
4．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个，能画的圆有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
拓展提高
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，求线段CE的最小值．
解：如图，以AB为直径作⊙O，
连结CO交⊙O于点E′.
∵AE⊥BE，∴点E在⊙O上，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值．
O ·
E'
拓展提高
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，求线段CE的最小值．
O ·
E'
∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2.
∵BC＝6，∴OC＝
∴CE′＝OC－OE′＝ －2.
∴线段CE的最小值为 －2.
中考链接
6.【中考·河北】如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
B
中考链接
7.【中考·台州】如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
求证：△APE是等腰直角三角形；
证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°.
∴∠AEP＝∠ABP＝45°.
∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE＝90°.
∴∠APE＝180°－∠EAP－∠AEP＝45°＝∠AEP.
∴AP＝AE. ∴△APE是等腰直角三角形．
课堂总结
本节课你学到了什么？
（1）点与圆的位置关系
①点在圆内 dr.
②过两点可以作无数个圆
③过不在同一直线上的三个点确定一个圆
（2）画圆
①过一点可以作无数个圆
课堂总结
本节课你学到了什么？
（3）三角形的外接圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
三角形的外心就是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
板书设计
课题：27.2.1 点与圆的位置关系
教师板演区
学生展示区
一、点与圆的位置关系
二、画圆
三、三角形的外接圆
作业布置
课本 P48 练习题
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华师版九年级下册数学27.2.1 点与圆的位置关系教学设计
课题 27.2.1 点与圆的位置关系 单元 第2单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1.探索并掌握点与圆的三种位置关系，知道这三种位置关系中点与圆心的距离与半径的大小关系。2.知道经过不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形与圆的关系。3.理解数形结合的方法。
重点 用数量关系判断点和圆的位置关系
难点 会用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 你玩过飞镖吗 它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 这其中体现了平面内点与圆的位置关系。 教师提出问题，学生观察，并带着问题学习新课。 通过创设情境，提出实际问题，激发学生的学习兴趣。
讲授新课 探究1：点与圆的位置关系【小组讨论】1.在纸上画一个⊙O，在圆的内部、圆上、圆的外部分别画点A、B、C，测量OA、OB、OC的长度，测量圆的半径R；比较OA、OB、OC与半径r的大小关系；OA < r，OB = r，OC > r 3.思考点与圆的位置关系。我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径.若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径；若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径；若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径.反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？若OA < r，则点A在圆内；若OB = r，则点B在圆上；若OC > r，则点C在圆外；【总结归纳】若⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则存在如下关系：(1)点在圆内 dr.【做一做】已知⊙O的半径r=10 cm ，圆心O到直线AB的距离d=OD=6 cm. 在直线AB上有P、Q、R三点，且有PD=8 cm，QD>8 cm，RD<8cm. P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？解：由勾股定理可知PD=8 cm，所以P、Q、R三点对于圆的位置关系依次为在圆上、在圆外、在圆内.探究2：画圆圆上的点有无数多个，那么多少个点就可以确定一个圆呢？ 过一点，可以画多少个圆 可以得出：过点A可以画无数个圆.圆心可以是平面上任意一点，半径就是这点和点A之间的线段长.过两点，可以画多少个圆？圆心在哪里？可以得出：过两点可以画无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.【思考】经过三点一定能画出一个圆吗 如果能，那么如何找出这个圆的圆心呢？如果A、B、C三点不在同一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA=OB=OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆. 【思考】如果A、B、C三点在同一条直线上，能画出经过这三点的圆吗 当三个点在同一条直线上，不能确定一个圆探究三：三角形的外接圆已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.经过三角形的三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个圆。经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.三角形的外心就是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 学生认真阅读课本，独立思考，并根据问题梳理自学知识。观看ppt展示，核对自己梳理的知识是否有误，教师引导学生归纳总结出点与圆的位置关以及相应的数量关系。学生根据所学知识做练习。教师出示问题，引导学生作图，分步骤思考多少个点就可以确定一个圆问题。学生思考经过三点画一个圆的方法。根据学生回答，教师总结出三角形外接圆和三角形外心的概念，三角形外心的性质。 通过学习环节，培养学生的自学能力，简单的数学知识通过自学能够掌握。通过设问，学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析的能力，符合新课程标准。通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。通过合作寻找解决问题的方法，锻炼学生的实践能力，培养学生分析问题的能力，巩固尺规作图的能力。在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神。循序渐进，引导学生参与讨论与探究，不仅培养了学生的探究能力，而且锻炼了解决问题的思路。
课堂练习 1. 在同一平面内，圆O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与圆O的位置关系为( A )A．点A在圆内 B．点A在圆上C．点A在圆外 D．无法确定2.数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，⊙B的半径为4，若点A在⊙B外，则( A )A．a<2或a>10 B．2103.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是( A )A．① B．② C．③ D．均不可能4．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个，能画的圆有( C )A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，求线段CE的最小值．解：如图，以AB为直径作⊙O，连结CO交⊙O于点E′.∵AE⊥BE，∴点E在⊙O上，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值．∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2.∵BC＝6，∴OC＝∴CE′＝OC－OE′＝－2.∴线段CE的最小值为－2.6.【中考·河北】如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( B )A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE7.【中考·台州】如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．求证：△APE是等腰直角三角形；证明：在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°.∴∠AEP＝∠ABP＝45°. ∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE＝90°.∴∠APE＝180°-∠EAP－∠AEP＝45°＝∠AEP.∴AP＝AE. ∴△APE是等腰直角三角形． 学生做练习，巩固本节课所学知识。 通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂小结 本节课你学到了什么？（1）点与圆的位置关系①点在圆内 dr.（2）画圆①过一点可以作无数个圆②过两点可以作无数个圆③过不在同一直线上的三个点确定一个圆（3）三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.三角形的外心就是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
板书 课题：27.2.1 点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系二、画圆三、三角形的外接圆
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华师版数学九年级下册27.2.1 点与圆的位置关系导学案
课题 27.2.1 点与圆的位置关系 单元 第二单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1.探索并掌握点与圆的三种位置关系，知道这三种位置关系中点与圆心的距离与半径的大小关系。2.知道经过不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形与圆的关系。3.理解数形结合的方法。
重点 用数量关系判断点和圆的位置关系
难点 会用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。
教学过程
课前预学 你玩过飞镖吗 它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 这其中体现了平面内点与圆的位置关系。
新知讲解 探究1：点与圆的位置关系【小组讨论】1.在纸上画一个⊙O，在圆的内部、圆上、圆的外部分别画点A、B、C，测量OA、OB、OC的长度，测量圆的半径R；比较OA、OB、OC与半径r的大小关系；3.思考点与圆的位置关系。若点在圆上，那么这个点到圆心的距离______半径；若点在圆外，那么这个点到圆心的距离______半径；若点在圆内，那么这个点到圆心的距离______半径.反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？若OA < r，则点A在______；若OB = r，则点B在______；若OC > r，则点C在______；【总结归纳】若⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则存在如下关系：(1)点在圆内 ______；(2)点在圆上 ______；(3)点在圆外 ______.【做一做】已知⊙O的半径r=10 cm ，圆心O到直线AB的距离d=OD=6 cm. 在直线AB上有P、Q、R三点，且有PD=8 cm，QD>8 cm，RD<8cm. P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？探究2：画圆圆上的点有无数多个，那么多少个点就可以确定一个圆呢？ （2）过一点，可以画多少个圆 （2）过两点，可以画多少个圆？圆心在哪里？（3）经过三点一定能画出一个圆吗 如果能，那么如何找出这个圆的圆心呢？如果A、B、C三点不在同一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的__________上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的__________上，此时，这两条__________一定相交，设交点为O，则__________，于是以O为_____，OA为__________画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆. 【思考】如果A、B、C三点在同一条直线上，能画出经过这三点的圆吗 探究三：三角形的外接圆已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.经过三角形的三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个圆。经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的________，外接圆的圆心叫做三角形的________，这个三角形叫做圆的____________.如图：⊙O是△ABC的________， △ABC是⊙O的________，点O是△ABC的________.三角形的外心就是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
课堂练习 1. 在同一平面内，圆O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与圆O的位置关系为( )A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定2.数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，⊙B的半径为4，若点A在⊙B外，则( )A．a<2或a>10 B．2103.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是( )A．① B．② C．③ D．均不可能4．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个，能画的圆有( )A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，求线段CE的最小值．6.【中考·河北】如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE7.【中考·台州】如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．求证：△APE是等腰直角三角形；
课堂小结 本节课你学到了什么？（1）点与圆的位置关系（2）画圆（3）三角形的外接圆
板书 课题：27.2.1 点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系二、画圆三、三角形的外接圆
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