三角函数的诱导公式
新课程标准解读 核心素养
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角函数的诱导公式 数学抽象
2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题 数学运算、逻辑推理
第一课时 诱导公式一～四
南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形．
[问题] 你能否利用这种对称性，借助单位圆中的三角函数线，探究终边具有特殊对称(坐标轴、原点)的两角的三角函数之间有什么本质的规律吗？
知识点 诱导公式一～四
1．公式一
sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；
cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)；
tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)．
2．公式二
sin(－α)＝－sin_α；
cos(－α)＝cos_α；
tan(－α)＝－tan_α．
3．公式三
sin(π－α)＝sin_α；
cos(π－α)＝－cos_α；
tan(π－α)＝－tan_α．
4．公式四
sin(π＋α)＝－sin_α；
cos(π＋α)＝－cos_α；
tan(π＋α)＝tan_α．
1．诱导公式的记忆方法与口诀
(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；
(2)记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．
“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.
2．诱导公式的作用
(1)绝对值大于2π的角(0，2π)范围的角(0，π)范围的角；
(2)负角正角．
诱导公式中角α必须是锐角吗？
提示：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．( )
(2)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．( )
(3)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．( )
(4)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝不成立．( )
(5)函数f(x)＝x2＋cos x是偶函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．已知cos(π＋θ)＝，则cos θ＝________．
答案：－
3．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________．
答案：－4
4．cos(－30°)＝________，sin＝________．
答案：
给角求值问题
[例1] (链接教科书第177页例9)求下列三角函数值：
(1)cos；(2)tan(－855°)；(3)tan＋sin.
[解] (1)cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
(3)原式＝tan＋sin
＝－tan－sin＝－1－
＝－.
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[跟踪训练]
计算：(1)sin；
(2)sin(－60°)＋cos 225°＋tan 135°；
(3)sin·cos·tan.
解：(1)原式＝－sin＝－sin＝－sin＝－.
(2)原式＝－sin 60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)
＝－－cos 45°－tan 45°
＝－－－1
＝－.
(3)原式＝sincostan
＝－sincostan
＝－××1＝－.
化简求值问题
[例2] (链接教科书第178页练习3题)化简：
(1)；
(2).
[解] (1)原式＝＝＝
＝1.
(2)原式＝＝＝＝－1.
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
[跟踪训练]
化简：(1)；
(2)(n∈Z)．
解：(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝－.
给值(式)求值问题
[例3] 已知cos＝，求cos的值．
[解] cos＝cos
＝－cos＝－.
[母题探究]
1．(变设问)在本例条件下，求：
(1)cos的值；(2)sin2的值．
解：(1)cos＝cos＝cos＝.
(2)sin2＝sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－＝.
2．(变条件)若将本例中条件“cos＝”改为“sin＝，α∈”，如何求得？
解：因为α∈，则α－∈.
所以cos＝－cos＝－cos
＝ ＝ ＝.
解决条件求值问题的两技巧
[跟踪训练]
已知tan＝，求tan的值．
解：tan＝－tan
＝－tan＝－.
1．对函数f(x)＝x3＋sin x的奇偶性说法正确的是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
解析：选A f(－x)＝(－x)3＋sin(－x)＝－x3－sin x＝－f(x)．
2．(2021·连云港高一质检)cos＝( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选D cos＝cos ＝cos＝cos ＝.
3．设tan(5π＋α)＝m，则＝________．
解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，
∴原式＝＝＝＝＝.
答案：
4．若角α的终边经过点P(－3，4)，则sin(α＋2 021π)＝________．
解析：由三角函数的定义可得sin α＝＝，
由诱导公式可得sin(α＋2 021π)＝sin(α＋π)＝－sin α＝－.
答案：－
5．化简：sin 270°＋tan 765°＋tan 225°＋cos 240°.
解：sin 270°＋tan 765°＋tan 225°＋cos 240°
＝(－sin 90°)＋tan 45°＋tan 45°＋(－cos 60°)
＝－1＋1＋1－
＝.
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7第二课时 诱导公式五、六
我们容易计算像0、、这样的角的三角函数值，对于求－α与＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？
[问题] (1)－α与α的终边有什么关系？
(2)如何求＋α的三角函数值？
知识点 诱导公式五、六
1．公式五
sin＝cos_α；cos＝sin_α．
2．公式六
sin＝cos_α；cos＝－sin_α．
公式五、六的记忆方法与口诀
(1)记忆方法：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；
(2)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．
如何由公式三及公式五推导公式六？
提示：sin＝sin
＝sin＝cos α.
cos＝cos
＝－cos＝－sin α.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( )
(2)sin(90°＋α)＝－cos α.( )
(3)cos＝－sin α.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知sin α＝，则cos等于________．
答案：
3．若α∈，sin＝，则cos α＝________．
答案：
4．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)＝________．
答案：－
利用诱导公式求值
[例1] (链接教科书第179页例12)(1)已知tan α＝3，求的值；
(2)已知sin＝，求cos·sin的值．
[解] (1)
＝＝
＝＝2.
(2)cos·sin
＝cos·sin
＝sin·sin
＝×＝.
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；
(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
[跟踪训练]
1．已知sin(π＋α)＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin(π＋α)＝得sin α＝－，所以cos＝cos＝－sin α＝，故选A.
2．已知sin＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D ∵＋α－＝，∴cos＝sin＝sin＝－sin＝－.
利用诱导公式化简
[例2] (链接教科书第180页练习4题)化简：
－.
[解] ∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α，
cos＝cos＝cos＝－sin α，
sin＝sin＝－sin
＝－cos α，
tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，
sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α，
∴原式＝－＝－＋
＝＝＝1.
用诱导公式进行化简时的注意点
(1)化简后项数尽可能的少；
(2)函数的种类尽可能的少；
(3)分母不含三角函数的符号；
(4)能求值的一定要求值；
(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
[跟踪训练]
化简：(1)·sincos；
(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．
解：(1)原式＝·sin(－sin α)
＝·(－sin α)
＝·(－cos α)(－sin α)
＝－cos2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cos－sin·cos[－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cos＋sincos(2π－α)
＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α
＝sin2α＋cos2α
＝1.
诱导公式的综合应用
[例3] 在条件①＝；②4sin2A＝4cos A＋1；③sin Acos Atan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．
已知角A为锐角，________．
(1)求角A的大小；
(2)求sin(π＋A)cos的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] 若选择条件①，
(1)由于＝，可得14sin A－7cos A＝3sin A＋4cos A，
可得sin A＝cos A，即tan A＝1，
因为A为锐角，可得A＝.
(2)sin(π＋A)cos
＝(－sin A)cos＝－sin2A＝－.
若选择条件②，
(1)由于4sin2A＝4cos A＋1，4(1－cos2A)＝4cos A＋1，可得4cos2A＋4cos A－3＝0，解得cos A＝或－(舍去)，
因为A为锐角，可得A＝.
(2)sin(π＋A)cos
＝(－sin A)cos＝－sin2A＝－.
若选择条件③，
(1)因为sin Acos Atan A＝sin2A＝，可得sin A＝或－，
因为A为锐角，sin A＞0，可得sin A＝，可得A＝.
(2)sin(π＋A)cos
＝(－sin A)cos＝－sin2A＝－.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系；
二看函数名称：一般是弦切互化；
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
[跟踪训练]
在①角α的终边经过点P(4m，－3m)(m≠0)；②tan＝；③3sin α＋4cos α＝0，这三个条件中任选一个，求sin2α－sin αcos α－2cos2α的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：sin2α－sin αcos α－2cos2α
＝
＝，
若选①：角α的终边经过点P(4m，－3m)(m≠0)；
可得tan α＝＝－，
原式＝＝－.
若选②：tan＝，可得tan α＝，
原式＝＝－.
若选③：3sin α＋4cos α＝0，tan α＝－，
原式＝＝.
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B 由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
2．若cos(α＋π)＝－，则sin＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 因为cos(α＋π)＝－cos α＝－，所以cos α＝.所以sin＝cos α＝.
3．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ等于( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C 由cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－.又|φ|<，∴cos φ＝，∴tan φ＝－.
4．sin 95°＋cos 175°的值为________．
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)
＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：0
5．已知角α终边上一点P(－4，3)，求的值．
解：因为α终边上一点P(－4，3)，所以tan α＝＝－，
＝＝tan α＝－.
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7同角三角函数关系
新课程标准解读 核心素养
1.理解同角三角函数基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x 逻辑推理、数学运算
2.会根据同角三角函数的基本关系式解决已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值(简称“知一求二”)及简单的三角恒等式的证明问题、化简问题 逻辑推理、数学运算
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系．如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．
[问题] 你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？
知识点 同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于
商数关系 ＝tan_α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
同角三角函数的基本关系解读
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立；
(2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
1．两个公式成立的条件分别是什么？
提示：公式sin2α＋cos2α＝1对α∈R成立，
公式＝tan α适用的条件为.
2．对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
提示：成立．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对 x∈R，sin24x＋cos24x＝1.( )
(2)对 x∈R，tan x＝.( )
(3)若cos α＝0，则sin α＝1.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知α∈，sin α＝，则cos α等于________．
答案：－
3．已知cos α＝－，α∈，则tan α＝________．
答案：
4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于________．
答案：1
利用同角基本关系式求值
[例1] (链接教科书第173页例5)(1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
(2)已知tan α＝2，则＝________．
[解析] (1)因为α为第四象限的角，故cos α＝＝ ＝，所以tan α＝＝＝－.
(2)因为tan α＝2，所以＝＝＝3.
[答案] (1)D (2)3
[母题探究]
(变设问)在本例(2)的条件下，求4sin2α－3sin αcos α－5cos2α的值．
解：因为tan α＝2，所以4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝
＝
＝＝＝1.
1．求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
[跟踪训练]
1．已知tan α＝－，<α<π，则sin α＝( )
A. B．－
C．－ D．
解析：选D 由tan α＝＝－，得cos α＝－2sin α.
又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝.因为<α<π，所以sin α＝.故选D.
2．(2021·溧阳市高一月考)已知tan α＝2，则sin αcos α的值是( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选B sin αcos α＝＝
＝＝＝.
3．已知＝，求下列各式的值：
(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
解：∵＝，
∴＝，解得tan θ＝2.
(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ
＝
＝＝－.
利用同角三角函数关系化简
[例2] (链接教科书第174页例7)化简下列各式：
(1)cos4α＋sin2α(1＋cos2α)；
(2)··.
[解] (1)原式＝cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α
＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α
＝cos2α＋sin2α＝1.
(2)原式＝··
＝··＝＝tan α.
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
[跟踪训练]
1．化简－.
解：－
＝
＝＝＝－2tan2α.
2．若<α<π，化简＋.
解：因为<α<π，所以cos α＝－，sin α＝，所以
原式＝＋
＝－
＝－＝0.
利用同角三角函数关系证明
[例3] (链接教科书第174页例8)求证：＝.
[证明] 法一：由tan α－sin α≠0，
于是右边＝
＝
＝
＝
＝
＝左边，
所以原等式成立．
法二：因为左边＝
＝，
右边＝
＝
＝
＝
＝，
所以左边＝右边，原等式成立．
证明三角恒等式常用的方法
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等；
(3)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1；
(4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．
[跟踪训练]
求证：＝.
证明：法一：∵左边＝
＝
＝
＝
＝
＝＝右边，
∴原等式成立．
法二：∵右边＝＝，
左边＝＝
＝
＝，
∴左边＝右边，原等式成立.
sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
[例4] 已知sin α＋cos α＝，求：
(1)sin αcos α；(2)sin α－cos α.
[解] (1)由sin α＋cos α＝，
平方得2sin αcos α＝－，
∴sin αcos α＝－.
(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，
∴sin α－cos α＝±.
已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(4)(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.
[跟踪训练]
1．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于( )
A. B．－
C．－ D．
解析：选C 由已知得(sin α－cos α)2＝，
即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－.故选C.
2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－，求sin θ－cos θ.
解：∵0<θ<π，sin θcos θ＝－<0，
∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ>0.
∴sin θ－cos θ＝＝＝＝ ＝.
1．下列四个结论中可能成立的是( )
A．sin α＝且cos α＝
B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1
D．α是第二象限角时，tan α＝－
解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A、C、D都不成立．
2．已知sin φ＝－，且|φ|<，则tan φ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C ∵sin φ＝－，∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－＝，
又|φ|<，即－<φ<，
∴cos φ＝，从而tan φ＝＝＝－.
3．若sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝( )
A．－ B．－
C. D．2
解析：选B 因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，即1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－.故选B.
4．化简：＝________．
解析：原式＝
＝ ＝|cos 40°－sin 40°|
＝cos 40°－sin 40°.
答案：cos 40°－sin 40°
5．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝________．
解析：1＋sin θcos θ＝＝＝＝.
答案：
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10三角函数概念
7．2.1 任意角的三角函数
新课程标准解读 核心素养
1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值，并会判断给定角的三角函数值的符号 数学抽象、数学运算
2.能运用定义解决相关问题 逻辑推理、数学运算
第一课时 任意角的三角函数
初中我们就学习了锐角三角函数，如图，α为锐角，sin α＝，cos α＝，tan α＝，三角函数值为两个边长的比值．
[问题] (1)若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
(2)若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？
知识点 任意角的三角函数
1．任意角的三角函数的定义
(1)一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r，则r＝．此时，点P是角α的终边与半径为r的圆的交点(如图所示)，规定：
①比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝；
②比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝；
③比值(x≠0)叫作α的正切，记作tan α，即tan α＝．
(2)sin_α，cos_α，tan_α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．这三种函数都称为α的三角函数．
2．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一、二象限正，三、四象限负；
余弦：一、四象限正，二、三象限负；
正切：一、三象限正，二、四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
对三角函数定义的再理解
(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；
(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．
1．什么是单位圆？
提示：单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆．
2．对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？
提示：不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )
(2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边与单位圆的交点，则cos α＝－x.( )
(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则tan α＝( )
A. B．－
C. D．－
答案：B
3．若sin α<0且cos α<0，则角α为第________象限角．
答案：三
4．(2021·济南高一质检)已知角α的终边经过点(－12，5)，则cos α＝__________．
解析：角α的终边经过点(－12，5)，
则cos α＝＝－.
答案：－
三角函数的定义及应用
[例1] (链接教科书第167页例1)(1)已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值；
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[解] (1)r＝＝5|a|.
若a>0，则r＝5a，故sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.
若a<0，则r＝－5a.同理可得sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
(2)直线x＋y＝0，即y＝－x，则直线通过第二和第四象限．
①在第二象限内取直线上的点(－1，)，
则r＝＝2，
所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
②在第四象限内取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
利用三角函数的定义求一个角的三角函数有以下几种情况：
(1)若已知角α终边上一点P(x，y)是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)；
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上的点，则首先求r＝ ，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)；
(3)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解；
(4)参数问题：若点的坐标、角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论．
[跟踪训练]
1．已知角α的终边上一点P(m, )，且cos α＝，则m＝________．
解析：由题意得x＝m，y＝ ，∴r＝|OP|＝ ，
∴cos α＝＝＝，很明显m>0，
解得m＝ .
答案：
2．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．
解：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)，
则解得即P，
所以sin α＝y＝，cos α＝x＝.
三角函数值符号的判定
[例2] (链接教科书第169页例4)(1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)填空sin 285°·cos(－105°)________0(填“＜”或“＞”)．
[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．
(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0.因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0.所以sin 285°·cos(－105°)>0.
[答案] (1)D (2)>
正弦、余弦函数值的正负规律
[跟踪训练]
1．若－<α<0，则点(tan α，cos α)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由－<α<0知α为第四象限角，则tan α<0，cos α>0，点在第二象限．
2．若角α的终边经过点P(3，a)(a≠0)，则( )
A．sin α＞0 B．sin α＜0
C．cos α＞0 D．cos α＜0
解析：选C 由三角函数的定义可知，sin α＝符号不确定，cos α＝>0，故选C.
3．判断下面各式的符号：
(1)sin·cos；(2)cos 6·sin 6.
解：(1)∵<<π，∴是第二象限角，
∴sin>0，cos<0，
∴sin·cos<0.
(2)∵<6<2π，∴6弧度的角为第四象限角，
∴cos 6>0，sin 6<0，∴cos 6·sin 6<0.
三角函数的定义域
[例3] 求函数f(x)＝的定义域．
[解] 要使f(x)有意义，
则
所以
解得2kπ＜x＜2kπ＋，k∈Z.
所以原函数的定义域为.
求三角函数定义域的方法
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得．对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制；
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
[跟踪训练]
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋.
解：(1)要使函数式有意义，需tan x≠0，解得x≠kπ(k∈Z)．
要使tan x有意义，需x≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠(k∈Z)．
所以函数的定义域为.
(2)由题意得
由cos x≥0得x的终边在y轴上，或第一象限，或第四象限，或在x轴正半轴上．
由－tan x≥0，得tan x≤0，则角x的终边在第二象限，或第四象限，或在x轴上．
综上，角x的终边在第四象限或x轴正半轴上．
所以函数的定义域为.
1．(2021·南通高一月考)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(1，－2)，则sin α＝( )
A．－ B．
C. D．－
解析：选D 点P(1，－2)到原点的距离r＝＝，由三角函数的定义可得：sin α＝＝＝－，故选D.
2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，3] B．(－2，3)
C．[－2，3) D．[－2，3]
解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以解得－2
3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．
4．若角60°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是_______．
解析：由题意，得tan 60°＝－，解得a＝－4.
答案：－4
5．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________．
解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1.
答案：－1
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7第二课时 三角函数线
如图，已知锐角α的终边交单位圆于点P，过点P作PM⊥OA于M，过A作单位圆的切线，交锐角α的终边于T.
[问题] 试用锐角α的三角函数表示OM，MP，AT
知识点一 有向线段
1．有向线段的概念
规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．
2．有向线段的数量
把规定了正方向的直线称为有向直线．若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上号或号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB.
知识点二 三角函数线
有向线段，，分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．
1．三条有向线段与x轴或y轴正方向同向的为正向线段，为正值；与x轴或y轴负方向同向的为负向线段，为负值．
2．单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以解决比较大小、解三角方程、解三角不等式等问题，而且可以直观地研究同角三角函数间的基本关系．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)三角函数线的长度等于三角函数值．( )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( )
(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在直线y＝x上 D．在直线y＝－x上
答案：B
3．sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”)
答案：>
三角函数线的作法
[例1] 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1)70°；(2)－110°；(3).
[解] (1)如图①，有向线段MP为70°角的正弦线，有向线段OM为70°角的余弦线，有向线段AT为70°角的正切线．
(2)如图②，有向线段MP为－110°角的正弦线，有向线段OM为－110°角的余弦线，有向线段AT为－110°角的正切线．
(3)在平面直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图③所示，以x轴的正半轴为始边作的终边，与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于点M，过单位圆与x轴正半轴的交点A作x轴的垂线，与OP的反向延长线交于点T，则有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线．
三角函数线的作法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线；
(2)作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线AT，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．
[跟踪训练]
作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解：如图所示，
－的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
三角函数线的应用
角度一 利用三角函数线比较大小
[例2] 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
①sin 与sin ；②tan 与tan .
[解] 如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，则sin ＝MP，tan ＝AT；角的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin ＝M′P′，tan ＝AT′，
由图可知，|MP|＞|M′P′|，且MP与M′P′都与y轴正方向相同，所以①sin＞sin；|AT|＞|AT′|，且AT与AT′都与y轴正方向相反，所以②tan＜tan.
角度二 利用三角函数线解不等式
[例3] 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
[解] (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图②中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
角度三 利用三角函数线求函数的定义域
[例4] 求函数f(x)＝＋ln的定义域．
[解] 由题意，得自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
即定义域为.
1．利用三角函数线比较大小的两个关注点
(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值；
(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．
2．利用三角函数线解三角不等式的方法
正弦、余弦型不等式的解法 对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是寻求恰当的点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围
正切型不等式的解法 对于tan x≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围
3.利用三角函数线求函数的定义域
解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．
[跟踪训练]
若0<α<2π，且sin α<，cos α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是∪.
答案：∪
1．下列三个命题：
①与的正弦线相等；②与的正切线相等；③与的余弦线相等．其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选B 和的正弦线关于y轴对称，大小相等，方向相同；和两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；和的余弦线方向不同．
2．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A. B．
C. D．[0，π]
解析：选A 如图，画出三角函数线sin x＝MP，cos x＝OM，由于sin＝cos，
sin ＝cos ，
为使sin x≤cos x成立，
则由图可得－≤x≤.
3．若α∈，试判断sin α＋cos α与1的大小关系，并给出证明．
解：若α∈，则sin α＋cos α>1.
证明：设角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，则角α的终边与单位圆的交点P在第一象限，设点P的坐标为(x，y)．
法一：易知0因为x2＋y2＝1，(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy>1，所以x＋y>1.
由三角函数的定义可知sin α＝y，cos α＝x，所以sin α＋cos α>1.
法二：如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1，由三角形两边之和大于第三边，可知MP＋OM>OP，即sin α＋cos α>1.
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6弧度制
新课程标准解读 核心素养
1.理解1弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化 数学抽象、数学运算
2.体会引入弧度制的必要性 数学抽象
3.理解弧度制下弧长与面积公式 数学运算
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．
[问题] (1)角的度量是否也能用不同的单位制呢？
(2)能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
知识点一 弧度制
1．度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的，记作1°
弧度制 定义 用弧度作为角的单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角．记作1 rad(rad可省略不写)
2．弧度数的计算与互化
(1)弧度数的计算
(2)弧度与角度的互化
在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？
提示：不相等．这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( )
(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( )
(3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.( )
(4)1 rad的角比1°的角要大．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．下列转化结果错误的是( )
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
答案：C
知识点二 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝|α|r．
(2)扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2.
在应用扇形面积公式S＝|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”．
1．角度制下的扇形的弧长公式和扇形面积公式是什么？
提示：扇形弧长l＝ ，扇形面积公式S＝.(其中，r是扇形所在圆的半径，n为扇形的圆心角)
2．你认为式子|α|＝中，比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm)．( )
(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变．( )
答案：(1)× (2)×
2．已知扇形的半径r＝30，圆心角α＝，则该扇形的弧长等于________，面积等于________，周长等于________．
解析：弧长l＝rα＝30×＝5π，面积S＝lr＝×5π×30＝75π，周长为2r＋l＝60＋5π.
答案：5π 75π 60＋5π
角度与弧度的换算
[例1] (链接教科书第163页例3、例4)将下列角度与弧度进行互化：
(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.
[解] (1)π＝×180°＝15 330°.
(2)－＝－×180°＝－105°.
(3)10°＝10×＝.
(4)－855°＝－855×＝－.
角度制与弧度制的互化原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算；
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n· rad.
[注意] (1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；
(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．
[跟踪训练]
1．把下列弧度化为角度：
(1)＝________；
(2)－＝________．
解析：(1)＝°＝690°.
(2)－＝－°＝－390°.
答案：(1)690° (2)－390°
2．把下列角度化为弧度：
(1)－1 500°＝________；
(2)67°30′＝________．
解析：(1)－1 500°＝－1 500×＝－π.
(2)67°30′＝67.5°＝67.5×＝.
答案：(1)－ (2)
用弧度制表示终边相同的角
[例2] (链接教材科书第165页习题6题)已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈.
[解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，
∴α＝－800°＝＋(－3)×2π.
∵α与角终边相同，∴α是第四象限角．
(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z.
又γ∈，∴－<2kπ＋<，k∈Z，
解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－.
用弧度制表示终边相同角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍；
(2)还要注意角度制与弧度制不能混用．
[跟踪训练]
1．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( )
A．
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
解析：选D 集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．而A集合中满足B集合范围的只有k＝0或k＝－1的一部分，即只有D选项满足．故选D.
2．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－2π，2π)，求角α的值．
解：如图，设角的终边为射线OA，
射线OA关于直线y＝x对称的射线为OB，
则以射线OB为终边的一个角为－＝，
∴以OB为终边的角的集合为.
又∵α∈(－2π，2π)，∴－2π<2kπ＋<2π，且k∈Z，
∴k＝－1或k＝0.
当k＝－1时，α＝－；当k＝0时，α＝.
∴角α的值为－或.
扇形的弧长公式及面积公式
[例3] (链接教材科书第163页例5)已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求：
(1)这个圆心角所对的弧长；
(2)这个扇形的面积．
[解] (1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r＝＝，
所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝.
(2)由(1)得扇形的面积S＝××＝.
关于弧度制下扇形问题的解决方法
(1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝|α|r2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；
(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．
[跟踪训练]
已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
(2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大？
解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝，S弓＝××10－×102＝50.
(2)扇形周长C＝2R＋l，∴l＝C－2R，∴S扇＝Rl＝R(C－2R)＝－R2＋RC＝－2＋，∴当R＝时，S扇有最大值且为，此时l＝C－2R＝，∴|α|＝＝·＝2.故|α|＝2时，该扇形的面积最大．
扇形的弧长公式的应用
[典例] 如图，点P，Q从点A(4，0)同时出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转.
[问题探究]
1．点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则t·＋t·＝2π，解得t＝4，∴第一次相遇时用了4 s.
2．点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？
提示：第一次相遇时，点P运动到角的终边与圆相交的位置，点Q运动到角－的终边与圆相交的位置，
∴点P走过的弧长为·4＝，点Q走过的弧长为×4＝.
[迁移应用]
圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为( )
A．2π B．π
C.π D．π
解析：选D 因为圆O的半径r＝1，正方形的边长a＝1，所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为，正方形在圆周上滚动时，点的位置如图所示，故当点A首次回到点P的位置时，正方形在圆周上滚动了2圈，而自身滚动了3圈．设第i(i∈N＋)次滚动点A的路程为Ai，则A1＝×AB＝，A2＝×AC＝，A3＝×DA＝，A4＝0，所以点A所走过的路程为3(A1＋A2＋A3＋A4)＝π.
1．(2021·徐州高一月考)小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选C 由题意，时针走过的扇形的圆心角是＝ rad, 故选C.
2．与角－终边相同的角是( )
A. B．
C. D．
解析：选C 与角－终边相同的角为2kπ－，k∈Z，当k＝1时，此角等于.故选C.
3．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为( )
A.π cm B．π cm
C.π cm D．π cm
解析：选A 根据弧长公式，得l＝×8＝(cm)．
4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°，即为 rad.
5．(2021·苏州高一质检)工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的圆心角为120°，外圆半径为50 cm，内圆半径为20 cm.则制作这样一面扇面需要的布料为________cm2(仅考虑正面)(用数字作答，π取3.14)．
解析：因为120°＝，S1＝××502，S2＝××202，扇面面积S＝S1－S2＝××502－××202＝×(502－202)＝700π≈2 198(cm2)．
答案：2 198
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9角与弧度
7．1.1 任意角
新课程标准解读 核心素养
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角 数学抽象
2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合 数学抽象
3.了解象限角的概念 数学抽象
周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习．
[问题] 小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？
知识点一 任意角的概念
1．角的概念
(1)定义：一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；
(2)顶点：射线的端点称为角的顶点；
(3)始边和终边：射线旋转的开始位置和终止位置分别称为角的始边和终边；
(4)图示：如图所示，射线OA绕端点O，按箭头所示方向旋转到OB便形成角α.点O是角α的顶点，射线OA和OB分别是角α的始边和终边．
2．角的分类
名称 定义 图形
正角 按逆时针方向旋转所形成的角
负角 按顺时针方向旋转所形成的角
零角 没有作任何旋转所形成的角
1．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
提示：不是的．虽然始边、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．
2．如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？
提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置确定的，而是根据射线的旋转确定的．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)小于90°的角都是锐角．( )
(2)大于90°的角都是钝角．( )
(3)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列说法正确的是( )
A．最大的角是180° B．最大的角是360°
C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小
答案：D
3．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．
答案：390° －150° 60°
知识点二 平面直角坐标系中的任意角
1．象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
2．轴线角
如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．
3．终边相同的角
一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
1．对终边相同的角的理解
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成一个集合，它们彼此相差k·360°(k∈Z)，即S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(1)终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合；
(2)α是任意角且k为整数；
(3)k·360°与α之间用“＋”连接；
(4)终边相同的角的表示形式不唯一，如{x|x＝k·360°－90°，k∈·360°＋270°，k∈Z}均表示终边在y轴的负半轴上的角的集合．
2．各象限角的集合
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α
1．把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？
提示：不一定．因为象限角是指的当角的始边与x轴的正半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角．
2．反过来，若角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？
提示：当角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)终边相同的角一定相等．( )
(2)－30°是第四象限角．( )
(3)第二象限角是钝角．( )
(4)225°是第三象限角．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．与 610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z)( )
A．k·360°＋230° B．k·360°＋250°
C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°
答案：B
3．与－1 560°角终边相同的角的集合中，最小正角是______，最大负角是________．
答案：240° －120°
任意角的概念
[例1] (链接教科书第161页练习6题)下列结论：
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③钝角比第三象限角小；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确的结论为________(填序号)．
[解析] ①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
③钝角大于－100°，而－100°的角是第三象限角，故③不正确；
④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．
[答案] ②
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可．
[跟踪训练]
1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
解析：选B 各角和的旋转量等于各角旋转量的和．所以120°＋(－270°)＝－150°，故选B.
2．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A．120° B．－120°
C．－60° D．60°
解析：选B 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°.
终边相同的角的表示
[例2] (链接教科书第160页例1)已知α＝－315°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1 080°＜θ＜－360°.
[解] (1)因为－315°＝－360°＋45°.又0°＜45°＜360°，所以把α写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式为α＝－360°＋45°(β＝45°)．
(2)与－315°终边相同的角为θ＝k·360°＋45°(k∈Z)，所以当k＝－3，－2时，θ＝－1 035°，－675°，满足－1 080°＜θ＜－360°.即得所求角θ为－1 035°和－675°.
1．求终边落在同一直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°～360°范围内相应的角；
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
2．终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
[跟踪训练]
1．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )
A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z
解析：选B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.故选B.
2.如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
解析：选C 阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，即{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}．
3．在直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在x轴的正半轴上；
(2)终边在y＝x(x≥0)上．
解：(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的正半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．
(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}.
象限角的判定
[例3] (链接教科书第160页例2)(1)已知α是第二象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
∴180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)(k∈Z)，
即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，
∴180°－α为第一象限角．
[答案] A
(2)已知α是第二象限角，求角所在的象限．
[解] ∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)．
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得
n·360°＋45°<这表明是第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得
n·360°＋225°<这表明是第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
[母题探究]
1．(变设问)在本例(2)的条件下，求角2α的终边的位置．
解：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的负半轴上．
2．(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？
解：∵k·360°<α∴k·180°<当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<∴是第一象限角．
当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋180°<1．给定一个角判断它是第几象限角的思路
判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k·360°(其中k∈Z，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可．
2．分角、倍角所在象限的判定思路
(1)求解的思维模式：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略；
(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．
[跟踪训练]
1．－1 060°的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A 因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的终边落在第一象限．
2．已知α是锐角，那么2α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
解析：选C ∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角．
1．期中考试，数学科目从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了( )
A．360° B．720°
C．－360° D．－720°
解析：选D 因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D.
2．已知集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
解析：选D 集合A中锐角θ满足0°<θ<90°；集合B中θ<90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°<θ3．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°角与750°角的终边相同．
4．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )
A．α＋β＝180°
B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
解析：选AD 假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以A满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，B、C都不满足条件．
5．与2 020°角终边相同的最小正角是________；与2 020°角终边相同的最大负角是________．
解析：因为与2 020°角终边相同的角是2 020°＋ k·360°(k∈Z)，所以当k＝－5时，与2 020°角终边相同的最小正角是220°角．当k＝－6时，与2 020°角终边相同的最大负角是－140°.
答案：220° －140°
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