从函数观点看一元二次不等式
第一课时 解一元二次不等式
某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5 000册．
[问题] 要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
知识点一 一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式不等式，称为一元二次不等式．
对一元二次不等式的再理解
(1)一元：即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)；
(2)二次：即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
1．不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？
提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
2．一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
提示：不可以，若a＝0，就不是二次不等式了．
下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)
答案：②④
知识点二 一元二次不等式的解法
1．图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
(1)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(2)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；
(3)由图象得出不等式的解集．
2．代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．
当m
0，则可得x>n或x1．在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．
2．当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转化为－a再进行求解．
1．ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R，则a，b，c应当满足的关系式？
提示：Δ＝b2－4ac<0.
2．ax2＋bx＋c<0(a<0)的解集为R，则a，b，c应当满足的关系式？
提示：Δ＝b2－4ac<0.
解下列一元二次不等式：
(1) x2－2x＋3>0；
(2)－x2－3x＋4>0；
(3)(x－a)(x－a＋1)<0.
答案：(1)R (2){x|－4知识点三 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 (x1，x2)
1．函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．
2．方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？
提示：R，.
1．不等式x(x－2)>0的解集为________，不等式x(x－2)<0的解集为________．
答案：{x|x<0或x>2} {x|02．已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1答案：4
不含参数的一元二次不等式的解法
[例1] (链接教科书第61页例1)解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2＋4x＋1>0.
[解] (1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，
作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．
由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，
作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.
(3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示．
由图可得原不等式的解集为.
解不含参数的一元二次不等式的方法
方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集；
方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得；
方法三：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．
[跟踪训练]
1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是( )
A．{x|x<－1} B.
C. D．
解析：选D 不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25>0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是，故选D.
2．解不等式：－2解：原不等式等价于不等式组
不等式①可化为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1.
不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.
故原不等式的解集{x|－2≤x<1或2含参数的一元二次不等式的解法
[例2] (1)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0；
(2)已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.
②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1.
③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0.
若a＝1，即＝1时，不等式无解；
若a>1，即<1时，解得若01时，解得1综上可知，当a<0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
(2)①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；
②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒成立，得解得1综合①②得，实数m的取值范围为{m|1≤m＜19}．
1．含参一元二次不等式的解法
2．一元二次不等式在R上的恒成立问题
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
[注意] 当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，且f(x)≤0的解集为[－1，2]．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式mf(x)>2(x－m－1)(m≥0)．
解：(1)因为f(x)≤0的解集为[－1，2]，所以x2＋bx＋c＝0的根为－1，2，
所以－b＝1，c＝－2，即b＝－1，c＝－2，所以f(x)＝x2－x－2.
(2)mf(x)>2(x－m－1)，即m(x2－x－2)>2(x－m－1)，整理，得(mx－2)(x－1)>0，
所以当m＝0时，不等式的解集为(－∞，1)；
当0当m＝2时，不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)；
当m>2时，不等式的解集为∪(1，＋∞).
“三个二次”关系的应用
[例3] (多选)(2021·靖江中学月考)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( )
A．a>0 B．b>0
C．c>0 D．a＋b＋c>0
[解析] 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；由题意可知当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，故D正确，故选B、C、D.
[答案] BCD
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集；
(2)求解步骤
①明确解题方向：如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值；
②审条件——挖掘题目信息：利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c；
③建联系——找解题突破口：由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集．
[跟踪训练]
若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2解析：选B 因为不等式的解集为{x|－21．“m<1”是“函数f(x)＝x2＋x＋m有零点的”( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选C ∵函数f(x)＝x2＋x＋m有零点，
∴方程x2＋x＋m＝0有解，则Δ＝1－4m≥0，
解得m≤，
由于m≤ m<1，m<1 m≤，
∴“m<1”是“函数f(x)＝x2＋x＋m有零点”的必要不充分条件．
2．不等式2x2＋x－15<0的解集为________．
解析：由2x2＋x－15＝(2x－5)(x＋3)<0，得－3答案：
3．已知f(x)＝(x－a)(x－2)．
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)解关于x的不等式f(x)<0.
解：(1)a＝1时，不等式f(x)>0化为(x－1)(x－2)>0，
解得x<1或x>2，
∴不等式的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
(2)关于x的不等式f(x)<0，即(x－a)(x－2)<0；
当a＝2时，不等式化为(x－2)2<0，不等式无解；
当a>2时，解不等式(x－a)(x－2)<0，得2当a<2时，解不等式(x－a)(x－2)<0，得a综上所述，a＝2时，不等式无解，a>2时，不等式的解集为(2，a)，a<2时，不等式的解集为(a，2)．
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8第二课时 一元二次不等式的应用与拓展(习题课)
分式不等式的解法
[例1] 解下列不等式：
(1)<0；(2)≤1.
[解] (1)<0 (x－3)(x＋2)<0 －2∴原不等式的解集为{x|－2(2)∵≤1，
∴－1≤0，
∴≤0，
即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
[跟踪训练]
解下列不等式：(1)≥0；(2)<3.
解：(1)根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.
即原不等式的解集为{x|x≤－1，或x>3}．
(2)不等式<3可改写为－3<0，
即<0.
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，
解得－1所以原不等式的解集为{x|－1一元二次不等式的实际应用问题
[例2] (链接教科书第62页例2、例3)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解] (1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组，得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.
解不等式应用题的步骤
[跟踪训练]
如图所示，某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3 m，AD＝2 m.
要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内？
解：设DN的长为x(x>0)m，则AN的长为(x＋2)m.
因为＝，所以AM＝，
所以S矩形AMPN＝AN·AM＝.
由S矩形AMPN>32，得>32.
又x>0，得3x2－20x＋12>0，
解得06.
即DN的长的取值范围是.
一元二次不等式的恒成立问题
[例3] 已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．
[解] 设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则
(1)当对称轴x＝－<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.
综上，a的取值范围为－7≤a≤2.
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范围．
解：若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥2恒成立可转化为：
当－2≤x≤2时，ymin≥2
或
或
解得a的取值范围为－5≤x≤－2＋2.
2．(变条件)将本例中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围．
解：法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，
∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，
∴Δ＝4－4(a2－3)<0，
解得a>2或a<－2.
法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a满足ymin＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，
即a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2.
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
[跟踪训练]
1．(2021·海门第一中学月考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m> B．0C．m>0 D．m>1
解析：选C 若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.
2．若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：(1)若a2－1＝0，则a＝±1，
当a＝1时，原不等式即为－1<0，解集为R.
当a＝－1时，原不等式即为2x－1<0，解集为，与题意不符．
(2)若a≠±1，则当时，不等式解集为R，解得－综上，实数a的取值范围是.
答案：
1．(2021·兴化中学月考)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是( )
A．m<－2或m≥2 B．－2C．－2解析：选C ∵不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，∴(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，当m－2＝0，即m＝2时，不等式为－4<0，显然成立；
当m－2≠0，即m≠2时，应满足
解得－2综上，－22．不等式>0的解集为________．
解析：原式可转化为(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)>0，根据数轴穿根法，解集为－4－1.
答案：{x|－4－1}
3．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制订这批台灯的销售价格？
解：设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制订这批台灯的销售价格为15≤x<20.
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5从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
新课程标准解读 核心素养
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系 数学抽象、直观想象、逻辑推理
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集 数学抽象、数学运算
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 直观想象、数学建模
3．3.1 从函数观点看一元二次方程
函数与方程有着一定的联系，如一次函数y＝ax＋b与一元一次方程ax＋b＝0之间关系的探究：
a>0 a<0
一次函数y＝ax＋b的图象
一元一次方程ax＋b＝0的根 有一个实数根 有一个实数根
发现一次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应方程的解．
[问题] 你能否对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴交点的横坐标和对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解建立联系？
知识点一 二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．
函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程的实数根．
函数y＝x2－3x＋2的零点是________．
解析：由x2－3x＋2＝0得x1＝1，x2＝2，故函数y＝x2－3x＋2的零点为1和2.
答案：1和2
知识点二 一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系
当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示：
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点
1．从代数角度思考，函数的零点如何求？
提示：直接解函数对应的方程，它的相异的实数根就是函数的零点．
2．从函数的图象看，函数的零点如何求？
提示：从函数的图象看，函数的图象与x轴交点的横坐标，就是相应函数的零点．
1．函数y＝(x－1)(x2＋x－2)的零点是________．
答案：1，－2
2．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________．
解析：由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2.
答案：2
二次函数的零点
[例1] (链接教科书第59页例1、例2)(1)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为________；
(2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是________．
[解析] (1)由x2－7x＋12＝0得x1＝3，x2＝4.
所以函数y＝x2－7x＋12的零点为3和4.
(2)由题图可知函数y1＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与对应方程根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，即a＝5，b＝－6.所以y2＝－6x2－5x－1，易得y2＝－6x2－5x－1的零点为－和－.
[答案] (1)3和4 (2)－和－
二次函数零点的求法
(1)代数法：求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根，即为函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点；
(2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，利用函数的性质求零点．
[跟踪训练]
求下列函数的零点．
(1)y＝3x2－2x－1；
(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；
(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．
解：(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－.
(2)①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1.
②当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1，
又－(－1)＝.
当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1.
当a≠－且a≠0时，x1≠x2，
函数有两个零点－1和.
综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1.
当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和.
(3)由图象可知，函数有两个零点－1和3.
函数的零点个数的判断与证明
[例2] 若a>2，求证： 函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．
[证明] 因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，
又a>2，所以Δ>0，
所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．
[母题探究]
(变设问)求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．
解：因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点．
当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解．函数无零点．
当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．
所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0.
即或
解得a≥2或a≤－2，又a≠2所以a>2或a≤－2，
所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件为a>2或a≤－2.
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数的判断
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac.
(1)Δ>0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点；
(2)Δ＝0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点；
(3)Δ<0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．
[跟踪训练]
求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．
证明：当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0；
当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点．
综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点.
二次函数零点的分布探究
[例3] (1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点；
(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．
[解] (1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2，所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零点．
(2)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数，
所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个正实数根．显然a≠2.
由一元二次方程的根与系数的关系得即
所以a≤－2，
即实数a的取值范围是(－∞，－2]．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)零点的分布探究
结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理：
(1) 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点；
(2) 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点；
(3)x1x2<0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点．
[跟踪训练]
已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．
(1)若该函数有两个不相等的正零点，求a的取值范围；
(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求a的取值范围．
解：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a，
(1)因为该函数有两个不相等的正零点，所以
解得0所以a的取值范围是∪.
(2)因为函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，
所以或
解得a>1或a<0.
所以a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
1．已知：p：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根，q：ac<－1，则p是q的________条件．
解析：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根 x1x2＝<0 ac<0，所以p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．讨论函数y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．
解：当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则函数的零点为2；
当a＝时，则(x－2)＝0，
解得x1＝x2＝2，则函数的零点为2；
当a≠0且a≠时，由(ax－1)(x－2)＝0，
解得x1＝，x2＝2，则函数的零点为和2.
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6基本不等式 ≤(a，b≥0)
3．2.1 基本不等式的证明
3．2.2 基本不等式的应用
新课程标准解读 核心素养
1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立) 逻辑推理
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 数学建模
某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑．
[问题] 你认为顾客的质疑有道理吗？
知识点一 基本不等式与重要不等式
1．算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
2．基本不等式
如果a，b是正数，那么(当且仅当a＝b时，等号成立)．
3．重要不等式
当a，b∈R时，ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)；ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．
1．不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)；
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．
2．基本不等式的常见变形
(1)a＋b≥2；
(2)ab≤≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)．
1．基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
2．基本不等式成立的条件“a>0，b>0”能省略吗？请举例说明．
提示：不能，如≥是不成立的．
1．(多选)下列结论正确的是( )
A．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立
B．若a，b同号，则＋≥2
C．若a>0，b>0，则ab≤恒成立
D．若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2
答案：BD
2．判断下列两个推导过程是否正确：
(1)∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4；
(2)∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－≤－2 ＝－2.
解：(1)由于a∈R，a≠0，不符合基本不等式的使用条件，故(1)的推导是错误的．
(2)由xy<0，知，均为负数，在推导过程中，将其转变为正数－，－后，符合基本不等式的使用条件，故(2)的推导正确．
知识点二 基本不等式与最值
对于正数a，b，在运用基本不等式时，应注意：
(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值；
(2)取等号的条件.
利用基本不等式求最值要牢记：“一正”“二定”“三相等”
(1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的结果；
(2)“二定”，即含变量的各项的和或积必须是定值(常数)．如果要求a＋b的最小值，那么ab必须是定值；要求ab的最大值，a＋b必须是定值；
(3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值．
x＋的最小值是2吗？
提示：当x>0时，x＋的最小值是2.
当x<0时，x＋没有最小值．
1．已知0A. B．
C. D．
解析：选A ∵00，
∴x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．
故当x＝时，x(3－3x)取得最大值．
2．(2021·德州一中月考)设x>0，则y＝3－3x－的最大值为________．
解析：∵x>0，∴3x＋≥2，
∴－≤－2，
∴y＝3－3x－≤3－2，
当且仅当3x＝，即x＝时等号成立．
故y有最大值为3－2.
答案：3－2
利用基本不等式证明不等式
[例1] (链接教科书第53页例1)已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
[证明] 因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，求证：＋＋≥9.
证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
所以＋＋
＝＋＋
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用．
[跟踪训练]
(2021·镇江高一质检)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥10.
证明：因为a，b，c都为正实数，
所以＋＋
＝＋＋
＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
所以＋＋≥10.
利用基本不等式求最值
[例2] (链接教科书第54页例2)(1)已知x>2，则x＋的最小值为________；
(2)若0(3)若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________．
[解析] (1)因为x>2，
所以x－2>0，
所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
所以x＋的最小值为6.
(2)因为0所以1－2x>0，
所以x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时，等号成立，
所以x(1－2x)的最大值为.
(3)因为x＞0，y＞0，x＋4y＝1，
所以＋＝＋＝5＋＋≥5＋2 ＝9，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
[答案] (1)6 (2) (3)9
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．
(1)拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件；
(2)并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；
(3)配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
[跟踪训练]
1．(多选)设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝2，那么( )
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最小值(＋1)2
C．ab有最小值4＋2
D．ab有最大值4＋2
解析：选AC 因为ab－(a＋b)＝2，故ab＝(a＋b)＋2且(a＋b)＋2≤，
整理得到(a＋b)2－4(a＋b)－8≥0，故a＋b≥2＋2或a＋b≤2－2(舍去)，
当且仅当a＝b＝1＋时等号成立，
故a＋b有最小值2＋2，所以ab有最小值4＋2，故选A、C.
2．(2021·苏州高一质检)已知a，b为正实数，且ab＋a＋3b＝9，则a＋3b的最小值为_________．
解析：∵a>0，b>0，∴9＝ab＋a＋3b＝a·3b＋(a＋3b)≤(a＋3b)2＋(a＋3b)．
(a＋3b＋18)(a＋3b－6)≥0，∴a＋3b≥6，当且仅当a＝3b，即a＝3，b＝1时等号成立．
答案：6
利用基本不等式解应用题
[例3] (链接教科书第55页例4)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
[解] 设隔墙的长度为x m，总造价的函数为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，
池底造价为200×80＝16 000元，
四周围墙造价为×400＝800×元．
因此，总造价为
y＝496x＋800＋16 000(0＜x＜50)
＝1 296x＋＋16 000
≥2 ＋16 000
＝28 800＋16 000
＝44 800.
当且仅当1 296x＝，即x＝时，等号成立．这时，污水池的长为18 m.
故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元．
求实际问题中最值的解题4步骤
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出等量关系式；
(2)把实际问题抽象成符合基本不等式的最大值或最小值问题；
(3)利用基本不等式求最值；
(4)正确写出答案．
[跟踪训练]
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5 8
2．(2021·扬州中学高一月考)某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1＝(0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用)
(1)求y2的表达式；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值．
解：(1)依题意，当x＝0时，y1＝6，∴6＝，∴k＝30.
故y1＝，y2＝4x＋×15＋10＝4x＋＋10(0≤x≤10)．
(2)y2＝4x＋＋10＝(4x＋10)＋＝2(2x＋5)＋≥2 ＝60，
当且仅当2(2x＋5)＝，即x＝5时，y2取得最小值，最小值为60，
∴隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元．
基本不等式的拓广应用
二元基本不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立．
证明：因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，所以(a＋b)2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立．
三元基本不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．
证明：设d为正数，由二元基本不等式，
得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立．
令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，
由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．
[问题探究]
1．当满足什么条件时，可以利用三元基本不等式求的最小值？
提示：当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元基本不等式求的最小值．
2．利用上述结论证明：已知a，b，c均为正实数，求证：(a＋b＋c)·≥9.
提示：∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3>0，＋＋≥3>0，
∴(a＋b＋c)·≥3·3＝9.
[迁移应用]
已知某轮船速度为每小时10千米时，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和最小．
解：设船速为v千米/小时，燃料费为A元/小时．则依题意有A＝k·v3，且有30＝k·103，∴k＝.
∴A＝v3.
设每千米的航行费用为R，则需时间为小时，
∴R＝＝v2＋＝v2＋＋≥3＝36.
当且仅当v2＝，
即v＝20时取最小值．
∴轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
解析：选D a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞b＞＞ B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞ D．a＞＞＞b
解析：选B a＝＞＞＞＝b，因此B项正确．
3．已知x<0，则x＋－2有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：选C ∵x＜0，
∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，
当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
4．(多选)下列各选项中y的最大值为的是( )
A．y＝x2＋
B．y＝x， x∈[0, 1]
C．y＝
D．y＝x＋， x>－2
解析：选BC 对于A, y＝x2＋≥2＝；
对于B, y＝x＝≤＝；
对于C, y＝＝≤；
对于D, y＝x＋＝x＋2＋－2≥4－2＝2.
5．已知x＞0，y＞0，＋＝1，则x＋y的最小值为________．
解析：∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)
＝1＋＋＋9＝＋＋10，
又∵x＞0，y＞0，
∴＋＋10≥2 ＋10＝16，
当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．
由得
即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.
答案：16
PAGE
11不等式的基本性质
新课程标准解读 核心素养
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 逻辑推理
在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜．
[问题] 能否用不等式来表示这一现象？
知识点一 实数大小比较的基本事实
1．文字叙述
(1)当a－b为正数时，称a>b；
(2)当a－b为时，称a＝b；
(3)当a－b为负数时，称a2．符号表示
(1)a>b a－b>0；
(2)a＝b a－b＝0；
(3)a1．在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
提示：是．
2．p q的含义是什么？
提示：p q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．
已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P≥Q
C．P解析：选A P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2a－2b－2c＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0.
∵a，b，c不全相等，∴P－Q>0，∴P>Q.
知识点二 等式与不等式的性质
等式的性质 不等式的性质
a＝b b＝a 性质1：a>b ba＝b，b＝c a＝c 性质2：a>b，b>c a>c
a＝b a＋c＝b＋c 性质3：a>b a＋c>b＋c
a＝b ac＝bc 性质4：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 aca＝b，c＝d a＋c＝b＋d 性质5：a>b，c>d a＋c>b＋d
a＝b，c＝d ac＝bd 性质6：a>b>0，c>d>0 ac>bd
对不等式性质的六点说明
(1)性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识；
(2)性质3(可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据；
(3)性质4(可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”；
(4)性质5(同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”；
(5)性质6(同向同正可乘性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式；
(6)性质1和性质3是双向推导，其他是“单向”推导．
[注意] 特别地，当a＝c，且b＝d时，有a2>b2.
1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立．
2．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立．
1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
答案：C
2．对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中真命题是( )
A．若a＞b，c≠0则ac＞bc
B．若a＞b＞0，c＞d则ac＞bd
C．若a＞b，则<
D．若ac2＞bc2则a＞b
解析：选D 当c>0时，才满足ac>bc，当c<0时，ac＝－1，故C错误；若ac2>bc2，显然c≠0，故可得c2(a－b)>0，又c2≠0，故可得a>b，故D正确．
利用不等式的性质解不等式
[例1] (链接教科书第49页例1)解不等式：－>，并用不等式的性质说明理由．
[解] 去分母，得2(x－1)－(x＋2)>3(4＋3x)．(性质4)
去括号，得2x－2－x－2>12＋9x.
移项，得2x－x－9x>2＋2＋12.(性质3)
合并同类项，得－8x>16，即8x<－16.
系数化为1，得x<－2.(性质4)
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似，但要注意解不等式时，在去分母和系数化为1时，不等号有可能改变方向．
[跟踪训练]
已知关于x的方程3(x－2a)＋2＝x－a＋1的解满足不等式2(x－5)≥8a，求a的取值范围．
解：解方程，得x＝.
将其代入不等式，得2≥8a.
去括号，得5a－1－10≥8a.
移项，得5a－8a≥1＋10.
合并同类项，得－3a≥11.
系数化为1，得a≤－.
数式的大小比较
[例2] (链接教科书第49页例3)(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与的大小．
[解] (1)(x3－1)－(2x2－2x)
＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1).
∵x<1，∴x－1<0.又＋>0，
∴(x－1)<0.
即x3－1<2x2－2x.
(2)∵a－＝＝，
又∵a>0，∴当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝；
当01．利用作差法比较大小的四个步骤
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差；
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形；
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号；
(4)得出结论．
[注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．
2．作商法比较大小
如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法如下：
依据 a>0，b>0，>1 a>b；＝1 a＝b；<1 a1 ab
应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小
步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论
[跟踪训练]
1．(2021·邗江中学高一月考)已知a，b，m是正实数，则不等式>成立的条件是( )
A．ab
C．与m有关 D．恒成立
解析：选B －＝，而a>0，m>0且>0，∴a－b>0.即a>b.
2．已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小．
解：法一：因为a≥1，
所以M＝－>0，N＝－>0.
所以＝＝ .
因为＋>＋>0，
所以<1，所以M法二：因为a≥0，
所以M＝－>0，N＝－>0.
又＝＝＋，
＝＝＋，
所以>>0，所以M不等式的性质
[例3] (1)(2021·徐州市高一月考)下列命题中正确的是( )
A．若0>a>b，则a2>b2
B．若a2>b2，则a>b>0
C．若a>b，则<1
D．若a>b，则a3>b3
[解析] 对于A，由0>a>b可知，0<－a<－b，则(－b)2>(－a)2，即b2>a2，故错误．
对于B，还可能a对于C，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故错误．
对于D，若a>b>0，则a3>b3；
若a≥0>b，则a3≥0，b3<0，所以a3>b3；
若0>a>b，则－b>－a>0，所以(－b)3>(－a)3，即－a3<－b3，所以a3>b3.
综上，若a>b，则a3>b3，故正确．
[答案] D
(2)若c>a>b>0，求证：>.
[证明] 因为a>b>0 －a<－b c－a因为c>a，所以c－a>0.所以0上式两边同乘，得>>0.
又因为a>b>0，所以>.
1．利用不等式的性质判断正误的2种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
2．利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟踪训练]
若a>b>0，c.
证明：∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，
即<.
又e<0，∴>.
利用不等式的性质求代数式的取值范围
[例4] 已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．
[解] ∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，
∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，求的取值范围．
解：∵2＜b＜8，∴＜＜，而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.
利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围；
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
[跟踪训练]
已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围．
解：法一：设u＝a＋b，v＝a－b得a＝，b＝，
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.
法二：令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.
∴∴
又∴－2≤4a－2b≤10.
1．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则( )
A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0
C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0
解析：选D 由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，
又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.
2．(多选)(2021·扬州市高一质量考试)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．x＋y>y＋z B．xzC．xy>xz D．x|y|>z|y|
解析：选ABC 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，3z0，z<0.所以由可得xy>xz.故C成立；由不等式的性质知A、B均成立；当x＝1，y＝0，z＝－1，满足x>y>z，且x＋y＋z＝0，显然D不成立．
3．已知x>y>0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小．
解：由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)．
∵x>y>0，∴x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，
∴(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，
即x3－2y3>xy2－2x2y.
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