子集、全集、补集
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 数学抽象、逻辑推理
2.了解全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 数学抽象、数学运算
3.能理解用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用 数学抽象、直观想象
一望无际的草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑．如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.
[问题] (1)集合A与集合B存在什么关系？
(2)如何用数学语言来表示这两个集合之间的关系？
知识点一 子集、真子集
子集 真子集
概念 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A” 如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A?B或B?A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A；(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C；(3)规定 A，即空集是任何集合的子集 (1)若A?B且B?C，则AC；(2)若A B且A≠B，则AB；(3)空集是任何非空集合的真子集
1．子集刻画了两个集合之间关系，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系). “集合A是集合B的子集”可表述为：若x∈A，则x∈B.
2．在真子集的定义中，A?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
3．对于集合A，B，子集、真子集与集合相等的关系如下：A B A＝B或A?B.即子集包含真子集和集合相等两种情况．
1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则( )
A．P∈Q B．P Q
C．Q P D．Q∈P
解析：选C 集合Q中的元素都在集合P中，所以Q P.
2．设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝________．
解析：因为{2，9}＝{1－a，9}，则2＝1－a，
所以a＝－1.
答案：－1
3．用Venn图表示常用数集之间的关系．
答案：
知识点二 全集、补集
1．全集
(1)概念：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集；
(2)记法：通常记作．
2．补集
文字语言 设A S，由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作 SA(读作“A在S中的补集”)
符号语言 SA＝{x|x∈S，且x A}
图形语言
1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
2．补集的性质
(1)若A S，则① SA S；② S( SA)＝A；③( SS)＝ ；④ S ＝S.
(2)已知A S，B S，相关结论如下：
①若A B，则 SA SB；②若 SA SB，则A B.
特别地，若A＝B，则 SA＝ SB；反之，若 SA＝ SB，则A＝B.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数集问题的全集一定是R.( )
(2)集合 BC与 AC相等．( )
(3)一个集合的补集中一定含有元素．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则 UM＝____________．
解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以 UM＝{2，4，6}．
答案：{2，4，6}
3．若全集U＝{x|－2≤x≤2}，则集合A＝{x|－2≤x≤0}的补集 UA＝________．
解析：借助数轴易得 UA＝{x|0
答案：{x|04．已知全集U＝{0，1，2}，且 UA＝{2}，则A＝________．
解析：∵U＝{0，1，2}， UA＝{2}，
∴A＝{0，1}．
答案：{0，1}
集合间关系的判断
[例1] (链接教科书第10页例3)指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；
(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}．
[解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A?B.
(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意n∈Z，n＝2×(－n)＋3n∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，因为任意n∈Z，n＝4n－3n∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z.
判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系；
(2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A B；②若由q(x)可推出p(x)，则B A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系；
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．
[跟踪训练]
1．(多选)下列关系中，正确的有( )
A．0∈{0} B． ?{0}
C．{0，1}?{(0，1)} D．{(1，2)}＝{(2，1)}
解析：选AB 对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以 ?{0}正确；对于C，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以C错误；对于D，{(1，2)}与{(2，1)}是不同的点集，所以D错误．
2．能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
解析：选B 解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．
3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A?C；(3){2}?C；(4)2∈C.
答案：(1)＝ (2)? (3)? (4)∈
确定有限集合的子集、真子集及其个数
[例2] (链接教科书第9页例2)(1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)满足{1，2}?M {1，2，3，4，5}的集合M有________个．
[解析] (1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素的真子集为 ，含有1个元素的真子集有3个{1}，{2}，{3}，含有2个元素的真子集有{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B.
(2)由题意可得{1，2}?M {1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有五个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足题意的集合M共有7个．
[答案] (1)B (2)7
求集合子集、真子集个数的3个步骤
[跟踪训练]
已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．
解：∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}，
∴A的子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
A的真子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}.
补集的求法
[例3] (链接教科书第10页例4)(1)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则 UM＝( )
A．U B．{1，3，5}
C．{3，5，6} D．{2，4，6}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，则 UA＝________．
[解析] (1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知 UM＝{3，5，6}．
(2)如图，在数轴上表示出集合A，可知 UA＝{x|－2≤x≤2}．
[答案] (1)C (2){x|－2≤x≤2}
求集合补集的2种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
[跟踪训练]
若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求 SA.
(1)S＝R；
(2)S＝{x|x≤2}；
(3)S＝{x|－4≤x≤1}．
解：(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．
由图知 SA＝{x|x<－1或x≥1}．
(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．
由图知 SA＝{x|x<－1或1≤x≤2}．
(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．
由图知 SA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}.
由集合间的关系求参数值(范围)
[例4] (链接教科书第11页习题7题)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|11)，且B A，则实数m的取值范围是________．
[解析] 由于B A，结合数轴分析可知，m≤4，
又m>1，所以1[答案] 1[母题探究]
1．(变条件)本例若将“B＝{x|11)”改为“B＝{x|1解：若m≤1，则B＝ ，满足B A.
若m>1，则由例题解析可知1综上可知m≤4.
2．(变条件)本例若将“B＝{x|11)”改为“B＝{x|2m－1解：因为B A，
①当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠ 时，有
解得－1≤m<2.
综上得m≥－1.
3．(变条件)本例若将集合A，B分别改为A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}，其他条件不变，则实数m的值又是什么？
解：因为B A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，A＝{－1，3，1}，B＝{3，1}满足B A.所以m的值为1.
由集合间的包含关系求参数的方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程(组)求解，此时应注意分类讨论；
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
[注意] (1)不能忽视集合为 的情形；
(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．
[跟踪训练]
1．设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}， UA＝{5}，则实数a的值为________．
解析：∵ UA＝{5}，∴5∈U，且5 A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3，2}，U＝{2，3，5}，符合题意．
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9，2}，U＝{2，3，5}，
不满足条件 UA＝{5}，故a＝－4舍去．
综上知a＝2.
答案：2
2．设全集U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若 UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________．
解析：∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∴ UA＝{x|xb}．
又∵ UA＝{x|x<3或x>4}，∴a＝3，b＝4，∴a＋b＝7.
答案：7
子集个数的探究
观察下表并回答后面的问题.
集合B 集合A 关系 所有子集 集合C的个数
{a} {a，b} B C A {a}，{a，b} 2
{a} {a，b，c} B C A {a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c} 4
{a} {a，b，c，d} B C A {a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d} 8
[问题探究]
1．若集合A有n个元素，则集合A有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？
提示：若集合A含有n个元素，则集合A有2n个子集；其真子集要去掉集合A本身，故有2n－1个；非空真子集要去掉集合A本身与空集，故有2n－2个．
2．对于有限集A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中有m个元素(n，m∈N，且n>m)．
(1)当B C A时，满足条件的C有多少个？
(2)如果集合C分别满足如下条件：B C?A，B?C A，B?C?A，那么C的个数为多少？
提示：(1)由表格中的集合可知，若B C A，则集合C中一定有集合B的全部元素，也就是A中元素去掉B中元素后剩余元素构成的集合的子集，故有2n－m个．
(2)①当B C?A时，在问题(1)的基础上，去掉与A集合相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个．
②当B?C A时，在问题(1)的基础上，去掉与B集合相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个．
③当B?C?A时，在问题(1)的基础上，去掉与A，B相等的两个集合，故有2n－m－2个．
[迁移应用]
如果{2，3}?A ，则满足条件的集合A是什么？共有多少个？
解：∵x∈N，验证可知＝{1，2，3，4}，
∴{2，3}?A {1，2，3，4}，
∴A可能为{1，2，3}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，共有3个．
1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是( )
A．A B B．A B
C．A?B D．A?B
解析：选D 集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以B?A.
2．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )
A．15 B．16
C．256 D．32
解析：选A 根据伙伴关系集合的概念可知：－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1，1，3和，2和这“四大组”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.故选A.
3．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B A，则a的值为________．
解析：由题意得1－2a＝3或1－2a＝a，
解得a＝－1或a＝.
当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合条件．
当a＝时，A＝，B＝，符合条件．
所以a的值为－1或.
答案：－1或
4．设全集U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0，x∈U}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝________．
解析：∵ UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，
∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.
答案：－3
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10交集、并集
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集 数学抽象、数学运算
2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 数学运算、直观想象
3.会用集合的语言简洁、准确地表达数学的研究对象，在观察、分析、抽象、类比得到集合的数学知识的过程中提升学生的思维能力 数学抽象、逻辑推理
某班级有两个微信群，文学群成员有：梅、兰、竹、桂、松、柳，他们组成的集合用A表示；数学群成员有：梅、竹、松、枫、杨、桦，他们组成的集合用B表示，若S表示两个群都加入的同学组成的集合．
[问题] 集合S与集合A，B有怎样的关系？
知识点一 交集
文字语言 由所有属于集合A属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)
符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
图形语言
运算性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝，A∩ ＝ ∩A＝，A∩( UA)＝ ，(A∩B) A，(A∩B) B，A B A∩B＝A
对交集概念的理解
(1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成；
(2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”；
(3) 情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
1．已知集合A＝{x|－2A．{－2，－1，0} B．{－1，0，1}
C．{－1，0} D．{0，1}
解析：选C 由题意A∩B＝{－1，0}．故选C.
2．设集合M＝{x|x>－1}，集合N＝{x|－2A．{x|－2C．{x|x>－1} D．{x|x>－2}
解析：选B 已知集合M＝{x|x>－1}，集合N＝{x|－2知识点二 并集
文字语言 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)
符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
图形语言
运算性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝，A∪ ＝ ∪A＝，A∪( UA)＝U，A (A∪B)，B (A∪B)，A B A∪B＝B
1．对并集概念的理解
(1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成，公共元素只能算一次(元素的互异性)；
(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x B”；“x∈B，但x A”；“x∈A，且x∈B”．
2．交、并、补集的运算性质
A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； UU＝ ， U ＝U；A B UB UA，B A UA UB； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
1．集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．
2．若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)吗？反之，若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B)吗？
提示：若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)成立；
反之，若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B)不一定成立．
3．若A∩B＝A，则A与B有何关系？若A∪B＝A，则A与B又有什么关系？
提示：若A∩B＝A，则A B；
若A∪B＝A，则B A.
1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|1解析：选C A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|22．(2020·全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则 U(A∪B)＝( )
A．{－2，3} B．{－2，2，3}
C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}
解析：选A 由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以 U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.
知识点三 区间及相关概念
1．区间的概念及记法
设a，b是两个实数，而且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2.无穷大
实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3．特殊区间的表示
定义 区间 数轴表示
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤b} (－∞，b]
{x|x1．区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
2．“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2＜x≤3}＝________；
(3){x|x＞－1且x≠2}＝________；
(4)R＝________；
(5){x|x≤－1}∩{x|－5≤x＜2}＝________；
(6){x|x＜9}∪{x|9＜x＜20}＝________．
答案：(1)[1，＋∞) (2)(2，3] (3)(－1，2)∪(2，＋∞)
(4)(－∞，＋∞) (5)[－5，－1] (6)(－∞，9)∪(9，20)
并集的运算
[例1] (链接教科书第13页例1)(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )
A．{0} B．{0，2}
C．{－2，0} D．{－2，0，2}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
[解析] (1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，故选D.
(2)在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A.
[答案] (1)D (2)A
求集合并集的2种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解．
[跟踪训练]
1．(多选)若P＝{1，2，3，m}，Q＝{m2，3}，且满足P∪Q＝P，则m的值为( )
A．－1 B.
C．－ D．0
解析：选ABCD 由P∪Q＝P，可知Q P，
∴m2＝1或m2＝2或m2＝m.
解得m＝±1或m＝±或m＝0.
经检验m＝1时不满足集合中元素的互异性，舍去．
∴m＝－1或m＝±或m＝0.
2．若集合A＝(－1，＋∞)，B＝(－2，2)，则A∪B＝______．
解析：画出数轴如图所示，故A∪B＝(－2，＋∞)．
答案：(－2，＋∞)
交集的运算
[例2] (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如图．
则由交集的定义得，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.
[答案] (1)A (2)D
求两个集合交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
[跟踪训练]
1．设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则 U(M∩N)＝( )
A．{1，2} B．{2，3}
C．{2，4} D．{1，4}
解析：选D 因为M∩N＝{2，3}，所以 U(M∩N)＝{1，4}．
2．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝( )
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
解析：选D 由得故M∩N＝{(3，－1)}．
3．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，( UB)∩A＝{9}，则A＝________．
解析：由A∩B＝{3}，依据交集的概念可知3∈A.
又( UB)∩A＝{9}，所以9∈A.
若5∈A，则5 B(否则5∈(A∩B))，从而5∈ UB，则( UB)∩A＝{5，9}，与已知条件矛盾，故5 A.
同理1，7 A，故A＝{3，9}．
答案：{3，9}
交集、并集、补集的综合运算
[例3] (1)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{x|x2－4x＋3＝0}，N＝{x|x2－5x＋6＝0}，则 U(M∩N)＝( )
A．{4} B．{1，2}
C．{1，2，4} D．{1，3，4}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0[解析] (1)∵M＝{1，3}，N＝{2，3}，∴M∩N＝{3}，∴ U(M∩N)＝{1，2，4}，故选C.
(2)由已知，得A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，故 U(A∪B)＝{x|0[答案] (1)C (2)D
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解；
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
[跟踪训练]
1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且 U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩( UB)等于( )
A．{3} B．{4}
C．{3，4} D．
解析：选A ∵U＝{1，2，3，4}， U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，
∴{3} A {1，2，3}．
又 UB＝{3，4}，∴A∩( UB)＝{3}．
2．(多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4A． UB＝{x|x<2或x≥5}
B．A∩( UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}
C．( UA)∪B＝{x|x<1或26}
D． U( UB)＝{x|2≤x<5}
解析：选ABD 因为B＝{x|2≤x<5}，
所以 UB＝{x|x<2或x≥5}，故A正确；
由 UB＝{x|x<2或x≥5}可得，
A∩( UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}，故B正确；
由 UA＝{x|x<1或3由 U( UB)＝B＝{x|2≤x<5}可得D正确，故选A、B、D.
由集合的并集、交集求参数
[例4] 已知集合A＝{x|－3[解] (1)当B＝ ，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
(2)当B≠ 时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知，k的取值范围是.
[母题探究]
1．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
解：由A∩B＝A可知A B.
所以即
所以k∈ .
所以k的取值范围为 .
2．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3解：由题意可知解得k＝3.
所以k的值为3.
利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等，解答时应灵活处理；
(2)当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝ 的情况，切不可漏掉．
[跟踪训练]
设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}；B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)由题可知：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入方程x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0得：4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得：a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2，10}，符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意．
综上所述：a＝－5或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B A，
∵A＝{1，2}，∴B＝ 或B＝{1}或{2}或{1，2}．
若B＝ ，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，解得a>3；
若B＝{1}或{2}，则Δ＝0，即a＝3，
而当a＝3时，x2＋4x＋4＝0，得x＝－2，不合题意；
若B＝{1，2}，则
即此时也不成立．
综上，a的取值范围是(3，＋∞)．
集合运算中的新定义问题(新情境型)
我们知道，如果集合A S，那么S的子集A相对于全集S的补集为 SA，即 SA＝{x|x∈S，且x A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}．
[问题探究]
1．若S是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班全体女同学组成的集合，求S－A及 SA.
提示：S－A＝{x|x∈S，且x A}＝ SA＝{高一(1)班男同学}．
2．在下列各图中用阴影表示集合A－B.
提示：A中去掉B的部分，得到下列图．
3．如果A－B＝ ，那么集合A与B之间具有怎样的关系？
提示：A－B＝ 说明集合{x|x∈A，且x B}中无元素，即A中的元素都在B中，所以A B.
4．现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可用下列图中阴影部分表示的为( )
提示：∵A－B＝{x|x∈A，且x B}，即A－B是集合A中的元素去掉A∩B中的元素，记作集合D.
如图所示：
∴集合C－(A－B)就是C中的元素去掉集合C∩D中的元素．故选A.
[迁移应用]
由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(M，N)，下列选项中，可能成立的是________(填序号)．
①M没有最大元素，N有一个最小元素；
②M没有最大元素，N也没有最小元素；
③M有一个最大元素，N有一个最小元素；
④M有一个最大元素，N没有最小元素．
解析：若M＝{x|x＜0，x∈Q}，N＝{x|x≥0，x∈Q}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；
若M＝{x|x＜，x∈Q}，N＝{x|x≥，x∈Q}，则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；
若M＝{x|x≤0，x∈Q}，N＝{x|x＞0，x∈Q}，则M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；
M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能成立，因为这样就会至少有一个有理数不存在于M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数集矛盾，故③不可能成立．
答案：①②④
1．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，则(A∩B)∪C等于( )
A．{1，2，3} B．{1，2，4}
C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}
解析：选D 因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，
所以A∩B＝{1，2}．
又C＝{2，3，4}，
所以(A∩B)∪C＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．
2．(多选)已知集合A＝{x|－1A．A∩B＝
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪( RB)＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩( RB)＝{x|2解析：选BD ∵A＝{x|－12}，∴A∪( R B)＝{x|－12}＝{x|x<－2或x>－1}，C不正确；A∩( RB)＝{x|－12}＝{x|23．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2，5)}，则( )
A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3
C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3
解析：选B ∵A∩B＝{(2，5)}，
∴解得故选B.
4．已知A＝{x|a5}．若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
解析：由a5}，
在数轴上标出集合A，B，如图．
要使A∪B＝R，则
解得－3≤a<－1.
综上，可知a的取值范围为{a|－3≤a<－1}．
答案：{a|－3≤a<－1}
5．已知全集U＝{x|x是不大于9的正整数}，A，B都是U的子集，( UA)∩B＝{1，3}，( UB)∩A＝{2，4，8}，( UA)∩( UB)＝{6，9}，求集合A，B.
解：法一：U＝{x|x是不大于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
∵( UA)∩B＝{1，3}，( UB)∩A＝{2，4，8}，
∴{1，3} B，{2，4，8} A.
∵( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{6，9}，
∴A∪B＝{1，2，3，4，5，7，8}．
若5 A，则5∈ UA，5∈B，此时( UA)∩B＝{1，3，5}，不合题意，故5∈A.同理，7∈A，5∈B，7∈B.
∴A＝{2，4，5，7，8}，B＝{1，3，5，7}．
法二：∵U＝{x|x是不大于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且( UA)∩B＝{1，3}，( UB)∩A＝{2，4，8}，( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{6，9}，
∴Venn图如图，
由图可知A＝{2，4，5，7，8}，B＝{1，3，5，7}．
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12集合的概念与表示
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系 数学抽象、逻辑推理
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合 数学抽象
3.在具体情境中，了解空集的含义，初步了解集合相等的意义 数学抽象
第一课时 集合的概念
中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第四次会议于2021年3月8日下午3时，在北京人民大会堂召开第二次全体会议．
[问题] 与会的人大代表能否构成一个集合？
知识点一 元素与集合的相关概念
1．集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，通常用大写拉丁字母来表示集合．
2．元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母表示．
3．集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等．
4．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性.
特性 含义
确定性 集合的元素必须是确定的．因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来
互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素
无序性 集合中的元素可以任意排列
1．集合是一个原始的、不加定义的概念，就像几何中点、线的概念一样，只作描述性说明．
2．集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．
1．集合中的元素只能是数、点、代数式吗？
提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
2．某班所有的高个子男生能否构成一个集合？
提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准．
1．用“school”中的字母构成的集合中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“s”“c”“h”“o”“l”5个元素．
2．给出下列说法，其中正确的序号是________．
①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一(1)班所有姓氏能构成集合．
解析：①错误，集合中的元素是互不相同的；②错误，好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合；
③正确，高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合．
答案：③
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，那么就记作a∈A，读作“a属于A”．
2．不属于：如果a不是集合A的元素，那么就记作a A或a?A，读作“a不属于A”．
1．元素与集合之间有第三种关系吗？
提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a A”这两种关系．
2．符号“∈”“ ”的左边可以是集合吗？
提示：“∈”和“ ”具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．
1．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为________．
解析：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1.
答案：0或－1
2．设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3，4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？
解：3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4 A.
知识点三 常见的数集及符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*或N＋
N与N*(N＋)有何区别？
提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N*(N＋)多一个元素0.
下列元素与集合的关系判断正确的是_______(填序号)．
①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤ R.
解析：N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0∈N，π Q， Q，－1∈Z，∈R.
答案：①④
集合的概念
[例1] (多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是( )
A．某校高一年级成绩优秀的学生
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．2018年第23届冬季奥运会金牌获得者
[解析] A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．
[答案] BCD
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
[跟踪训练]
(多选)下列给出的对象中不能组成集合的是( )
A．著名物理学家 B．全世界的富豪
C．学习刻苦的人 D．小于8的所有素数
解析：选ABC 只有选项D有明确的标准，能组成一个集合.
元素与集合的关系
[例2] (链接教科书第7页练习1题)(1)下列关系中，正确的有( )
①∈R；② Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
[解析] (1)是实数，是无理数，|－3|＝3是自然数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．
(2)由题意可得x为自然数，所以可以为2，3，6，因此x的值为2，1，0.因此A中有2，1，0三个元素．
[答案] (1)C (2)2，1，0
1．判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可；
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
2．已知元素与集合的关系求参数的思路
当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a A时，结论恰恰相反．
利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．
[跟踪训练]
1．用∈， 填空：
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A.
解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，
令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－ Z.所以－5 A.
答案：∈
2．方程ax2＋2x＋1＝0，a∈R的根组成集合A.当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素．
解：A中有且只有一个元素，即ax2＋2x＋1＝0有且只有一个根或有两个相等的实根．
①当a＝0时，方程的根为－；
②当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1，此时方程有两个相等的根为－1.
综上，当a＝0时，集合A中的元素为－；当a＝1时，集合A中的元素为－1.
集合中元素的特性及应用
角度一 由集合中元素的互异性求参数
[例3] 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
[解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.
[答案] －1
[母题探究]
1．(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝，或a＝－.
2．(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？
解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.
3．(变条件)已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
解：由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，
所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)．
综上可知，a＝0.
根据集合中元素的特性求参数的3个步骤
[跟踪训练]
1．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选D 因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形．故选D.
2．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
解：(1)由集合中元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，
且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.
经检验，知x＝－2时三个元素符合互异性．
故x＝－2.
角度二 根据集合相等求参数
[例4] 由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，求a2 021＋b2 021的值．
[解] 由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，a≠b，由题意可得或解得或(不满足集合元素的互异性，舍去)．
所以a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋0＝－1.
从集合相等的定义入手，结合元素的无序性，寻找元素之间的关系．若集合中的元素不止一个，需要利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍．
[跟踪训练]
由三个不同数a，a＋d，a＋2d组成的集合与由a，aq，aq2组成的集合相等，求q的值．
解：由集合中元素的互异性得，
且所以
由集合相等的定义、集合中元素的无序性得
或
所以q＝－，q＝1(舍去)．
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B．由1，2，3和 ，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素
解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，组成的集合中有2个元素．
2．(多选)下列说法正确的有( )
A．N与N*是同一个集合
B．N中的元素都是Z中的元素
C．Q中的元素都是Z中的元素
D．Q中的元素都是R中的元素
解析：选BD 因为N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确，故选B、D.
3．(多选)由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则( )
A．a∈A B．a2∈A
C.∈A D．a＋1∈A
解析：选ACD 由a＝＋<＋＝4<5，所以a∈A.
a＋1<＋＋1＝5，所以a＋1∈A.a2＝()2＋2×＋()2＝5＋2>5，所以a2 A，＝＝＝－<5，所以∈A.故选A、C、D.
4．(2021·江苏宿迁月考)集合A中有两个元素：x＋2，x2.若1∈A，则实数x的值为________．
解析：因为1∈A，所以x＋2＝1或x2＝1.
①当x＋2＝1时，x＝－1，此时x2＝1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
②当x2＝1时，x＝±1，由①知x≠－1，所以x＝1，
此时x＋2＝3，满足集合中元素的互异性．
综上可知，x＝1.
答案：1
5．已知集合A是由所有形如a＋b (a∈Z，b∈Z)的数组成的，若m∈A，n∈A，n≠0，判断m＋n，mn，是不是集合A中的元素．
解：因为集合A是由所有形如a＋b (a∈Z，b∈Z)的数组成的，m∈A，n∈A，n≠0，
所以设m＝x1＋y1，n＝x2＋y2(x1∈Z，y1∈Z，x2∈Z，y2∈Z，x2，y2不同时为0)，
所以m＋n＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)，
mn＝(x1＋y1)(x2＋y2)＝(x1x2＋2y1y2)＋(x1y2＋x2y1)，
因为x1∈Z，y1∈Z，x2∈Z，y2∈Z，所以x1＋x2，y1＋y2，x1x2＋2y1y2，x1y2＋x2y1∈Z，
所以m＋n∈Z，mn∈Z.
若m＝1，n＝2－，则＝＝ A.
综上，m＋n，mn是集合A中的元素，不是集合A中的元素．
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8第二课时 集合的表示
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐”，用繁体中文为“生日快樂”，英文为“Happy Birthday”……
[问题] 对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
知识点一 列举法
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内，用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．
应用列举法表示集合时应关注以下四点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；
(2)集合中的元素必须是明确的；
(3)集合中的元素不能重复；
(4)集合中的元素可以是任何事物．
{a，b}与{b，a}表示同一个集合吗？
提示：{a，b}＝{b，a}，因为集合中的元素与顺序无关．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．( )
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.( )
答案：(1)× (2)×
2．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为____________．
答案：{1，2，3，4}
知识点二 描述法
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．{x|p(x)}中为集合的代表元素，p(x)指元素x具有的性质．
应用描述法表示集合时应关注以下三点
(1)写清楚集合中代表元素的符号，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母．
集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？
提示：A＝{x|x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合．
由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1答案：{0，1，2，3，4} {x|－1知识点三 Venn图
为了直观地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图．
用Venn图表示集合的优点与缺点？
提示：用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，能直观地表示集合之间的关系；缺点是集合中元素的特征性质不明显．
用Venn图法表示下列集合：
(1)集合{x|x<5，x∈N*}；
(2)由大于－3且小于11的偶数组成的集合．
答案：(1)
(2)
知识点四 集合的分类
按照集合中元素的个数分类
(1)有限集：含有有限个元素的集合称为有限集；
(2)无限集：含有无限个元素的集合称为无限集；
(3)空集：把不含任何元素的集合称为空集，记作 .
注意 ，0，{0}与{ }之间的关系
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；0是实数 不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；{ }含一个元素，该元素是
1．下列集合中________是有限集，________是无限集(填序号)．
(1)由小于8的正奇数组成的集合；
(2)由大于5且小于20的实数组成的集合；
(3)由小于0的自然数组成的集合．
解析：(1)因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集．
(2)因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集．
(3)因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集．
答案：(1)(3) (2)
2．下列集合中，是空集的为________(填序号)．
①{0}；②{x|x>8，且x<5}；③{x∈N|x2＋1＝0}；
④{x|x>4}；⑤{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}．
答案：②③
知识点五 数集与点集之间区别
一般地，在用描述法表示数集与点集时，数集的代表元素用一个字母表示，点集的代表元素用有序实数对表示．即{x|…}通常表示数的集合，{(x，y)|…}通常表示点的集合，常见情形如下：
集合 集合的含义
数集 {x|y＝x2＋1} 表示函数y＝x2＋1的所有自变量的取值组成的集合
{y|y＝x2＋1} 表示函数y＝x2＋1的所有函数值组成的集合
{x|x2－1＝0} 表示方程x2－1＝0的解集，即{1，－1}
点集 {(x，y)|y＝x2＋1} 表示函数y＝x2＋1图象上所有的点组成的集合
表示二元一次方程组的解集，即{(5，3)}
方程x＋y＋z＝3的正整数解构成的集合是{1}吗？
提示：不是，方程x＋y＋z＝3的整数解只有一组解即x＋y＋z＝3的正整数解构成的集合是{(1，1，1)}．
给出下列说法：①方程＋|3y＋3|＝0的解集是；②方程x2－x－6＝0的解集为{(－2，3)}；③集合A＝{y|y＝2x2－1}，B＝{(x，y)|y＝2x2－1}，C＝{y＝2x2－1}表示同一个集合，其中正确说法的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①中二元方程的解集应为点集，而是数集，故①不正确；②中方程为一元二次方程，其解集应为数集{－2，3}，而{(－2，3)}是点集，故②不正确；③中A为二次函数y＝2x2－1的所有函数值组成的集合，是数集，而B是二次函数y＝2x2－1的图象上所有的点组成的集合，是点集，C表示以等式y＝2x2－1为元素的集合，是式集，所以A，B，C表示的不是同一个集合，故③不正确．因此，正确说法的个数为0.
用列举法表示集合
[例1] (链接教科书第7页例1)用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合．
[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，
故交点组成的集合是{(0，1)}．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
[跟踪训练]
1．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13
C．12 D．10
解析：选B a，b∈{－1，0，1，2}，可分下列两种情形．
①当a＝0时，方程为2x＋b＝0，一定有解，此时b可以取－1，0，1，2，故满足条件的有序数对为(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，共4个．
②当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意知，Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1.故满足条件的有序数对为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．
综上，满足题意的有序数对(a，b)的个数为13.
2．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合C.
解：(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，
所以A＝{2，3，4，5}．
(2)因为方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以C＝{(1，4)}.
用描述法表示集合
[例2] (链接教科书第7页例2)用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
[解] (1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N*}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
描述法表示集合的2个步骤
[注意] 描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
[跟踪训练]
1．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
解析：选D 本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合．故选D.
2．用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n，0≤n≤2且n∈N}；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)一次函数y＝x的图象上去掉原点的点的集合．
解：(1)列举法：P＝{0，2，4}．
(2)描述法：.
或列举法：{(0，0)，(2，0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
集合表示法的应用
[例3] 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
[解] 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
[母题探究]
1．(变条件)若集合A中有2个元素，求实数k的取值范围．
解：由题意得
解得k<1，且k≠0.
故实数k的取值范围为{k|k<1，且k≠0}．
2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围．
解：(1)当集合A中含有1个元素时，由例3知，k＝0或k＝1；
(2)当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即解得k>1.
综上，实数k的取值范围为{k|k＝0或k≥1}．
集合与方程综合问题的解题策略
(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数解；
(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
[跟踪训练]
1．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值．
解：由A＝{2，3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6.
2．设集合B＝.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B.
解：(1)当x＝1时，＝2∈N；
当x＝2时，＝ N，所以1∈B，2 B.
(2)因为∈N，x∈N，
所以2＋x只能取2，3，6，
所以x只能取0，1，4，
所以B＝{0，1，4}．
以实际问题为背景的集合问题(材料型)
幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验．每年，家有即将幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区今年率先发布了幼升小入学政策：
1．本市户籍适龄儿童入学．凡年满6周岁的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证(监护人持有)的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学．
2．非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学．
该市东城区2021年的入学顺位可以参考2020年公布的入学顺位说明：
第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户口”；
第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”；
第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”；
第七顺序：“本片区户口＋‘(外)曾祖父’房屋产权”．
[问题探究]
1．若以东城区满足入学条件的儿童作为集合A，某儿童a具有该市户口(非本片区)，a是集合A的元素吗？
提示：a不一定是A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权所有人是儿童本人或其父或母．
2．某儿童b的父母在东城区有房屋产权，b是集合A中的元素吗？
提示：b不一定是A中的元素，因为b不一定具有本片区户口或本市户口或本片区集体户口或七类人．
[迁移应用]
给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合．判断集合A＝{－4，－2，0，2，4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是不是闭集合，并给出证明．
解：因为4∈A，4＋4＝8 A，所以A不是闭集合；
任取a，b∈B，设a＝3m，b＝3n，m，n∈Z，
则a＋b＝3m＋3n＝3(m＋n)，且m＋n∈Z，
所以a＋b∈B，
同理，a－b∈B，故B为闭集合．
1．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
解析：选D 选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．
2．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
解析：选D 列举法得B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，共含10个元素．
3．下列集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{2，3}，N＝{3，2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
解析：选B 选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．
4．方程组的解集可表示为________(填序号)．
①；②；
③{1，2}；④{(x，y)|x＝1，y＝2}．
解析：原方程组的解为其解集中只含有一个元素，可表示为①②④.
答案：①②④
5．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B.
解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理，得x2－(a＋1)x＋b＝0.因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两个实数根为－3，1.由根与系数的关系得解得所以y＝x2＋3x－3.将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理，得x2＋6x－3＝0，解得x＝－3±2，所以B＝{－3－2，－3＋2}.
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