函数的奇偶性
新课程标准解读 核心素养
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 数学抽象、直观想象、数学运算
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
[问题] (1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“部分”对称？
(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
知识点 函数的奇偶性
设函数y＝f(x)的定义域为A.
(1)如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数；
(2)如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数；
(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们称函数f(x)具有奇偶性；
(4)根据函数奇偶性的定义可知，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
1．奇、偶函数定义域的特点
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．
2．奇、偶函数的单调性
根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论：
(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”；
(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？
提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立．
1．下列函数是偶函数的是________(填序号)．
①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0，1]．
答案：②
2．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)
解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．
答案：②④ ①③
3．下列说法正确的是________(填序号)．
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③函数f(x)＝x2，x∈[－1，2]是偶函数；
④若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.
答案：④
4．若函数y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函数，则a＝________．
答案：1
5．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.
答案：－2 0
判断函数的奇偶性
[例1] (链接教科书第117页例1)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝ ＋ ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[解] (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
[例2] (1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)若f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)，判断其奇偶性．
[解] (1)证明：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x),
∴f(－x)＝－f(x)，又∵f(x)定义域为R关于原点对称，∴f(x)是奇函数．
(2)①当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，则函数f(x)为偶函数；
②当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝1，得f(1)＝1＋a，取x＝－1，得f(－1)＝1－a，则f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
综上所述，当a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：
①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步；
②验证：f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)；
③下结论：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
(2)图象法
①若f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数；
②若f(x)图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数；
③若f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数；
④若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)性质法
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
[跟踪训练]
1．已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且它们都恒不为0，则f(x)·g(x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．奇偶性不能确定
解析：选A 令F(x)＝f(x)·g(x)，则F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数，即f(x)·g(x)是奇函数．故选A.
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)．
解：(1)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(3)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
①当a≠0时，f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－(|x＋a|－|x－a|)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数；
②当a＝0时，函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|＝|x|－|x|＝0，此时函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
综上所述，当a≠0时，函数f(x)为奇函数；当a＝0时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
利用函数的奇偶性求参数
[例3] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________．
[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
[答案] (1) 0 (2)0
利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数；
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
[跟踪训练]
1．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
答案：－1
2．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，
即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.
答案：1
利用函数的奇偶性求解析式
[例4] (链接教科书第119页习题7题)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
[解] 当x＝0时，f(0)＝0.当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
故f(x)＝
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，求f(－2)的值．
解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2＋3)＝－3.
2．(变条件)若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，f(x)的解析式．
解：当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
[跟踪训练]
设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
函数单调性与奇偶性的综合
[例5] (1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围；
(2)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)
[解] (1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，
得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数，
∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又∵f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0，1)．
(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于
∴实数m的取值范围是.
函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性；
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)[跟踪训练]
1．若奇函数f(x)在区间[2，5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有( )
A．最小值6 B．最小值－6
C．最大值－6 D．最大值6
解析：选C 因为奇函数f(x)在[2，5]上有最小值6，所以可设a∈[2，5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.
2．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定
解析：选A ∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10，∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．
3．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是________．
解析：设h(x)＝f(x)g(x)，
则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，补全f(x)，g(x)的图象(图略)，由图象可知：当－40，g(x)<0，此时h(x)<0；
当00，此时h(x)<0，
∴h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2)．
答案：(－4，－2)∪(0，2)
1．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝－x对称
解析：选C ∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
2．(多选)下列函数是偶函数的有( )
A．y＝x2＋1 B．y＝2x＋
C．y＝＋ D．y＝|x＋1|＋|x－1|
解析：选ABD 选项C，定义域为{1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数，其他函数都满足偶函数的要求，故选A、B、D.
3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________．
解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，
又函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.
答案：12
4．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又因为f(2)＝0，所以f(x)<0 f(|x|)<0＝f(2)，即|x|>2，所以x>2或x<－2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
5．已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数．
证明：令x1＝0，x2＝x，则f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)．②
由①－②得f(－x)＝f(x)．又∵f(x)定义域为R关于原点对称，∴f(x)是偶函数．
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9函数的单调性
新课程标准解读 核心素养
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义 直观想象、数学运算、逻辑推理
第一课时 函数的单调性
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律．
如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量(单位：%)，则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．
[问题] 这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
知识点一 增函数、减函数的概念
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A.
(1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1(2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么称y＝f(x)在区间I上是减函数(图②)，I称为y＝f(x)的减区间．
对函数单调性的再理解
(1)并非所有的函数都具有单调性．如函数f(x)＝它的定义域为R，但不具有单调性；
(2)函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性；
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能认为y＝(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
(4)函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点．
1．下列命题中真命题的个数为( )
①定义在(a，b)上的函数f(x)，如果 x1，x2∈(a，b)，当x1② x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当<0时，f(x)在(a，b)上单调递减；
③ x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0时，f(x)在(a，b)上单调递增；
④ x1，x2∈(a，b)，且x1A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
∵<0等价于[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0，而此式又等价于或即或∴f(x)在(a，b)上单调递减，②是真命题，同理可得③也是真命题．
若要说明函数f(x)在某个区间上不是单调递增(减)的，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x12．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1①f(x)＝x2; ②f(x)＝；
③f(x)＝|x|; ④f(x)＝2x＋1.
答案：②
知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间．
函数的单调性刻画了函数在不同的定义域的子集中变化趋势可能不同，单调区间必须是定义域的子集．
1.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是________．
答案：[－3，1]
2．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________．
答案：(－∞，－1]
3．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则k的取值范围为________，b的取值范围为________．
答案： R
4．函数f(x)＝的单调增区间是________．
答案：R
函数单调性的判定与证明
[例1] (链接教科书第111页例2)求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
[证明] 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1∵x1∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝eq \f(（x2－x1）（x2＋x1）,xx).
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
利用定义证明函数单调性的4个步骤
[跟踪训练]
1．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
A．y＝|x|＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋
解析：选CD y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C、D.
2．(2021·盐城中学月考)用定义判断函数f(x)＝(a≠)在(－2，＋∞)上的单调性．
解：∵函数f(x)＝＝＝a＋，
任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝.
∵－2∴x2－x1>0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
∴当1－2a>0，即a<时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)是减函数；
当1－2a<0，即a>时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴当a<时，f(x)在 (－2，＋∞)上为减函数，
当a>时，f(x)在(－2，＋∞) 上为增函数.
求函数的单调区间
[例2] (链接教科书第111页例1)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[解] y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调减区间是(－1，0)和(1，＋∞)．
[母题探究]
(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？
解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1，1]，[3，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－1)，(1，3)．
求函数单调区间的2种方法
(1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
(2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．
[跟踪训练]
1．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是__________________．
解析：由图象知单调递增区间为[－1.5，3]和[5，6]．
答案：[－1.5，3]和[5，6]
2．求函数f(x)＝的单调减区间．
解：函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).
函数单调性的应用
[例3] (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
[解析] (1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
[答案] (1)(－∞，－4] (2)(－∞，1)
[母题探究]
1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)的单调增区间为(－∞，3]，求a的值．
解：由题意知－a－1＝3，即a＝－4.
2．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．
解：由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
3．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．
解：由题意可知，解得x>.
∴x的取值范围为.
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围；
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
[跟踪训练]
1．若函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0成立，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C．[1，2] D．[1，＋∞)
解析：选C 因为函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0成立，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
即解得1≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[1，2]．故选C.
2．已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则( )
A．sgn [g(x)]＝sgn x
B．sgn [g(x)]＝－sgn x
C．sgn [g(x)]＝sgn [f(x)]
D．sgn [g(x)]＝－sgn [f(x)]
解析：选B 因为f(x)是R上的增函数，且a>1，所以当x>0时，f(x)f(ax)，即g(x)>0.由符号函数sgn x＝知sgn [g(x)]＝＝－sgn x.
复合函数y＝f(g(x))的单调性
[典例] 已知函数f(x)＝，x∈[2，6]．
(1)试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性；
(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤．
[解] (1)函数f(x)＝可分解为函数y＝和函数u＝x－1.
因为x∈[2，6]，所以u∈[1，5]，显然函数u＝x－1在x∈[2，6]上单调递增，函数y＝在u∈[1，5]上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)＝在x∈[2，6]上单调递减．
(2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．
[结论] 一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，单调性如表所示，简记为“同增异减”.
g(x) f(x) f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
[迁移应用]
求函数f(x)＝的单调区间．
解：由题意可知8－2x－x2≥0，解得－4≤x≤2，
∴函数f(x)的定义域为[－4，2]．
设y＝，u＝8－2x－x2.
二次函数u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．
∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，单调递减区间是(－1，2]．
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
2．(多选)下列函数在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝－|x|
解析：选AD 对于选项A，y＝－x2＋1为二次函数且在区间(0，＋∞)上是减函数；选项B，y＝在区间(0，＋∞)上是增函数；选项C，y＝－在(0，＋∞)上是增函数；选项D，y＝－|x|在区间(0，＋∞)上是减函数．
3．函数y＝－(x－3)|x|的单调递增区间为________．
解析：y＝－(x－3)|x|＝
作出其图象如图，观察图象知单调递增区间为.
答案：
4．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，
∴≤，即a≤2.
答案：(－∞，2]
5．证明函数f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数．
证明：设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，
且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝
(x1－x2)＝.
∵0∴x1－x2<0，0∴>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数．
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10第二课时 函数的最大(小)值
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．
[问题] (1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
知识点 函数的最大值与最小值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A.
(1)如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；
(2)如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．
对函数最大值和最小值的再理解
(1)f(x0)首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；
(2)最大(小)值定义中的 (任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝f(x0)的上(下)方．
如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M，那么M一定是函数f(x)的最大值吗？
提示：不一定．如函数f(x)＝－x2≤1恒成立，但是1不是函数的最大值．
1．下列对函数f(x)＝2x－1(x<0)的说法中，正确的是________．(填序号)
①有最大值；②有最小值；③既有最大值又有最小值；④既无最大值又无最小值．
答案：④
2．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________，________．
答案：－1 2
3．函数f(x)＝，x∈[2，4]，则f(x)的最大值为______；最小值为________．
答案：1
4．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．
解析：函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，ymin＝2×12＋2＝4.
答案：4
求函数的最值
角度一 利用函数的图象求最值
[例1] (链接教科书第112页例3)函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2) B．2，f(2)
C．－2，f(5) D．2，f(5)
[解析] 由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)．
[答案] C
用图象法求最值的3个步骤
角度二 利用单调性求函数的最值
[例2] (2021·江苏苏州联考)函数y＝2x＋的最小值为________．
[解析] 法一(单调性法)：显然函数y＝2x＋的定义域为[1，＋∞)，因为函数y＝2x与y＝在定义域[1，＋∞)上均是增函数，故y＝2x＋在[1，＋∞)上是增函数，所以当x＝1时，ymin＝2＋＝2，即函数y＝2x＋的最小值为2.
法二(换元法)：令＝t，则t≥0，x＝t2＋1，所以原函数转化为f(t)＝2t2＋t＋2＝2＋，易知在t∈[0，＋∞)时，函数f(t)单调递增，所以当t＝0时，f(t)min＝2，故函数y＝2x＋的最小值为2.
[答案] 2
函数最值与单调性的关系
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)；
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间(b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)；
(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝ax＋(2－x)，其中a>0，记f(x)在区间[0，2]上的最小值为g(a)，则函数g(a)的最大值为( )
A. B．0
C．1 D．2
解析：选D f(x)＝ax＋(2－x)＝x＋，
①当a>1时，a>，f(x)是增函数，
f(x)在区间[0，2]上的最小值为f(0)＝，
∴g(a)＝∈(0，2)；
②当a＝1时，f(x)＝2，∴g(a)＝2；
③当0f(x)在区间[0，2]上的最小值为f(2)＝2a，
∴g(a)＝2a∈(0，2)．
∴g(a)＝
因此g(a)的最大值为2.
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的最大值为________，最小值为________．
解析：作出f(x)的图象如图．由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)取最小值为－.所以f(x)的最大值为2，最小值为－.
答案：2 －
求二次函数在闭区间上的最值
[例3] (多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2，3]上有最小值2，最大值5
D．当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
[解析] 函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)在区间[2，3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当01时，由图象(图略)知f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确，故选B、C、D.
[答案] BCD
1．含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再根据a的符号确定抛物线的开口方向，再对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据所给定区间结合二次函数大致图象确定最大或最小值．
2．含参数的二次函数的最值问题有如下几种类型
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．
[跟踪训练]
已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.
(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值．
解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－2，0]时，f(x)在[－2，0]上是减函数，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
(2)当x∈[－2，3]时，f(x)在[－2，3]上先减后增，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.
又|－2－1|>|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.
利用函数的最值解决恒成立问题
[例4] 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝.
(2)法一：依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，
知当x＝1时，y取得最小值3＋a.
所以当3＋a>0即a>－3时，f(x)>0恒成立．
于是实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
所以a>－x2－2x在[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，
因为g(x)＝－x2－2x在[1，＋∞)上为减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝－1－2＝－3，
所以a>－3，
故实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
分离参数法
在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解：若对区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>f(x)max；若对于区间D上的任意x，af(x)成立，则a>f(x)min；若在区间D上存在x使a[跟踪训练]
已知函数f(x)＝ax2－4ax＋b(a>0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2.
(1)求a，b的值；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>－x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝a(x－2)2＋b－4a，
又a>0，∴函数图象开口向上，对称轴x＝2，
∴f(x)在[0，1]上是减函数；
∴f(0)＝b＝1，且f(1)＝b－3a＝－2，∴a＝b＝1.
(2)f(x)>－x＋m x2－4x＋1>－x＋m，
即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
实际应用中的最值问题
[例5] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
[解] (1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，
f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，[f(x)]max＝25 000.
当x>400时，
f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000.
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．
解实际应用问题的5个步骤
(1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系；
(2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数；
(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系；
(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式；
(5)答：回归实际，明确答案，得出结论．
[跟踪训练]
近年来，“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每座城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入资金为x(单位：万元)，两城市的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；
(2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资，才能使公司总收益最大？
解：(1)当x＝128时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元，所以总收益f(128)＝4－6＋×112＋2＝88(万元)．
(2)设甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得解得80≤x≤160.
当80≤x<120时，120<240－x≤160，
f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16.
当120≤x≤160时，80≤240－x≤120，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2
＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88，
当t＝8，即x＝128时，y的最大值为88.
因为88>26＋16，所以当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，公司总收益最大，且最大收益为88万元．
1.函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )
A．f(2)，f(－2)
B．f，f(－1)
C．f，f
D．f，f(0)
解析：选C 根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x＝－时，有最小值f；当x＝时，有最大值f.
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A．10，6 B．10，8
C．8，6 D．以上都不对
解析：选A ∵x∈[1，2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，
f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1，1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，
∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
3．函数f(x)＝kx＋2x＋3k－1，若对于任意x∈[－4，1]，不等式f(x)≤0恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：f(x)＝kx＋2x＋3k－1＝(k＋2)x＋3k－1.由对于任意x∈[－4，1]，不等式f(x)≤0恒成立，可得解得－9≤k≤－.所以实数k的取值范围是.
答案：
4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，
∴f(x)在[1，a]上是减函数．
又∵f(x)的定义域和值域均为[1，a]，
∴即解得a＝2.
(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2，
又∵x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，
∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，
f(x)min＝f(a)＝5－a2，
∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，
总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，
即(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.
又∵a≥2，∴2≤a≤3.
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9函数的表示方法
新课程标准解读 核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用 数学抽象、直观想象
2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 数学抽象、数学运算
第一课时 函数的表示方法
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318 km，设计速度目标值为380 km/h.若京沪高速铁路时速按300 km/h计算，火车行驶x h后，路程为y km，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式；
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
[问题] 根据初中所学知识，说出上述分别是用什么法表示函数的？
知识点 函数的表示方法
1．列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．
2．解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法，这个等式通常叫作函数的解析表达式，简称解析式．
3．图象法：用图象表示两个函数之间函数关系的方法称为图象法．
函数表示的三种方法的优、缺点
所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？
提示：并不是所有的函数都能用解析式表示．事实上，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.
x 1 2 3 4
f(x) 3 2 4 1
答案：1
2．若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝－
3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是________．
解析：法一：令2x＋1＝t，则x＝.
所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
法二：因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
答案：f(x)＝3x＋2
4．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：
(1)甲、乙两人中先到达终点的是________；
(2)乙在这次赛跑中的速度为________ m/s.
解析：(1)由于甲到达终点用了12 s，乙到达终点用了12.5 s，故甲先到达终点．
(2)总路程为100 m，而乙所用的时间为12.5 s，故乙在这次赛跑中的速度为＝8 m/s.
答案：(1)甲 (2)8
函数的表示法
[例1] (链接教科书第106页例1)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解] (1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
函数的三种表示法的选择和应用的注意点
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．
在用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法必须注明函数的定义域；
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
[跟踪训练]
1．已知学校宿舍与办公室相距a m，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍．在这个过程中，这位同学行走的路程是时间的函数，则这个函数图象是( )
解析：选A 由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是递增的，停留2分钟，路程不发生变化，再匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是增加的，只有A符合．故选A.
2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；
当g(f(x))＝2时，x＝________．
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1 1
3．某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．
解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}．
用解析法可将函数y＝f(x)表示为
y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．
用列表法可将函数y＝f(x)表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
用图象法可将函数y＝f(x)表示如图．
函数解析式的求法
角度一 用待定系数法求函数解析式
[例2] (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．
[解] (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴∴
∴f(x)＝x2－2x－1.
待定系数法求函数解析式
已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
角度二 利用换元法(配凑法)求函数解析式
[例3] 求下列函数的解析式：
(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)．
[解] (1)法一(换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴f(x)＝2x－1.
已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的两种方法：
(1)换元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围；
(2)配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．
角度三 用方程组法求函数解析式
[例4] 已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
[解] 因为f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
联立，得
将①、②两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
所以f(x)＝x2－2x.
已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
角度四 赋值法求函数的解析式
[例5] 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
[解] 法一：由已知条件得f(0)＝1，
又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
设y＝x，则f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
所以f(x)＝x2＋x＋1.
法二：令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，
即f(－y)＝1－y(－y＋1)，
将－y用x代换得f(x)＝x2＋x＋1.
利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．赋值法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值．
[跟踪训练]
(1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)；
(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)；
(4)设f(x)是R上的函数，f(0)＝1，并且对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋y(2x＋1)，求f(x)．
解：(1)法一(换元法)：令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
法二(配凑法)：f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，
∴f(x)＝3x－1.
(2)∵f＝x2＋＝＋2，
∴f(x)＝x2＋2(x≠0)．
(3)∵f(x)＋2f＝x，
用代替x得f＋2f(x)＝，
消去f得f(x)＝－(x≠0)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝－(x≠0)．
(4)由已知条件得f(0)＝1，
又f(x＋y)＝f(x)＋y(2x＋1)，
设y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋(－x)(2x＋1)，
∴f(x)＝2x2＋x＋1.
1．已知函数f(x)由下表给出，则满足f[f(x)]>f(3)的x的值为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
A．1或3 B．1或2
C．2 D．3
解析：选A 由表知f(3)＝1，要使f[f(x)]>f(3)，必有f(x)＝1或f(x)＝2，所以x＝3或x＝1.
2．如果f＝，则当x≠0，1时，f(x)等于( )
A. B．
C. D．－1
解析：选B 令＝t，则x＝，代入f＝，则有f(t)＝＝，∴f(x)＝，故选B.
3．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可以是( )
解析：选B 取h＝与h＝H两个位置观察注水量V，知h＝时，水量已经超过，由此可以判断水瓶的下半部分体积大，上半部分体积小．故选B.
4．已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝1，则f(1)＝________，f＝________．
解析：∵f(2)＝f(2×1)＝f(2)＋f(1)，∴f(1)＝0.
又f(1)＝f＝f(2)＋f＝0，∴f＝－1.
答案：0 －1
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8第二课时 分段函数
某村电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．
方案二：不收管理费，每度0.58元．
[问题] (1)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？
(2)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
知识点 分段函数
1．分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数，通常叫作分段函数．
2．分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．
对分段函数的再理解
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；
(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；
(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．
函数y＝是分段函数吗？它是一个函数还是两个函数？
提示：函数y＝是分段函数，它是一个函数．
1．已知f(x)＝则f(－2)＝________．
答案：2
2．函数y＝的定义域为________________，值域为____________．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)
3．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是________(填序号)．
答案：④
分段函数求值问题
[例1] (链接教科书第107页例2)已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(a)＝，求a的值．
[解] (1)因为f＝－2＝－，
所以f＝f＝＝.
(2)f(a)＝，若|a|≤1，则|a－1|－2＝，
得a＝或a＝－.
因为|a|≤1，所以a的值不存在；
若|a|>1，则＝，得a＝±，符合|a|>1.
所以若f(a)＝，a的值为±.
分段函数求值问题的常见解法
(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；
(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验；
(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．
[跟踪训练]
1．f(x)＝则f(5)的值是( )
A．24 B．21
C．18 D．16
解析：选A f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.
2．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：当1－a＜1，即a＞0时，a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)；当1－a＞1，即a＜0时，a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，解得a＝－，符合题意．综上所述，a＝－.
答案：－
3．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是________．
解析：画出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3，1，3，所以当f(x)＞f(1)时，必有x∈(－3，1)∪(3，＋∞)．
答案：(－3，1)∪(3，＋∞)
分段函数的图象及应用
[例2] 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．
(1)y＝
(2)y＝
[解] 各函数对应图象如图所示：
由图象知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；
(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]．
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象；
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[跟踪训练]
1．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是( )
解析：选C 函数f(x)＝|x|sgn x＝故函数f(x)＝|x|sgn x的图象为y＝x所在的直线，故选C.
2．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________．
解析：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
故y＝
根据函数解析式作出函数图象，如图所示．
由图象可以看出，函数的值域为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
分段函数的应用问题
[例3] (链接教科书第107页例3)依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为
个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数． ①
应纳税所得额的计算公式为
应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除． ②
其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60 000元．税率与速算扣除数见下表
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率(%) 速算扣除数
1 [0，36 000] 3 0
2 (36 000，144 000] 10 2 520
3 (144 000，300 000] 20 16 920
4 (300 000，420 000] 25 31 920
5 (420 000，660 000] 30 52 920
6 (660 000，960 000] 35 85 920
7 (960 000，＋∞) 45 181 920
(1)设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y＝f(t)，并画出图象；
(2)小王全年综合所得收入额为189 600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52 800元，依法确定其他扣除是4 560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
[解] (1)根据表格，可得函数y＝f(t)的解析式为
y＝(*)
函数图象如图所示．
(2)根据②，小王全年应纳税所得额为
t＝189 600－60 000－189 600(8%＋2%＋1%＋9%)－52 800－4 560
＝0.8×189 600－117 360
＝34 320.
将t的值代入(*)，得
y＝0.03×34 320＝1 029.6.
所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1 029.6元．
分段函数应用问题的两个关注点
(1)应用情境：日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数；
(2)注意问题：求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理．
[跟踪训练]
某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3 000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且C(x)＝若每台售价1 000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．
(1)求制造商所获月利润L(x)(元)关于月产量x(台)的函数关系式；
(2)当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．
解：(1)当0＜x＜40时，L(x)＝1 000x－10x2－400x－3 000＝－10x2＋600x－3 000；
当40≤x≤100时，L(x)＝1 000x－1 004x－＋9 800－3 000＝6 800－.
所以L(x)＝
(2)①当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－30)2＋6 000，
所以当x＝30时，L(x)max＝L(30)＝6 000.
②当40≤x≤100时，L(x)＝6 800－≤6 800－2 ＝6 400，当且仅当4x＝，即x＝50时取等号．
因为6 400＞6 000，所以x＝50时，L(x)最大．
故月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6 400元．
1．函数y＝的图象的大致形状是( )
解析：选A 因为y＝＝所以函数的图象为选项A.
2．已知f(x)＝则f(3)为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，f(5)＝f(5＋2)＝f(7)．∵f(7)＝7－5＝2，故f(3)＝2.
3．如图，底角∠ABE＝45°的直角梯形ABCD，底边BC长为4 cm，腰长AB为2 cm，当一条垂直于底边BC的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BE＝x，试写出阴影部分的面积y与x的函数关系式，并画出函数的大致图象．
解：根据题意得，当直线l从点B移动到点A时，0≤x≤2，y＝x2；
当直线l从点A移动到点D时，2y＝×2×2＋(x－2)×2，即y＝2x－2.
所以阴影部分的面积y与x的函数关系式为
y＝函数图象如图所示：
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8第二课时 函数的图象
如图为某市一天24小时内的气温变化图．
[问题] (1)上午6时的气温约是多少？全天的最高气温、最低气温分别是多少？
(2)在什么时刻，气温为0 ℃？
(3)在什么时段内，气温在0 ℃以上？
知识点 函数的图象
1．将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
2．作图、识图与用图
(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线；
(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－.
1．函数的图象是由一系列点形成的点集，故函数的图象可以是一条完整的曲线，也可能是某条曲线的一部分，也可能是几段曲线组成或是几个孤立的点．因此作函数的图象尤其需要关注函数的定义域．
2．函数图象上每一点的纵坐标y＝f(x0)，即横坐标为x0时的相应函数值．
3．每一个函数都有其相应的图象，但并不是每一个图象都能表示一个函数．
函数的图象是否可以关于x轴对称？
提示：不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义．
1．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
解析：选C 由函数的定义知选C.
2．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
解析：选D 由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
3.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 由题意知，f(3)＝1，所以f ＝f(1)＝2.
4．函数y＝x＋1，x∈Z，且|x|<2的图象是________．(填序号)
解析：由题意知，函数的定义域是{－1，0，1}，值域是{0，1，2}，函数的图象是三个点，故③正确．
答案：③
函数图象的画法
[例1] (链接教科书第102页例4)作出下列函数的图象并求出其值域：
(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]．
[解] (1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]．
(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．
(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．
由图可得函数的值域是[－1，8]．
画函数图象的两种常见方法
(1)描点法：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．
[跟踪训练]
作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：
(1)
x －4 －2 2 4
y 1 －3 2 3
(2)y＝－，x∈[－3，0)∪(0，1]；
(3)y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]．
解：(1)该函数的图象如图①所示，由图可知值域为{－3，1，2，3}．
(2)作出函数y＝－，x∈[－3，0)∪(0，1]的图象，如图②所示，
由图象可知值域为(－∞，－4]∪.
(3)作出函数y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的图象，如图③所示，由图象可知值域为[－3，1]．
利用函数图象求值或比较大小
[例2] (链接教科书第102页例6)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1.
(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)已知f＝1，不计算函数值求f(0)；
(3)不直接计算函数值，试比较f与f的大小．
[解] f(x)＝3x2＋2x＋1＝3＋.
(1)顶点坐标为，对称轴是x＝－.
(2)∵f＝1，又＝，
＝，
所以结合二次函数的对称性可知
f(0)＝f＝1.
(3)由f(x)＝3＋知二次函数图象开口向上，且对称轴为x＝－，所以离对称轴越近，函数值越小．
又<，
∴f1．求二次函数图象的对称轴、顶点坐标及最值主要利用配方法，掌握抛物线的顶点坐标.
2．比较两个函数值的大小，可以把要比较的两个函数值转化到同一个单调区间上，再利用单调性比较它们的大小；也可以比较两个自变量离对称轴距离的大小关系，结合图象判断函数值的大小关系．
[跟踪训练]
已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象；
(2)求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；
(3)x为何值时，y>0，y＝0，y<0
解：(1)配方，得y＝2(x－1)2－8.
∵a＝2>0，
∴函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．
列表：
x －1 0 1 2 3
y 0 －6 －8 －6 0
描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示：
(2)由图象得，函数图象与x轴的交点坐标为A(－1，0)，B(3，0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6)．
S△ABC＝|AB|·|OC|＝×4×6＝12.
(3)由函数图象知，当x<－1或x>3时，y>0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1利用函数图象求值域
[例3] 如果函数f(x)＝(x－1)2＋1定义在区间[t，t＋1]上，求f(x)的值域．
[解] 函数f(x)＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1，1)，图象开口向上．
如图(1)所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有t>1，此时，当x＝t时，函数值最小，f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2，当x＝t＋1时，函数值最大，f(t＋1)＝t2＋1.
∴函数的值域为[t2－2t＋2，t2＋1]．
如图(2)所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]上时，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数的最小值为f(1)＝1，当≤t≤1时，最大值为f(t＋1)＝t2＋1，∴函数的值域为[1，t2＋1]；当0≤t<时，f(x)在[t，t＋1]上的值域为[1，t2－2t＋2]．
如图(3)所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧时，有t＋1<1，即t<0.当x＝t＋1，函数的最小值为f(t＋1)＝t2＋1，最大值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上：当t>1时，函数f(x)的值域为[t2－2t＋2，t2＋1]；
当≤t≤1时，函数f(x)的值域为[1，t2＋1]；当0≤t<时，函数f(x)的值域为[1，t2－2t＋2]．
当t<0时，函数f(x)的值域为[t2＋1，t2－2t＋2]．
求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的值域的步骤：
(1)配方，找对称轴；
(2)判断对称轴与区间的关系；
(3)借助图象求值域．
[跟踪训练]
求二次函数y＝－x2＋4x－2在区间[0，3]上的值域．
解：函数y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x＝2，顶点坐标为(2，2)，且其图象开口向下，f(2)＝2，f(0)＝－2，
所以函数的值域为[－2，2]．
函数图象的变换
1．函数图象的平移变换
函数y＝f(x)的图象与y＝f(x＋a)及y＝f(x)＋a(a≠0)的图象有怎样的关系呢？我们先来看一个例子：
作出函数y＝x2，y＝(x＋1)2，y＝x2－1的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中，它们的图象如图所示．
观察图象可知，y＝(x＋1)2的图象可由y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到；y＝x2－1的图象可由y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到．
由此得到如下规律：
(1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“左加右减”；
(2)函数y＝f(x)＋a的图象是由函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“上加下减”．
2．函数图象的对称变换
函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)，y＝－f(x)及y＝－f(－x)的图象又有怎样的关系呢？我们来看一个例子：
作出函数y＝，y＝，y＝，y＝－的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中作出①y＝，②y＝，③y＝与④y＝的图象的一部分，如图所示．
观察图象可知，y＝的图象可由y＝的图象作关于y轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于x轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于原点的对称变换得到．
由此可得如下规律：
函数图象的对称变换包括以下内容：
(1)y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于y轴的对称变换得到；
(2)y＝－f(x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于x轴的对称变换得到；
(3)y＝－f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于原点的对称变换得到．
3．函数图象的翻折变换
函数图象的翻折变换是指函数y＝f(x)与y＝|f(x)|，y＝f(|x|)的图象间的关系．
函数y＝f(x)的图象与y＝|f(x)|及y＝f(|x|)的图象又有怎样的关系呢？我们再来看一个例子：
作出函数y＝|x2－2x－3|及y＝x2－2|x|－3的图象，观察它们与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系．
事实上，y＝|x2－2x－3|＝
y＝x2－2|x|－3＝
在不同的平面直角坐标系中，分别作出y＝|x2－2x－3|与y＝x2－2|x|－3的图象，如图①②所示．
通过观察两个图象可知，y＝|x2－2x－3|的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到y＝|x2－2x－3|的图象．y＝x2－2|x|－3的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在y轴上及其右侧的部分不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象，则这两部分就构成了y＝x2－2|x|－3的图象．
由此可得如下规律：
(1)要作y＝|f(x)|的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将x轴上及其上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可；
(2)要作y＝f(|x|)的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将y轴上及其右侧的图象不动，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可．
1．如果一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限，那么( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
解析：选B 作出函数图象，由图象可以看出：y随x的增大而增大，所以k>0；直线与y轴的交点在负半轴上，所以b<0.
2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝(k≠0)图象上的两个点，当x1y2，那么一次函数y＝kx－k的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 当x1y2，可判定k>0，所以－k<0，即可判定一次函数y＝kx－k的图象经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限，故选B.
3．函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位长度，得函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________．
解析：y＝x2－1的图象向上平移2个单位长度，得函数y＝x2＋1的图象，即m－2＝－1，则m＝1.
答案：1
4．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．
解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．
(2)由图知值域为[－2，2]．
(3)由图知：p∈(0，2]时，只有唯一的m值与之对应．
5．用平移图象的方式作出y＝2＋的图象，并说明函数y＝2＋的值域．
解：
从图象可以看出y＝2＋的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
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9函数的概念和图象
新课程标准解读 核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 数学抽象
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 数学抽象
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数学运算
第一课时 函数的概念
微信是即时聊天工具，通过微信，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，省钱、快捷、方便，可以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等，通过微信，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在微信成了我们生活不可缺少的一部分．大部分同学都有微信号，这样微信号与同学之间就有对应关系，即微信号(可能不止一个)对应唯一一位同学．在数学领域也有类似的对应问题，即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个)．
[问题] 你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？
知识点一 函数的有关概念
1．定义：给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．
2．记法：y＝f(x)，x∈A.
3．定义域：叫作自变量，集合叫作函数的定义域．
4．值域：若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．
对函数概念的3点说明
(1)当A，B为非空数集时，符号f：A→B表示从集合A到集合B的一个函数；
(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性；
(3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
1．有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
提示：这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
2．f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
1．下图中能表示函数关系的是________．
解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．
答案：①②④
2．函数f(x)＝的定义域是________．
解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．
答案：{x|x<4}
3．已知f(x)＝x2＋1，则f(－1)＝________．
解析：∵f(x)＝x2＋1，∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2.
答案：2
知识点二 同一个函数
由函数定义还可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数．
1．函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．
2．定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是________(填序号)．
①f(x)＝x，g(x)＝；
②f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1；
③f(x)＝x，g(x)＝.
解析：①两函数的定义域不同，f(x)与g(x)不是同一个函数；②两函数的解析式不同(对应关系不同)，f(x)与g(x)不是同一个函数；③f(x)与g(x)不但定义域相同，而且对应关系也相同，故f(x)与g(x)是同一个函数．
答案：③
函数概念的辨析
[例1] (多选)(链接教科书第99页例1)下列对应关系是实数集R上的函数的是( )
A．f：把x对应到3x＋1 B．g：把x对应到|x|＋1
C．h：把x对应到 D．r：把x对应到
[解析] A是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任一x∈R，3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如x＝－1，则3x＋1＝－2与之对应；
同理B也是实数集R上的一个函数；
C不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，的值不存在；
D不是实数集R上的函数．因为当x<0时，的值不存在．
[答案] AB
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集；
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．根据图形判断是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
[跟踪训练]
(多选)下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B的函数关系的是( )
A．A＝{1，4}，B＝{－1, 1，－2, 2}，对应关系：开平方
B．A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，对应关系：
x 0 1 2
y 1 2 1
C.A＝[0，2]，B＝[0，1]，对应关系如图所示：
D．A＝R，B＝{1，0}， x∈A，y∈B，对应关系为：当x为有理数时，对应的y为1，当x为无理数时，对应的y为0
答案：AC
同一个函数的判定
[例2] (多选)(链接教科书第105页习题4题)下列式子表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝|x|，φ(t)＝
B．y＝，y＝()2
C．y＝·，y＝
D．y＝，y＝x－3
[解析] A：f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一个函数；
B：y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是同一个函数；
C：y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是同一个函数；
D：∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝与y＝x－3不是同一个函数．
[答案] AC
判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤
[注意] (1)在化简解析式时，必须是等价变形；
(2)与用哪个字母表示无关．
[跟踪训练]
1．给出下列三个说法：①f(x)＝x0与g(x)＝1是同一个函数；②y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R可能是同一个函数；③y＝f(x)，x∈R与y＝f(t)，t∈R是同一个函数．其中正确的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B ①错误．函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)＝1的定义域是R，不是同一个函数；②正确．y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的个数有2个．
2．下列各组函数中是同一个函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2
解析：选B 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数.
函数的定义域
[例3] (链接教科书第99页例2)求下列函数的定义域：
(1)y＝－；(2)y＝.
[解] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1，且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[跟踪训练]
求下列函数的定义域：
(1)y＝2＋；
(2)y＝·；
(3)y＝(x－1)0＋ .
解：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(3)函数有意义，当且仅当
解得x>－1，且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}.
求函数值和值域
[例4] (1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．
(2)求下列函数的值域：
①f(x)＝2x2－x，x∈{1，2，3}；
②f(x)＝x2－2x；
③f(x)＝2x＋1，x∈[1，2)．
④y＝；
⑤y＝2x－.
(1)[解析] ∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝＝.
[答案]
(2)[解] ①函数的定义域为{1，2，3}，
因为f(1)＝2×12－1＝1，f(2)＝2×22－2＝6，f(3)＝2×32－3＝15.
所以该函数的值域为{1，6，15}．
②函数的定义域为R，
因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以该函数的值域为[－1，＋∞)．
③函数的定义域为[1，2)，
3≤2x＋1<5，
所以该函数的值域为[3，5)．
④y＝＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
⑤令t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，
所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域常用的4种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________．
解析：因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1.
又因为f(a)＝3，所以－1＝3，a＝16.
答案：16
2．求下列函数的值域：
(1)y＝＋1；(2)y＝.
解：(1)因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)因为y＝＝－1＋，
又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，
所以0<≤2，则y∈(－1，1]．
所以所求函数的值域为(－1，1]．
抽象函数与复合函数
一、概念
1．抽象函数的概念
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
2．复合函数的概念
若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数．
[说明] 由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．
二、抽象函数与复合函数的定义域
理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；
(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；
(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；
(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．
三、应用
1．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域
[例1] 已知函数f(x)＝，则函数f(3x－2)的定义域为( )
A. B．
C．[－3，1] D．
[思路点拨] 解题的关键是求出函数y＝f(x)中x的范围，这个范围即为3x－2的范围，建立不等式求出自变量x的范围即可．
[解析] 由－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，
即函数f(x)的定义域为[－1，3]．
由－1≤3x－2≤3，解得≤x≤，
则函数f(3x－2)的定义域为.
[答案] A
2．已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域
[例2] 已知f(x2－1)定义域为[0，3]，则f(x)的定义域为________．
[思路点拨] 定义域是指自变量的取值范围，则f(x2－1)中x∈[0，3]，求出x2－1的范围，这个范围即为f(x)的定义域．
[解析] 根据f(x2－1)定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，
∴x2∈[0，9]，∴x2－1∈[－1，8]．
故f(x)的定义域为[－1，8]．
[答案] [－1，8]
3．已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域
[例3] 若函数f(x＋1)的定义域为，则函数f(x－1)的定义域为________．
[解析] 由题意知－≤x≤2，则≤x＋1≤3，即f(x)的定义域为，∴≤x－1≤3，解得≤x≤4.故f(x－1)的定义域是.
[答案]
4．求运算型抽象函数(由有限个抽象函数经四则运算得到的函数)的定义域
[例4] 已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m>0)的定义域．
[思路点拨] 由f(x)的定义域为[0，1]可知对应关系f作用的范围为[0，1]，而f(x＋m)＋f(x－m)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x＋m，x－m都在[0，1]这个区间内，从而使f(x＋m)＋f(x－m)有意义．
[解] 由题意得
∵m>0，∴－m①若m＝1－m，即m＝，则x＝m＝；
②若m<1－m，即0③若m>1－m，即m>，则x∈ ，与题意不符，故m不可能大于.
综上所述，当01．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：选D 由题意可知解得0≤x≤1.
2．(多选)(2021·扬州大学附属中学月考)下列图形中，表示函数图象的是( )
解析：选AB 根据函数的定义，可知A、B是函数图象；C、D不是．
3．函数f(x)＝x＋1，x∈{－1，0，1}的值域为________，函数g(x)＝x＋1，x∈[－1，1]的值域为________．
解析：∵f(－1)＝0，f(0)＝1，f(1)＝2，
∴函数f(x)的值域为{0，1，2}．
又－1≤x≤1，∴0≤x＋1≤2，
∴函数g(x)的值域为[0，2]．
答案：{0，1，2} [0，2]
4．已知函数f(x)＝x2－mx＋n，且f(1)＝－1，f(n)＝m，则f[f(－1)]＝________，f[f(x)]＝________．
解析：由题意知解得
所以f(x)＝x2－x－1，故f(－1)＝1.
f(f(－1))＝－1，
f(f(x))＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1.
答案：－1 x4－2x3－2x2＋3x＋1
5．(2021·无锡市高一月考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5的定义域和值域都是[1，a]，则a＝________．
解析：因为f(x)＝(x－a)2＋5－a2，且f(x)的定义域和值域均为[1，a]，f(x)的对称轴为x＝a，所以f(x)在[1，a]函数图象如图所示．
所以即解得a＝2.
答案：2
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