三角函数应用
新课程标准解读 核心素养
1.会用三角函数解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 数学建模、数学运算
如图是交变电流产生的示意图．线圈在匀强磁场中按逆时针方向匀速旋转产生交变电流(电刷及回路等部分省略)，当线圈处于如图所示的位置时，线圈中的感应电流y达到最大值A；当线圈由此位置逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时，线圈中的感应电流y为0；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时，线圈中的感应电流y达到反向最大值－A；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达垂直位置时，线圈中的感应电流y又一次为0；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达图示位置时，线圈中的感应电流y又一次达到最大值A.这样周而复始，形成周期变化．
[问题] (1)交变电流的电流强度可以用什么三角函数模型刻画？
(2)以如图位置开始计时，则模型的初相是多少？
知识点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
知识点二 利用三角函数模型解决实际问题的思路
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中对于参数的物理意义的理解
(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅；
(2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期；
(3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率；
(4)ωx＋φ：称为相位；φ：当x＝0时的相位，称为初相．
1．现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
提示：三角函数模型．
2．三角函数模型的应用主要体现在哪两个方面？
提示：①已知函数模型求解数学问题；
②把实际问题转化成数学问题，抽象出有关的数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．
1．函数y＝3sin的振幅为________，初相为________．
答案：3
2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
答案：80
3．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝时，电流为________A.
答案：
三角函数在物理中的应用
[例1] (链接教科书第202页习题1题)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ).
(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
[解] (1)由题图，可知A＝300.
∵T＝－＝，∴ω＝＝100π，
∴I＝300sin(100πt＋φ)．
将代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝，
∴I＝300sin.
(2)由题意，知≤，∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629.
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
[跟踪训练]
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：选A T＝＝＝6，
∵图象过(0，1)点，∴sin φ＝.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
2．已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sin.
(1)求小球开始振动的位置；
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标．
解：(1)令t＝0，得h＝3sin＝，所以开始振动的位置为.
(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为，即所求最高点为；当h＝－3时，t的最小值为，即所求最低点为.
三角函数在实际生活中的应用
[例2] 某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)近似描述，求该函数解析式；
(2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐？
[解] (1)因为函数为y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，
由①，得周期T＝＝12，所以ω＝.
由②，得f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故A＝200.
由③，得f(x)在[2，8]上递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500，
所以
解得
因为f(2)最小，f(8)最大，
所以
由于0＜|φ|＜π，因此φ＝－，
所以入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系式为
y＝f(x)＝200sin＋300(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)由条件可知200sin＋300≥400，
化简得sin≥，
所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．
解得12k＋6≤x≤12k＋10(k∈Z)．
因为x∈N*，且1≤x≤12，
所以x＝6，7，8，9，10.
即只有6，7，8，9，10五个月份要准备不少于400人的用餐．
解三角函数应用问题的基本步骤
[跟踪训练]
某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长98米，匀速旋转一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，求当此人第四次距离地面米时用了多少分钟？
解：如图，建立平面直角坐标系．
设某人登上摩天轮t分钟时距地面y米，此时该人随摩天轮转过的角为α，则α＝t＝t.
y＝－cost＝－49cost＋59(t≥0)．
令－49cost＋59＝，得cost＝，
∴t＝2kπ±(k∈Z)，
故t＝18k±3，k∈Z，由t≥0得t＝3，15，21，33，….
故当此人第四次距离地面米时用了33分钟．
三角函数模型的拟合
[例3] 下表是某地某年月平均气温(华氏)：
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴．
(1)用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；
(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？
①＝cos；②＝cos；③＝cos.
[解] (1)如图：
(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，
故＝7－1＝6，所以T＝12.
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，
即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.
(3)因为模型①的周期为12π，所以由(2)知①错误；由模型②知当x＝0时，y取最大值，而x＝月份－1，即1月份的气温最高，这与(2)中的结论矛盾，所以应选③.
根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题．
[跟踪训练]
一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
解析：设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t.
答案：y＝－4cos t
1．简谐运动y＝4sin的相位与初相是( )
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
解析：选C 相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.
2．动点A(x，y)在单位圆上绕圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0，1] B．[1，7]
C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]
解析：选D 由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝＝.又∵当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0，12]．可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]．
3．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]．
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
解：(1)x∈[4，16]，则x－∈.
由函数解析式易知，当x－＝，即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃；
当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20(℃)．
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin＝－，而x∈[4，16]，
所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，
而x∈[4，16]，所以x＝.
故该细菌在这段时间内能存活－＝(小时)．
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8函数y＝Asin(ωx＋φ)
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义 数学抽象
2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响 数学抽象、直观想象
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
游客在游乐场的摩天轮上可以俯瞰整个城市的风光，摩天轮承载着游客从底部匀速旋转到最高点，游客距离地面的高度y与时间x之间的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋b，我们本节课就研究此类函数．
[问题] (1)由函数y＝sin x的图象如何得到函数y＝sin的图象？
(2)将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，所得图象对应的函数的最小正周期是多少？
知识点 函数y＝Asin(ωx＋φ)的变换
1．y＝sin x→y＝sin(x＋φ)
一般地，函数y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有的点向(当φ>0时)或向(当φ<0时)平移个单位长度而得到的．
2．y＝sin x→y＝Asin x(A>0，A≠1)
一般地，函数y＝Asin x(A>0且A≠1)的图象，可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标变为原来的(横坐标不变)而得到的．
3．y＝sin x→y＝sin ωx(ω>0)
一般地，函数y＝sin ωx(ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)而得到的．
4．y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ≠0)
一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ≠0)的图象，可以看作是将函数y＝sin ωx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移个单位长度而得到的．
A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象各有什么影响？
提示：(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响
(2)ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
(3)A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象．( )
(2)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．( )
(3)把函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos 3x的图象．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，则所得图象对应的函数为________．
答案：y＝sin x
3．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得________的图象．
答案：y＝sin 4x
4．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点向________平移________个单位长度．
答案：左 1
“五点法”作图
[例1] (链接教科书第195页例7)作函数f(x)＝2sin在[0，π]上的图象．
[解] 列表：
2x－ － 0 π
x 0 π
f(x) －1 0 2 0 －2 －1
描点连线得：
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个与x轴的交点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．“五点法”
作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：
(1)计算x取端点值时的ωx＋φ的范围；
(2)取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值；
(3)利用ωx＋φ的值计算y值；
(4)描点(x，y)，连线得到函数图象．
[跟踪训练]
已知f(x)＝y＝2sin，用“五点法”画出f(x)的图象．
解：列表：
x＋ 0 π 2π
x － π π π π
y＝2sin 0 2 0 －2 0
描点连线，如图所示．
将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边平移即得y＝2sin的图象．
三角函数图象的平移变换
[例2] (1)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
(2)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[解析] (1)由y＝2sin可知，周期T＝π，
所以＝π，
y＝2siny＝2sin
＝2sin.
(2)y＝sin 2x＝cos＝cos
＝cos＝cos.
若设f(x)＝sin 2x＝cos，
则f＝cos，
所以向左平移个单位长度．
[答案] (1)D (2)A
三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离．
[跟踪训练]
将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为________．
解析：将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x.
答案：y＝－cos 2x
三角函数图象的伸缩变换
[例3] 指出将y＝sin x的图象变换为y＝sin的图象的两种方法．
[解]
由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
[跟踪训练]
已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D
1．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度
D．向下平移个单位长度
解析：选B 将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin.
2．为了得到y＝cos的图象，只需把y＝cos x的图象上的所有点( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
解析：选A 由图象的伸缩变换可知，A正确．
3．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sin x，则( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
解析：选B 将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sin 2x，再将此函数图象向右平移个单位长度，可得y＝sin 2的图象，即y＝sin的图象，所以ω＝2，φ＝－.
4．将函数y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式为________________．
解析：y＝sin 2x的图象y＝sin＝sin x的图象y＝sin x的图象，即所得图象的解析式为y＝sin x.
答案：y＝sin x
5．已知函数f(x)＝sin.
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)求函数f(x)的单调增区间；
(3)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？
解：(1)列表如下：
2x－ 0 π 2π
x
f(x) 0 1 0 －1 0
描点连线，图象如图所示．
(2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间是，k∈Z.
(3)先得g(x)向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到f(x)的图象．
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8三角函数的图象和性质
7．3.1 三角函数的周期性
7．3.2 三角函数的图象与性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解利用单位圆作三角函数图象的方法，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象 数学抽象、直观想象
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质，会用正弦函数、余弦函数、正切函数的图象解决简单问题 数学运算、直观想象
第一课时 三角函数的周期性与正、余弦函数的图象
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．数学中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”．
[问题] (1)你能画出y＝sin x, x∈[0，2π]的图象吗？
(2)y＝sin x，x∈[0，2π]上的五个关键点的坐标是什么？
知识点一 函数的周期性
1．周期函数
一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果存在一个非零常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数．非零常数T叫作这个函数的周期．
2．最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．
3．三角函数的周期性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为；
(2)函数y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为．
对周期函数定义的再理解
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一；
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期；
(3)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质．
1．若函数f(x)的周期为3，且f(1)＝－2，则f(7)＝________．
答案：－2
2．函数y＝cos 2x的周期为________．
答案：π
3．函数y＝sin(－x)的周期为________．
解析：∵y＝sin(－x)＝－sin x，∴周期为2π.
答案：2π
4．函数y＝3tan x的周期为________．
答案：2π
知识点二 正弦曲线、余弦曲线
1．正弦曲线
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用正弦线画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
3．余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫作余弦曲线．
4．余弦函数图象的画法
由cos x＝sin，知y＝cos x的图象可由y＝sin x图象向左平移个单位得到．
1．“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象；若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象．
2．将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝sin x的图象关于y轴对称．( )
(2)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点．( )
(3)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．函数y＝－cos x，x∈[0，2π]的图象与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于________对称．
答案：x轴
3．用“五点法”作函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点是(0，1)，，(π，1)，________，(2π，1)．
答案：
三角函数的周期
[例1] (链接教科书第184页练习2题)求下列函数的最小正周期：
(1) (x)＝cos；
(2) (x)＝|sin x|.
[解] (1)法一(定义法)：∵ (x)＝cos
＝cos
＝cos
＝ (x＋π)，
即 (x＋π)＝ (x)，
∴函数 (x)＝cos的最小正周期T＝π.
法二(公式法)：∵y＝cos，∴ω＝2.
又T＝＝＝π.
∴函数 (x)＝cos的最小正周期T＝π.
(2)法一(定义法)：∵ (x)＝|sin x|,
∴ (x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝ (x)，
∴ (x)的最小正周期为π.
法二(图象法)：∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知f(x)的最小正周期T＝π.
求三角函数的周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝来求；
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝sin的最小正周期为( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析：选D 函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝4π.
2．已知f(x)＝2cosx，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝________．
解析：易知f(x)的最小正周期T＝6，则有
f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
则f(0)＋f(1)＋…＋f(13)＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13)＝f(12)＋f(13)＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3.
答案：3
3．函数y＝tan(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值为________．
解析：∵k>0，∴T＝≤2，即k≥2π，∴正整数k的最小值是7.
答案：7
“五点法”作正、余弦函数的图象
[例2] (链接教科书第188页例3)用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π]．
[解] (1)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
(2)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2＋cos x 3 2 1 2 3
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
[跟踪训练]
用“五点法”画出函数y＝2sin x在区间[0，2π]上的图象．
解：按五个关键点列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2sin x 0 2 0 －2 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
正、余弦函数图象的简单应用
[例3] 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sin x≥；(2)cos x≤.
[解] (1)作出正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.
(2)作出余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.
利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象；
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值；
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．
[注意] 解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．
[跟踪训练]
求下列函数的定义域：
(1)y＝log3；(2)y＝ .
解：(1)要使函数有意义，则sin x>，作出y＝sin x在[0，2π]内的图象如图所示．
由图象知，在[0，2π]内使sin x>的x的取值范围是.
故原函数的定义域为(k∈Z)．
(2)要使函数有意义，则2cos x－≥0，
∴cos x≥，画出y＝cos x的图象及直线y＝，如图所示，
由图象可知函数的定义域为(k∈Z)．
1．(多选)下列函数中，周期不为的是( )
A．y＝cos 4x B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝tan
解析：选BCD 对于A，∵cos 4＝cos(2π＋4x)＝cos 4x，∴T＝；对于B，∵sin 2＝sin(π＋2x)＝－sin 2x，∴T≠.同理可知C、D的周期均不是.
2．函数y＝－cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A. B．(π，1)
C．(0，1) D．(2π，1)
解析：选B 用五点作图法作出函数y＝－cos x(x>0)的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．
3．函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图是( )
解析：选A 列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2－sin x 2 1 2 3 2
观察各图象发现A项符合．
4．函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为________．
解析：作出函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，.
答案：，
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9第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用(习题课)
由图象确定函数的解析式
[例1] 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
[解] 法一：由图象知A＝3，
T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.
∴y＝3sin.
法二：由法一得A＝3，ω＝2.
将最高点M的坐标代入y＝3sin(2x＋φ)，得3sin＝3.
∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|＜，∴取φ＝.∴y＝3sin.
法三：由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝；
(3)求φ，常用方法有以下2种
代入法 把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入
五点法 确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
[跟踪训练]
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，则函数的解析式为________．
解析：由题意知A＝5，＝，
所以T＝＝，所以ω＝4，
所以y＝5sin(4x＋φ)．
又因为图象经过点，所以＝5sin φ，
即sin φ＝，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0＜φ＜，所以φ＝，
所以这个函数的解析式为y＝5sin.
答案：y＝5sin
三角函数图象的对称性
[例2] 在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
[解析] 由4x＋＝kπ(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的图象的对称中心坐标为(k∈Z)．
取k＝1，得满足条件．
[答案]
[母题探究]
1．(变条件)将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？
解：由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
取k＝0时，x＝－.
则所求对称中心为.
2．(变条件，变设问)将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程．
解：由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
取k＝0，x＝－满足题意，故离y轴最近的一条对称轴方程为x＝－.
三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴 对称中心
y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)，其图象最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是和，则f(x)图象的对称轴方程为________________．
解析：由题意，得A＝，T＝2＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又∵点在f(x)的图象上，∴f＝0，∴sin＝0，∴sin＝0.又∵－π＜φ＜0，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.令2x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．∴f(x)图象的对称轴方程是x＝＋(k∈Z)．
答案：x＝＋(k∈Z)
三角函数性质的综合应用
[例3] 函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)的一个对称中心为
B．f(x)的图象关于直线x＝－π对称
C．f(x)在上是增函数
D．f(x)的周期为
[解析] 根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，
可得A＝3，＝＝－，所以ω＝2，再根据点是五点作图法中第三个点可得2×＋φ＝π，所以φ＝，
所以y＝3sin，显然，它的周期为＝π，故排除D；
当x＝时，函数y＝f(x)＝3sin＝0，故函数的图象关于点对称，故A正确；
当x＝－π时，f(x)＝，不是最值，故f(x)的图象不关于直线x＝－π对称，故排除B；
在上，2x＋∈，
y＝3sin不是增函数，故排除C.
[答案] A
正、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．
[跟踪训练]
1．(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．函数y＝f(x)的图象关于点对称
B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称
C．函数y＝f(x)在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得y＝2sin 2x的图象
解析：选BD 由函数的图象可得A＝2，周期T＝4＝π，所以ω＝＝＝2，当x＝时，函数取得最大值，
即f＝2sin＝2，
所以2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ＋，又|φ|<，得φ＝，
故函数f(x)＝2sin.
对于A，f＝2sin≠0，故A不正确；
对于B，当x＝－时，f＝2sin＝2sin＝－2，
即直线x＝－是函数f(x)的一条对称轴，故B正确；对于C，当－≤x≤－时，－π≤2x＋≤0，所以函数f(x)在区间不单调，故C错误；
对于D，将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝2sin＝2sin 2x的图象，即D正确．故选B、D.
2．已知函数f(x)＝2sin的最小正周期为π，则函数y＝f(x)在区间上的最大值和最小值分别是( )
A．2和－2 B．2和0
C．2和－1 D．和－
解析：选C 由题知＝π，得ω＝2，
所以函数y＝f(x)＝2sin.
又因为x∈，
所以2x－∈，
所以sin∈，
所以2sin∈[－1，2]，
故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1，故选C.
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 当x＝0时，y＝sin＝－<0，排除B、D；当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，排除C，故选A.
2．设函数f(x)＝sin的图象为C，下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是2π
B．图象C关于点对称
C．图象C可由函数g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到
D．函数f(x)在区间上是增函数
解析：选B 函数f(x)＝sin的最小正周期是T＝＝π；因为f＝sin＝0，所以图象C关于点对称；图象C可由函数g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到；函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)，取k＝0，得函数f(x)的一个
单调递增区间是，一个单调递减区间是，故在区间上f(x)不是单调递增的，而是先递增后递减．
3．如图所示的曲线是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，则这个函数的解析式是____________．
解析：由函数图象可知A＝2，T＝×＝π，即＝π，∴ω＝2.又是五点作图法中的第五个点，即2×＋φ＝2π，∴φ＝.∴所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
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7第三课时 正切函数的图象与性质
我们知道正切是正弦与余弦的比值，那么如何求正切函数的周期和单调性？正切函数的图象有什么特点？本节课就研究正切函数的性质与图象．
[问题] (1)前面我们学习了正弦函数的图象与性质，余弦函数的图象与性质，回想一下，我们是如何得到正弦函数图象与余弦函数图象的？
(2)类比正弦函数图象和余弦函数图象的学习过程，对于正切函数的图象是否适用？
知识点 正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
周期性
奇偶性 奇函数
单调性 在区间上都是增函数
对称性 对称中心
1．画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指，(0，0)，，“两线”是指x＝－和x＝，大致画出正切函数在上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线．
2．正切函数在每一个区间(k∈Z)内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数，无单调递减区间．
3．函数y＝tan(ωx＋φ)的周期为T＝.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )
(2)正切函数在R上是递增的．( )
(3)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心．( )
(4)正切函数的最小正周期为π.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．函数y＝tan的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
答案：B
3．函数y＝tan的定义域为________．
答案：
4．函数y＝tan x，x∈的最大值为________．
答案：1
5．函数y＝tan的单调递增区间是________．
答案：，k∈Z
正切函数的定义域及值域
[例1] (链接教科书第191页例6)(1)函数y＝ln(tan x)的定义域________；
(2)函数y＝tan2x－2tan x＋3的最小值为________．
[解析] (1)由题意得
即
故定义域为(k∈Z)．
(2)y＝(tan x－1)2＋2，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，函数取最小值2.
[答案] (1)(k∈Z) (2)2
1．求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解；
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
2．求正切函数值域的方法
(1)对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域；
(2)对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域．
[跟踪训练]
1．函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 由－x≠k1π＋(k1∈Z)得x≠－k1π－(k1∈Z)．从而x≠k2π－(k2∈Z)．
由k2∈Z得x≠kπ＋π(k∈Z)，
∴y＝tan的定义域为.故选D.
2．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．
解析：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1，1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4；
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4，4]．
答案：[－4，4]
正切函数的单调性
角度一 求正切函数的单调区间
[例2] 求函数y＝tan的单调区间．
[解] y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)，无单调递增区间．
求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
角度二 比较大小
[例3] 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小．
(1) tan与tan；
(2)tan与tan.
[解] (1)因为tan＝tan，tan＝tan，
又0<<<，y＝tan x在上是增函数，
所以tan(2)因为tan＝－tan，tan＝－tan，
又0<<<，y＝tan x在上是增函数，
所以tan>tan，所以－tan<－tan，
即tan运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；
(2)运用单调性比较大小关系．
[跟踪训练]
1．若函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围为________．
解析：由题意知其周期T≥π，即≥π.∴|ω|≤1，又函数为减函数，∴ω<0.故－1≤ω＜0.
答案：[－1，0)
2．不通过求值，比较大小：tan和tan.
解：∵tan＝－tan＝tan，tan＝－tan＝tan.
又0<<<，y＝tan x在内单调递增，
∴tantan.
正切函数的周期性、奇偶性
[例4] 已知函数y＝tan(ω<0)的周期为，求该函数的定义域、值域，并判断函数的奇偶性．
[解] y＝tan(ω<0)的周期为＝，解得ω＝2或ω＝－2.因为ω<0，所以ω＝－2，
故y＝tan＝－tan.
由2x－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)，
所以该函数的定义域为，值域为R.
由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．
正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期；
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝|tan 2x|是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
解析：选D f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝.
2．关于函数y＝tan，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
解析：选C 令f(x)＝tan.由2x－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)，即定义域为，由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；由正切函数的图象知y＝tan没有单调递减区间，故B错误；因为f＝tan 0＝0，故为图象的一个对称中心，故C正确；y＝tan的最小正周期T＝，故D错误．
1．函数y＝－2＋tan的单调递增区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选A 由－＋kπ2．已知函数f(x)＝3tan的最小正周期为，则正数ω＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C ∵ω>0，∴T＝＝，∴ω＝2，故选C.
3．函数y＝tan的单调递增区间是___________________________________．
解析：令kπ－＜2x＋＜kπ＋，k∈Z，
解得－答案：，k∈Z
4．函数y＝tan，x∈的值域是________．
解析：由0∴tan 即1答案：(1, ]
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7第二课时 正弦函数、余弦函数的性质
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)这几个循环路径．
[问题] (1)函数y＝sin x与y＝cos x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y＝sin x，y＝cos x的什么性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数y＝sin x，y＝cos x的什么性质？函数y＝sin x，y＝cos x的图象在什么位置取得最大(小)值？
知识点 正弦函数、余弦函数的性质
函数图象与性质 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域
值域 [－1，1] [－1，1]
周期性 最小正周期为 最小正周期为
奇偶性 函数 函数
单调性 在(k∈Z)上递增；在(k∈Z)上递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减
对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z)
最值 x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1
1．正、余弦函数的单调性
正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．
2．三角函数的最值与单调性之间的联系
如图，由三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象可知：图象相邻两个最大值之间的距离为一个周期，两个最大值之间有一个最小值，从左至右第一个最大值点x0与最小值点x0＋之间构成的区间为减区间，最小值点x0＋与第二个最大值点x0＋T所构成的区间为增区间，从而三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调递减区间为(k∈Z)，单调递增区间为(k∈Z)．
3．三角函数的最值与周期性之间的联系
由三角函数图象可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期T，相邻最大值与最小值之间的区间长度为，相邻的最值点与对称中心之间的区间长度为.
1．从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？
提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐弯的地方．
2．正弦函数在上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
提示：观察图象可知：
当x∈时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由－1增大到1；
当x∈时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是减函数，函数值由1减小到－1.
3．正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？
提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝3sin 2x是奇函数．( )
(2)函数y＝－cos x是偶函数．( )
(3)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．( )
(4)余弦函数y＝cos x的一个减区间是[0，π]．( )
(5) x∈[0，2π]满足sin x＝2.( )
(6)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)×
2．函数f(x)＝sin xcos x是________(填“奇”或“偶”)函数．
答案：奇
3．函数y＝3＋2cos x的最小值为________．
答案：1
4．函数y＝2－sin x取最大值时x的值为________．
答案：x＝－＋2kπ(k∈Z)
5．函数y＝－cos x，x∈[0，2π]的单调递减区间是______；单调递增区间是________．
答案：[π，2π] [0，π]
三角函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x.
[解] (1)函数的定义域为R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2)函数的定义域为R，关于原点对称，
因为f(x)＝cos x－x3·sin x，
所以f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x)
＝cos x－x3·sin x＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的方法
[跟踪训练]
判断下列函数的奇偶性：
(1) (x)＝x2cos；
(2) (x)＝sin(cos x)．
解：(1)函数 (x)的定义域为R，
∵f(x)＝x2cos＝－x2sin x，
∴f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x＝－f(x)，
∴ (x)为奇函数．
(2)函数 (x)的定义域为R，
∴ (－x)＝sin＝sin(cos x)＝ (x)，
∴ (x)为偶函数.
正、余弦函数的单调性
[例2] (链接教科书第190页练习7题)求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos；
(2)y＝3sin.
[解] (1)当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，
故函数的单调递增区间是(k∈Z)．
当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时，函数单调递减，
故函数的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)y＝3sin＝－3sin，
要求y＝－3sin的增区间即求y＝sin的减区间，
即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝3sin的递增区间为(k∈Z)．
要求y＝－3sin的减区间即求y＝sin的增区间，
即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝3sin的递减区间为
(k∈Z)．
求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；
(2)整体代换：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数．
[跟踪训练]
1．函数y＝|cos x|的一个单调减区间是( )
A. B.
C. D．
解析：选C 函数y＝|cos x|＝图象如图所示：
单调减区间有，，…，故选C.
2．求函数y＝2sin的单调区间．
解：∵y＝2sin＝－2sin，
∴函数y＝－2sin的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定．
2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，①
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．②
解①得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
解②得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)，(k∈Z).
三角函数值的大小比较
[例3] (链接教科书第189页例5)不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos与cos.
[解] (1)∵函数y＝sin x在上单调递减，且90°<250°<260°<270°，
∴sin 250°>sin 260°.
(2)cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos.
∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，
且0<<<π，
∴cos>cos，∴cos>cos.
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[跟踪训练]
不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；
(2)sin 194°与cos 160°.
解：(1)sin
＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin ，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin即sin(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°∴－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.
正、余弦函数的最值(值域)
[例4] (链接教科书第188页例4)(1)求函数y＝2cos，x∈的值域；
(2)求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合．
[解] (1)∵－∴－∴函数y＝2cos，x∈的值域为(－1，2)．
(2)y＝cos2x＋4sin x
＝1－sin2x＋4sin x
＝－sin2x＋4sin x＋1
＝－(sin x－2)2＋5.
∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.
∴ymax＝4，此时x的取值集合是
；
ymin＝－4，此时x的取值集合是
.
三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论；
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值；
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
[跟踪训练]
求函数y＝cos2x－sin x，x∈的最值．
解：y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－＋.
因为－≤x≤，－≤sin x≤，
所以当x＝－，即sin x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；
当x＝，即sin x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.
正弦函数图象对称性问题的探究
1．下列图案中，哪些是轴对称图形？(①②⑤⑥⑦)哪些是中心对称图形？(③④⑥)有没有既是轴对称又是中心对称的图形？(⑥)
2．正弦函数的图象如下图，利用图象探索正弦函数图象的对称性．
[问题探究]
1．正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由．
提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.
2．正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由．
提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z.
3．画出函数y＝sin |x|的图象，并利用图象说明它的对称性．
提示：由图象可知，函数y＝sin |x|的图象是轴对称图形，对称轴为y轴，它不是中心对称图形．
[迁移应用]
1．求函数y＝2sin的对称轴方程及对称中心坐标．
解：由x－＝＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝π＋kπ，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐标为，k∈Z.
2．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a的值是多少？
解：∵函数的图象关于直线x＝－对称，
∴f(0)＝f，
即sin 0＋acos 0＝sin＋acos，∴a＝－1.
1．(多选)设函数f(x)＝sin，x∈R，则关于f(x)的说法正确的是( )
A．最小正周期为π B．最小正周期为
C．奇函数 D．偶函数
解析：选AD f(x)＝sin＝－sin＝－cos 2x，因此f(x)是偶函数，且是最小正周期为＝π的周期函数，故选A、D.
2．已知函数f(x)＝sin是奇函数，则φ的值可以是( )
A．0 B．－
C. D．π
解析：选B 法一：f(x)＝sin为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z.
显然当k＝0时，φ＝－满足题意．
法二：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即sin＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.令k＝0，则φ＝－.
3．函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值．
解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z)．
答案：4kπ＋(k∈Z)
4．sin________sinπ(填“>”或“<”)．
解析：sinπ＝sin＝sin，
sinπ＝sin＝sin.
因为y＝sin x在上单调递增，
又0<<<，
所以sin所以sin答案：<
5．函数y＝1＋2sin的单调递增区间是________．
解析：y＝1＋2sin＝1－2sin.令u＝x－，根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y＝sin u的单调递减区间．由＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，得π＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)，故函数y＝1＋2sin的单调递增区间是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
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