对数函数
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解对数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象 直观想象
3.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 直观想象、数学运算、逻辑推理
4.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1) 数学抽象、直观想象
第一课时 对数函数的概念、图象与性质
[问题] (1)已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x，那么反过来，x是关于y的函数吗？
(2)如果用x表示自变量，用y表示函数，那么这个函数是什么？
知识点一 对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中是自变量，定义域是(0，＋∞)．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数函数的定义域为R.( )
(2)函数y＝log2(2x)是对数函数．( )
(3)函数y＝logx是对数函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝log2x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
答案：A
3．若函数f(x)＝(a－1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
答案：2
4．若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为________．
解析：设函数解析式为y＝logax，
∵函数的图象过点(4，2)，∴loga4＝2，∴a＝2，
∴y＝log2x.
答案：y＝log2x
知识点二 对数函数的图象及性质
1．对数函数的图象及性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：
图象过点：(1，0)
在(0，＋∞)上是函数；当0
1时，y>0 在(0，＋∞)上是函数；当00；当x>1时，y<0
2．反函数
当a>0，a≠1时，y＝logax称为y＝ax的反函数．反之，y＝ax也称为y＝logax的反函数．一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．
1．对数函数的图象和性质
(1)讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论；
(2)对数函数图象的“记忆”：根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的草图；
(3)在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，①若0＜a＜1且0＜x＜1，或a＞1且x＞1，则有y＞0；②若0＜a＜1且x＞1，或a＞1且0＜x＜1，则有y＜0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负．有了这个规律，我们判断对数函数值的正负就很简单了．
2．反函数的性质
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
1．底数a的取值与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象有什么关系？
提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
2．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与y＝logx(a>0且a≠1)有什么关系？
提示：在同一坐标系内，y＝logax(a>0且a≠1)的图象与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝log0.3x是减函数．( )
(2)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )
(3)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是________．
答案：(1，＋∞)
3．函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)恒过________点．
答案：(0，0)
4．已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)
答案：增
对数函数的概念
[例1] 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x； (2)y＝log6x；
(3)y＝logx5; (4)y＝log2x＋1.
[解] (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．
判断一个函数是对数函数的方法
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
答案：1
2．若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2，1)，则f(8)＝________．
解析：依题意知1＝loga2，
所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，
故f(8)＝log28＝3.
答案：3
对数型函数的定义域与值域
[例2] (链接教科书第145页例1)(1)求下列函数的定义域：
①y＝log5(1－x)；②y＝；
③y＝.
(2)求函数f(x)＝log2(4x)·log，x∈的值域．
[解] (1)①要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域为(－∞，1)．
②要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域为(－∞，3)∪(3，4)．
③要使函数有意义，需满足即解得－1＜x＜0，因此函数y＝的定义域为(－1，0)．
(2)f(x)＝log2(4x)·log
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
设log2x＝t.
∵x∈，∴t∈[－1，2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝.
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为.
1．求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0；
(2)根指数为偶数时，被开方数非负；
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
2．求对数型函数的值域(最值)
(1)对数型函数的单调性与底数的范围有关；可以利用单调性求值域(最值)；
(2)对于一些复合函数，有时可以通过换元，转化为求外函数的值域(最值)．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．
解：(1)由得－3所以函数的定义域为{x|－3f(x)＝loga(1－x)(x＋3)，
设t＝(1－x)(x＋3)＝4－(x＋1)2，
所以t≤4，又t>0，则0当a>1时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}．
当0(2)由题设及(1)知当0对数型函数的图象问题
[例3] (1)当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
(2)作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．
(1)[解析] y＝a－x＝，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0)．故选C.
[答案] C
(2)[解] 第一步：作y＝log2x的图象，如图①所示．
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示．
有关对数型函数图象问题的应用技巧
(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)；
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法；
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
[跟踪训练]
1．函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是( )
A．cC．c解析：选A 在图中作出直线y＝1(图略)，则1＝logax1，1＝logbx2，1＝logcx3，1＝logdx4，解得x1＝a，x2＝b，x3＝c，x4＝d，由图可知x2>x1>1>x4>x3，即c2．函数f(x)＝logax(0解析：选B 在logax中x>0，∴y＝logax＝logax(03．若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b，c的值分别为________．
解析：∵函数的图象恒过定点(3，2)，
∴将(3，2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c.
又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，
∴c＝2，3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.
答案：－2，2
1．给出下列函数：①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.
其中是对数函数的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A ①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选C 由x2－x＞0，解得x＜0或x＞1，则定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C.
3.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A．0＜a＜b＜1
B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1
D．b＞a＞1
解析：选B 作直线y＝1(图略)，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________．
解析：因点在y＝f(x)的图象上，所以点在y＝ax的图象上，则有＝a，又因a>0，所以a2＝2，a＝.
答案：
5．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是________．
①m＞0，0＜n＜1; ②m＜0，0＜n＜1；
③m＞0，n＞1; ④m＜0，n＞1.
解析：由图象知函数为增函数，故n＞1.又当x＝1时，f(1)＝m＞0，故m＞0.
答案：③
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8指数函数
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 直观想象、数学运算
第一课时 指数函数的概念、图象和性质
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21 S＝
x＝2 y＝4＝22 S＝＝
x＝3 y＝8＝23 S＝＝
…… …… ……
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝(x∈N*)．
[问题] 实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？
知识点一 指数函数的概念
一般地，函数y＝(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是.
1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1
提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义；
②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
2．指数函数的解析式有什么特征？
提示：指数函数解析式的3个特征：①底数a为大于0且不等于1的常数；②自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；③ax的系数是1.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝x2是指数函数．( )
(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．( )
(3)y＝2x＋1是指数函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．函数y＝(a－2)ax是指数函数，则a＝________．
解析：由指数函数定义知a－2＝1得a＝3.
答案：3
3．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________．
解析：设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，∵f(2)＝2，∴a2＝2，∴a＝，即f(x)＝()x.
答案：()x
知识点二 指数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：
值域：(0，＋∞)
图象过定点：(0，1)，图象在x轴的上方
在(－∞，＋∞)上是函数；当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01
1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)具有奇偶性吗？
提示：指数函数y＝ax(a>0，a≠1)不具有奇偶性，因为它既不是奇函数也不是偶函数．
2．在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．
3．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与底数a有什么关系？
提示：底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当01．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝是减函数．( )
(2)已知函数f(x)＝3x，若m>n，则f(m)>f(n)．( )
(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．下列函数中，是增函数的是______(填上你认为正确的序号)．
①y＝；②y＝(＋1)x；
③y＝2－x；④y＝(a2＋2)x.
答案：②④
3．函数f(x)＝2x＋3的值域为________．
答案：(3，＋∞)
4．函数y＝ax－1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
解析：由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，因而在函数y＝ax－1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax－1－1的图象恒过点(1，0)．
答案：(1，0)
指数函数的概念
[例1] (1)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝.
(2)若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a>0，且a≠1)是指数函数，则k＝________，b＝________．
[解析] (1)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；③是指数函数．
(2)根据指数函数的定义，得解得
[答案] (1)③ (2)－1 2
判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征；
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数．
[跟踪训练]
1．若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________．
解析：由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，
可得解得∴a＝2.
答案：2
2．若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(－1)＝________．
解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2，9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)．
所以f(x)＝3x.
所以f(－1)＝3－1＝.
答案：
指数型函数的定义域和值域
[例2] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝ .
[解] (1)∵x应满足x－4≠0，∴x≠4，
∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．
∵≠0，∴2≠1，
∴y＝2的值域为{y|y＞0，且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，∴y＝＝≥＝1，
∴此函数的值域为[1，＋∞)．
(3)由题意知1－≥0，∴≤1＝，
∴x≥0，
∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．
∵x≥0，∴≤1.
又∵＞0，∴0＜≤1.∴0≤1－＜1，
∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0，1)．
函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合；
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
[注意] (1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集；
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝＋的定义域是________．
解析：依题意有解得x∈[2，4)∪(4，＋∞)．
答案：[2，4)∪(4，＋∞)
2．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是________．
解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a>1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1.
答案：(1，＋∞)
3．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解：①当00，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，
所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，所以a2－a＝，
解得a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或a＝.
指数函数的图象与性质
角度一 指数函数图象的辨识
[例3] (1)如图所示是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．aC．1(2)已知0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] (1)在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大．由指数函数图象的升降，知c>d>1，b(2)函数恒过点(0，1＋b)，因为b<－1，所以点(0，1＋b)在y轴负半轴上．故图象不经过第一象限．
[答案] (1)B (2)A
解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在y轴右侧，指数函数的图象底大图高．
角度二 指数函数的图象变换
[例4] (链接教科书第137页例3)画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；
(4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.
[解] 如图所示：
(1)函数y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的；(2)函数y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的；(3)函数y＝2|x|的图象是由y＝2x位于y轴上及y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的；(4)函数y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象先向下平移1个单位长度，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的；(5)函数y＝－2x的图象是由y＝2x的图象关于x轴对称得到的；(6)函数y＝－2－x的图象是由y＝2x的图象关于原点对称得到的．
指数函数图象的变换
(1)平移规律：设b>0，
①y＝ax的图象y＝ax＋b的图象；
②y＝ax的图象y＝ax－b的图象；
③y＝ax的图象y＝ax＋b的图象；
④y＝ax的图象y＝ax－b的图象．
(2)对称规律
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象 与y＝a－x的图象关于y轴对称
与y＝－ax的图象关于x轴对称
与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称
[跟踪训练]
1．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx；②y＝nx的图象为( )
解析：选C 由于02．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
解析：选D 从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
3．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．
解：(1)f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，
所以
又因为a＞0，且a≠1，所以a＝，b＝－3.
(2)f(x)单调递减，所以0＜a＜1，又f(0)＜0.
即a0＋b＜0，所以b＜－1.
故a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为(－∞，－1)．
(3)画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．
指数函数图象变换问题探究
为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f(x)＝2x为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象：
(1)y＝f(x－1)；(2)y＝f(|x|)＋1；(3)y＝－f(x)；(4)y＝|f(x)－1|.
[问题探究]
1．请分别写出这4组函数的解析式．
提示：(1)y＝f(x－1)＝2x－1；
(2)y＝f(|x|)＋1＝2|x|＋1；
(3)y＝－f(x)＝－2x；
(4)y＝|f(x)－1|＝|2x－1|.
2．若给出函数f(x)＝4x的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程．
提示：能．(1)将函数y＝f(x)＝4x的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＝4x－1的图象．
(2)保留函数y＝f(x)＝4x在y轴上及y轴右方的图象，并对称至y轴左边，再向上平移1个单位长度得到y＝f(|x|)＋1＝4|x|＋1的图象．
(3)函数y＝－f(x)＝－4x与y＝f(x)＝4x的图象关于x轴对称．
(4)将函数y＝f(x)＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x)－1＝4x－1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，便得到函数|f(x)－1|＝|4x－1|的图象．
[迁移应用]
1．若将函数更换为y＝，并得到图象如图所示，试根据函数y＝的图象，作出下列各函数的图象：
(1)y＝；(2)y＝－1；(3)y＝－.
解：(1)、(2)、(3)中的函数的图象分别如图①②③所示：
2．已知函数y＝f(x)的图象，怎样利用图象变换的方法分别得到函数y＝f(x±a)(a>0)，y＝f(x)±b(b>0)，y＝－f(x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|的图象，试写出变换过程．
解：(1)函数y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位长度得到．
(2)函数y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位长度得到．
(3)将函数y＝f(x)的图象关于x轴对称，便得到函数y＝－f(x)的图象．
(4)保留函数y＝f(x)(x≥0)的部分图象，再将其沿y轴翻折到左侧，便得到函数y＝f(|x|)的图象．
(5)保留函数y＝f(x)在x轴上及x轴上方的图象，并将y＝f(x)在x轴下方的图象沿x轴翻折到上方，便得到函数y＝|f(x)|的图象．
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝；②y＝ax(a>0，且a≠1)；
③y＝1x；④y＝－1.
A．0个 B．1个
C．3个 D．4个
解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．(2021·日照高一质量考试)函数f(x)＝的图象大致为( )
解析：选B ∵x≠0，f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，舍去A；∵f(1)＝e－e－1>2，∴舍去C、D；故选B.
3．函数f(x)＝2x－3(1解析：因为1答案：
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2－x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式，并作出f(x)的大致图象；
(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间和值域．
解：(1)当x＜0时，－x＞0，
所以f(－x)＝2x.
因为f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝2x，
所以f(x)＝
作出函数大致图象如图所示．
(2)由图象得：函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)，值域是(0，1]．
PAGE
11第二课时 对数函数图象及性质的应用(习题课)
对数型函数的单调性
角度一 比较对数值的大小
[例1] (链接教科书第145页例2)比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
[解] (1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln 0.3＜ln 2.
(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
综上所述，当a＞1时，loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，loga3.1＞loga5.2.
(3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜，
即log30.2＜log40.2.
(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，
所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；
(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
角度二 求解对数不等式
[例2] 解不等式：
(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；
(2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0，且a≠1)．
[解] (1)原不等式等价于
解得＜x≤3.
所以不等式的解集为.
(2)原不等式化为loga(x－4)＞loga(2x－1)．
当a＞1时，
不等式等价于 无解．
当0＜a＜1时，不等式等价于解得x＞4.
综上可知，当a＞1时，解集为 ；当0＜a＜1时，解集为{x|x＞4}．
常见对数不等式的2种解法
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
角度三 求对数型函数的单调区间
[例3] 求函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调区间．
[解] 设t＝x2－2x－3＞0，得x＞3或x＜－1，由于 t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，又y＝logt在定义域内单调递减，因而函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞)．
1．解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域．
2．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)型．
[跟踪训练]
1．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：选D ∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，∴c＞a＞b.故选D.
2．不等式log(5＋x)＜log(1－x)的解集为__________．
解析：因为函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，
所以解得－2＜x＜1.
答案：(－2，1)
3．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
对数函数性质的综合应用
[例4] 已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
[解] (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，
∴当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a.
∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，
∴a的取值范围为(0，1)∪.
(2)令t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数．
∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，
∴y＝logat为增函数，∴a>1.
当x∈[1，2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
1．对数函数性质的综合应用注意以下3点
(1)要分清函数的底数是a∈(0，1)，还是a∈(1，＋∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性，首先要确保f(x)>0，
(1)当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致；
(2)当00的前提下与y＝f(x)的单调性相反．
[跟踪训练]
(2021·东台中学月考)已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间．
解：(1)要使此函数有意义，则有或
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，∴当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当01．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
解析：选A 因为a＝log23.4＞1，0＜b＝log43.6＜1，c＝log30.3＜0，所以a＞b＞c，故选A.
2．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2，7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选B ∵lg(2x－4)≤1，∴0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，∴x的取值范围是(2，7]，故选B.
3．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选D 因为a＞1，所以y＝logax在[a，2a]上是增函数．
所以loga(2a)－logaa＝，
即loga2＝，所以a＝2，解得a＝4.
4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析：因为y＝log5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是.
答案：
5．(2021·烟台高一质检)已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若f(1)＝2，求函数f(x)在区间上的最大值；
(3)解不等式：loga(1＋x)>loga(3－x)．
解：(1)由得－1(2)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.
f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2(－x2＋2x＋3)，
所以当x∈[0，1]时，f(x)是增函数；当x∈时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
(3)当a>1时，解得不等式解集为
{x|1当0PAGE
5幂函数
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数 数学抽象、直观想象、逻辑推理
研究下列3个问题：
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
③如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度v＝t－1 m/s，这里v是t的函数．
[问题] 上述3个函数有什么共同的结构特征？
知识点一 幂函数的概念
形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
如何判断一个函数是幂函数？
提示：(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________．
解析：函数y＝＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．
答案：1
2．已知f(x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，则m＝________．
解析：∵函数f(x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，
∴m－1＝1，即m＝2.
答案：2
3．(2021·南京高一月考)幂函数y＝xα的图象过点(2，)，则α＝__________．
解析：因为幂函数y＝xα的图象过点(2，)，所以＝2α，解得α＝.
答案：
知识点二 幂函数的图象与性质
1．五种常见幂函数的图象
2．幂函数y＝xα的性质
(1)当α>0时，y＝xα具有以下两条性质：
①函数的图象都过点(0，0)和(1，1)；
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是增函数．
(2)当α<0时，y＝xα具有以下两条性质：
①函数的图象都过点(1，1)；
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数．
幂函数y＝xα(α为实数)的图象和性质的研究方法
(1)先研究幂函数的定义域，若定义域对称，判定其奇偶性；
(2)研究其在第一象限内的图象，再利用函数的奇偶性研究第三或第二象限内的图象与性质；
(3)不同的幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小．
1．给出下列说法：
①幂函数图象均过点(1，1)；
②幂函数的图象均在两个象限内出现；
③幂函数在第四象限内可以有图象；
④任意两个幂函数的图象最多有两个交点．
其中说法正确的有________(填序号)．
解析：根据幂函数的图象特征可知①正确，②③④错误．
答案：①
2．在下列四个图形中，y＝x的图象大致是( )
解析：选D 函数y＝x的定义域为(0，＋∞)，是减函数．
幂函数的概念
[例1] 已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．
[解] ∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x|x≠0}或y＝x0，定义域为{x|x≠0}．
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
[跟踪训练]
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x
C．y＝22x D．y＝x－1
解析：选C 显然C中y＝22x＝4x，不是y＝xα的形式，所以不是幂函数，而A、B、D中的α分别为，，－1，符合幂函数的结构特征，故选C.
2．已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b＝( )
A．2 B．1
C. D．0
解析：选A 因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
幂函数图象及其应用
[例2] 点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0，1)时，f(x)解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)；
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断．
[跟踪训练]
1.如图是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为( )
A．2，，－，－2
B．－2，－，，2
C．－，－2，2，
D．2，，－2，－
解析：选A 法一：曲线C1，C2过点(0，0)，(1，1)，且在第一象限内为增函数，所以n＞0，n为，2，显然C1对应y＝x2，C2对应y＝x.C3，C4过点(1，1)，且在第一象限内为减函数，所以n＜0，n为－2，－，显然C3对应y＝x，C4对应y＝x－2.
法二：取x＝2，分别代入y1＝x2，y2＝x，y3＝x，y4＝x－2，可求得y1＝4，y2＝，y3＝，y4＝，比较得y1＞y2＞y3＞y4，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为2，，－，－2.
2．幂函数f(x)＝x的大致图象为( )
解析：选B 由于f(0)＝0，所以排除C、D选项．而f(－x)＝(－x)＝＝＝x＝f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．故选B.
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(3，)，则f(x)＝________．
解析：设幂函数f(x)＝xα，把点(3，)代入得，
3α＝，解得α＝，即f(x)＝x.
答案：x
幂函数性质及其应用
角度一 比较大小
[例3] (链接教科书第132页例2)比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与；
(3)与.
[解] (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，∴>.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，
∴>.
(3)∵函数y1＝x为(0，＋∞)上的增函数，又＞1，
∴＞1＝1.
又∵函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且＜1，
∴＜1＝1，
∴＞.
比较幂值大小的两种基本方法
角度二 幂函数性质的综合应用
[例4] 已知函数f(x)＝x(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
[解] (1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴该函数的定义域为[0，＋∞)，
由幂函数的性质，该函数在定义域上单调递增．
(2)∵该函数图象过点(2，)，
∴2＝，
∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*)．
由f(2－a)>f(a－1)，得解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
(1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象过定点、单调性、奇偶性等；
(2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想．
[跟踪训练]
1．若(3－2m)＞(m＋1)，求实数m的取值范围．
解：因为y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以解得－1≤m＜.
故实数m的取值范围为.
2．已知幂函数f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时，f(x)的值域．
解：因为m∈{x|－2当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)，(2)都不满足；
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)，(2)都满足，且在区间[0，3]上是增函数，f(0)＝03＝0，f(3)＝33＝27，所以x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27]．
函数y＝x＋的图象与性质的探究
学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f(x)＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图．
[问题探究]
1．参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝x＋的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．
提示：(1)定义域：∵x≠0，
∴函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}；
(2)值域：函数f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)＝x＋为奇函数；
(4)单调性：由函数f(x)＝x＋的图象可知，函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，0)，(0，1)上单调递减．
2．试探究函数f(x)＝x＋(a>0)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出它的简图．
提示：(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)单调性：函数f(x)＝x＋(a>0)在(－∞，－ )和(，＋∞)上为增函数，在[－，0)和(0， ]上为减函数．
证明：任取x1，x2∈(0， ]，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·.
因为0所以x1－x2<0，0所以>1，
所以1－<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(0， ]上为减函数．
任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2).
因为x1－x2<0，x1x2>a，
所以<1，所以1－>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
所以f(x1)所以f(x)在(，＋∞)上为增函数．
同理，f(x)在(－∞，－)上为增函数，在(－，0)上为减函数．
其图象如图所示．
[迁移应用]
试探究函数f(x)＝x＋(a<0)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出它的简图．
解：(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：R；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)
＝x1＋－
＝(x1－x2)，
因为0所以x1－x2<0，
又a<0，所以1－>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
同理可知，函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．
其简图如图所示．
1．在函数①y＝；②y＝x2；③y＝2x2；④y＝x－中，是幂函数的是( )
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
解析：选C 幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，④是α＝－的情形，所以①②④都是幂函数；③中x2的系数是2，所以不是幂函数，所以只有①②④是幂函数．
2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝( )
A. B．1 C. D．2
解析：选A ∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝＝，即α＝－，∴k＋α＝.
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.
4．若y＝ax是幂函数，则该函数的值域是________．
解析：由已知y＝ax是幂函数，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
5．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0.
答案：(－∞，0)
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11第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)
指数函数单调性的应用
角度一 指数式的大小比较
[例1] (链接教科书第136页例1)比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)与；
(3)1.50.3和0.81.2.
[解] (1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，
∴1.52.5＜1.53.2.
(2)指数函数y＝与y＝的图象如图，
由图知>.
(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，
而0.81.2＜0.80＝1，
∴1.50.3＞0.81.2.
比较指数式大小的3种类型及处理方法
角度二 指数不等式
[例2] (链接教科书第137页例2)求解下列不等式：
(1)已知3x≥，求实数x的取值范围；
(2)若a－5x＞ax＋7(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)因为＝30.5，所以由3x≥可得3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5.
(2)①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－.
②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－.
综上，当0＜a＜1时，x＞－；当a＞1时，x＜－.
指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)；
(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝(a＞0，且a≠1)等．
角度三 指数型函数的单调性
[例3] 判断f(x)＝ x2－2x的单调性，并求其值域．
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在(1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝x2－2x在(－∞，1]上递增，在(1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0＜≤＝3，
∴原函数的值域为(0，3]．
函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成；
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
[跟踪训练]
1．设a＝0.60.4，b＝0.40.6，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．c解析：选B ∵a＝0.60.4，c＝0.40.4，由幂函数的性质可得a>c.
又∵b＝0.40.6由指数函数的性质可得b2．不等式 x2－2≤2x的解集为________．
解析：∵ x2－2＝(2－1)－2＝22－，
∴原不等式等价于22－x2≤2x.
∵y＝2x是R上的增函数，∴2－x2≤x，
∴x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1，
∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－2}．
答案：{x|x≥1或x≤－2}
3．求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间．
解：函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈(0，＋∞)．
y＝(2x)2－2×2x＋5＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，t∈(0，＋∞)．
当t≥1时，2x≥1，x≥0；当0∵y＝(t－1)2＋4在[1，＋∞)上递增，t＝2x在[0，＋∞)上递增，
∴y＝(2x－1)2＋4的单调递增区间为(0，＋∞)．
同理可得单调递减区间为(－∞，0]．
指数函数性质的综合应用
[例4] 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
[解] (1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－＋，
故f(x)在R上为减函数．
(3)∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，
∴t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，
∴k的取值范围是.
解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧；
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行；
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明：f(x)>0.
解：(1)由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称．
令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3，则f(x)＝g(x)·φ(x)．
∵g(－x)＝＝＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，
∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，
∴f(x)＝·x3为偶函数．
(3)证明：当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0，∴＋>0.
∵x3>0，∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
指数型函数的实际应用
[例5] (链接教科书第139页例5)某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)．
(参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127)
[解] (1)1年后该城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；
…
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10
＝100×1.01210≈112.7(万人)．
解决指数型函数应用题的流程
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息；
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式；
(3)解模：运用数学知识解决问题；
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．
[跟踪训练]
(2021·济宁高一质量考试)目前“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行．因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与药熏时间t(小时)成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)的函数关系式为y＝(a为常数)．已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)关于时间t(小时)的变化曲线如图所示．
(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
解：(1)依题意，当0≤t≤0.2时，可设y＝kt，且1＝0.2k，解得k＝5，
又由1＝，解得a＝0.2，
所以y＝
(2)令≤0.125，即≤，得5t－1≥3，解得t≥0.8，
即至少需要经过0.8 h后，学生才能回到教室．
1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即实数a的取值范围是.
2．设a＝，b＝，c＝2，则( )
A．cC．b解析：选C 由于指数函数y＝2x为R上的增函数，a＝＝20.2<2＝c，
幂函数y＝x0.2为(0，＋∞)上的增函数，则a＝＝20.2>＝b.因此，b3．函数y＝的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
解析：选A 由已知得，f(x)的定义域为R.
设u＝1－x，则y＝.
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝在(－∞，＋∞)上为增函数，故选A.
4．不等式52x2>5x＋1的解集是________．
解析：由52x2>5x＋1得2x2>x＋1，
解得x<－或x>1.
答案：∪(1，＋∞)
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