全称量词命题与存在量词命题
2．3.1 全称量词命题与存在量词命题
2．3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
新课程标准解读 核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 数学抽象
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定以及真假判别 数学抽象、逻辑推理
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定以及真假判别 数学抽象、逻辑推理
一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸．”探险家想了想说“我将被五马分尸”．
[问题] 探究家如此回答，能保住性命吗？
知识点一 全称量词与全称量词命题
全称量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词
符号
全称量词命题 含有全称量词的命题
形式 x∈M，p(x)
1．常见的全称量词还有“一切”“任取(选)”“凡是”等．
2．全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称量词命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，都使p(x)成立，则全称量词命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．
3．有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )
(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．( )
(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．下列命题是全称量词命题的是________(填序号)．
①每个四边形的内角和都是360°；
②任何实数都有算术平方根；
③ x∈Z，2x＋1是整数；
④存在一个x∈R，使2x＋1＝3.
答案：①②③
3．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________．
解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立．
答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
知识点二 存在量词与存在量词命题
存在量词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词
符号
存在量词命题 含有存在量词的命题
形式 x∈M，p(x)
1．常见的存在量词还有“有些”“对某个”“至少有一个”等．
2．存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着存在量词命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x)成立，则存在量词命题为真命题．若不存在，则为假命题．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．( )
(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( )
(3)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．下列语句是存在量词命题的是________(填序号)．
①任意一个自然数都是正整数；
②存在整数n，使n能被11整除；
③若3x－7＝0，则x＝；
④有些函数为奇函数．
答案：②④
3．下列命题中，正确的有________(填序号)．
① x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；
③ x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
解析：① x∈R，x≤0.正确；
②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；
③ x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π.
综上可得①②③都正确．
答案：①②③
知识点三 全称量词命题和存在量词命题的否定
p 綈p 结论
全称量词命题： x∈M，p(x) x∈M，綈p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题： x∈M，p(x) x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
1．要否定全称量词命题“ x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“ x∈M，綈p(x)”成立．
2．要否定存在量词命题“ x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“ x∈M，綈p(x)”成立．
如何对省略量词的命题进行否定？
提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之亦然．
1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．
答案： x∈R，x3－x2＋1>0
2.(2021·泰州高一月考)命题“ x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是________________．
答案： x∈R，x2＋x＋1＞0
知识点四 存在(全称)量词命题真假的判断
1．直接判定命题的真假
命题 判定为真 判定为假
存在量词命题 找到一个特例 严格证明
全称量词命题 严格证明 找到一个反例
2．利用命题p和綈p的对立关系(真假性相反)判定．
下列命题中的假命题是( )
A． x∈R，|x|＋1>0
B． x∈N*，(x－1)2>0
C． x∈R，|x|<1
D． x∈R，＋1＝2
解析：选B A中命题是全称量词命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称量词命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当x＝0时，|x|＝0，故是真命题；D中命题是存在量词命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题．
全称量词命题与存在量词命题的判断
[例1] 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．
[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称量词命题．
(2)可以改为所有矩形的对角线都不相等，故为全称量词命题．
(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(5)可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题．
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
[注意] 全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
[跟踪训练]
1.(多选)下列语句是存在量词命题的是( )
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数
D．存在x∈R，2x＋1是奇数
解析：选ABD 因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．
2．用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题：
(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(4)有些整数既能被2整除，又能被3整除．
解：(1) x∈R，x2＋x＋1>0.
(2) x∈Q，x2＋x＋1是有理数．
(3) a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(4) x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
全称量词命题、存在量词命题的真假判断
[例2] (链接教科书第35页例1)判断下列命题的真假：
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0.
[解] (1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“ x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可；
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
[跟踪训练]
1．(多选)下列结论中正确的是( )
A． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
解析：选CD 当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，
当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，
所以A、B错误，C、D正确．故选C、D.
2．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假：
(1) x∈N，2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0.
解：(1)是全称量词命题，因为 x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题.
全称量词命题与存在量词命题的否定
[例3] (链接教科书第36页例2)(1)命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
(2)命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
D． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
[解析] (1)利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.故选C.
(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N*，使得n＜x2”．故选D.
[答案] (1)C (2)D
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论；
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
[跟踪训练]
1．设x∈Z，集合A为偶数集，命题“ x∈Z，2x∈A”的否定为( )
A． x∈Z，2x A B． x Z，2x∈A
C． x∈Z，2x∈A D． x∈Z，2x A
解析：选D 全称量词命题的否定是存在量词命题，即 x∈Z，2x A.故选D.
2.(2021·苏州高一月考)设有下面四个命题：p1： x∈R，x2＋1<0；p2： x∈R，x＋|x|>0；p3： x∈Z，|x|∈N；p4： x∈R，x2－2x＋3＝0.其中真命题为( )
A．p1 B．p2
C．p3 D．p4
解析：选C 对于A： x∈R，x2＋1≥1，所以该命题为假命题；对于B：当x≤0时x＋|x|＝0，所以该命题为假命题；对于C：当 x∈Z时|x|均为非负整数，所以该命题为真命题；对于D：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≠0，所以该命题为假命题．
3．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)有的四边形没有外接圆；
(2)某些梯形的对角线互相平分；
(3)被8整除的数能被4整除．
解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．
(2)命题的否定：每一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．
(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题.
已知全称(存在)量词命题的真假求参数
[例4] (2021·常州中学高一月考)已知命题p： x∈R，2x≠－x2＋m，命题q： x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．
[解] 因为命题p为假命题，所以命题p的否定为真命题，即命题“ x∈R，2x＝－x2＋m”为真命题．
则－x2－2x＋m＝0有实根．
所以Δ＝4＋4m≥0，所以m≥－1.
若命题q： x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真命题，
则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.
所以m≥－1且m≥－2，
所以m的取值范围为[－1，＋∞)．
已知全称(存在)量词命题的真假求参数的解题思路
(1)已知全称量词命题的真假求参问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现 “恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；
(2)已知存在量词命题的真假求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．解决此类问题时，应尽量分离参数．
[跟踪训练]
已知命题“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________________．
解析：题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“ x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．
所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1.
答案：(－∞，1]
1．下列结论正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“ x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题；
③命题“ x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定为“ x∈R，x2＋4x＋4＞0”．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C ①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；②命题“ x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题，故②正确；③命题“ x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定为“ x∈R，x2＋4x＋4＞0”，故③正确．故选C.
2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：选B A是全称量词命题．
B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．
因为＋(－)＝0，所以C为假命题．
对于任何一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B.
3．命题“ x∈N，x3>x2”的否定形式是( )
A． x∈N，x3≤x2 B． x∈N，x3>x2
C． x∈N，x3
解析：选D 命题“ x∈N，x3>x2”的否定形式是存在量词命题“ x∈N，x3≤x2”．故选D.
4．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A． x∈R，|x|>0 B． x∈R，|x|>0
C． x∈R，|x|≤0 D． x∈R，|x|≤0
解析：选C 由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.
5．(2021·盐城中学高一月考)已知命题p： 1≤x≤3，都有m≥x，命题q： 1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
解：由题意知命题p，q都是真命题．
由 1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由 1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．
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9充分条件、必要条件、充要条件
新课程标准解读 核心素养
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 数学抽象、逻辑推理
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关．
[问题] (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)从数学的角度如何描述这种关系？
知识点一 充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件；q是p的必要条件 p不是q的充分条件；q不是p的必要条件
判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
1．p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
提示：相同，都是p q.
2．以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
提示：这五种表述形式是等价的．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．( )
(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．( )
(3)若q不是p的必要条件，则“p q”成立．( )
(4)“x>1”是“x>0”的充分条件．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(2021·姜堰二中月考)已知p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B 已知p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2，∴q p，但p q，∴p是q的必要不充分条件．
3．(2021·山东日照高一月考)已知a，b∈R，则“a>b”是“>1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选D 当a＝－1，b＝－2时，a>b，但＝<1；当a＝－2，b＝－1时，>1，但ab”是“>1”的既不充分又不必要条件，故选D.
知识点二 充要条件
1．定义：如果p q，且q p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p.
2．记法：如果p是q的充要条件，就记作p q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”．
3．传递性：“ ”和“ ”都具有传递性，即
(1)如果p q，q s，那么p s；
(2)如果p q，q s，那么p s．
数学中的定义既揭示了概念的内涵，也呈现了概念的外延．所以数学中的定义其实就是充要条件．
1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
提示：正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．(2021·无锡高一月考)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选C 设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
2．设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：A
3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．
答案：充要
充分、必要、充要条件的判断
[例1] 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；
(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
[解] (1)因为x＝1或x＝2 x－1＝，x－1＝ x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．
(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q p.
所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0.
故p q，但q p.
所以p是q的必要不充分条件．
(4)因为
所以p是q的既不充分也不必要条件．
充分、必要、充要条件的判断方法
(1)定义法
若p q，q p，则p是q的充分不必要条件；
若p q，q p，则p是q的必要不充分条件；
若p q，q p，则p是q的充要条件；
若p q，q p，则p是q的既不充分又不必要条件．
(2)集合法
对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：
若A B，则p是q的充分条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A?B，则p是q的充分不必要条件；
若A?B，则p是q的必要不充分条件．
[跟踪训练]
1．(多选)已知a，b，c是实数，下列命题结论正确的是( )
A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件
B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分又不必要条件
解析：选CD 对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是ab，但是a2bc2得c≠0，则a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是ab，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分又不必要条件．故选C、D.
2．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示．
(1)因为q r s，s q，所以s是q的充要条件．
(2)因为r s q，q r，所以r是q的充要条件．
(3)因为p r s q，所以p是q的充分条件.
充分条件与必要条件的应用
[例2] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0[母题探究]
1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
所以或
解得m≥9，
故实数m的取值范围是{m|m≥9}．
2．(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则方程组无解．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
充分条件与必要条件的应用技巧及求解步骤
(1)应用技巧：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[跟踪训练]
1．(2021·扬州中学月考)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A (A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________．
解析：A (A∩B) A B，B＝{x|3≤x≤22}．
若A＝ ，则2a＋1>3a－5，解得a<6；
若A≠ ，则A B 6≤a≤9.
综上可知，A (A∩B)的充要条件为a≤9；
一个充分不必要条件可为8≤a≤9.
答案：a≤9 8≤a≤9(答案不唯一)
2．(2021·泰州高一月考)已知集合A＝{x|x2－5x－6≤0}，B＝{x|(x－m)(x－m－6)≤0}，其中m∈R.
(1)当m＝2时，求A∪B；
(2)若“x∈A”是“x∈ RB”的充分条件，求m的取值范围．
解：A＝{x|x2－5x－6≤0}＝{x|－1≤x≤6}，
B＝{x|m≤x≤m＋6}，
(1)当m＝2时， B＝{x|2≤x≤8}，
所以A∪B＝{x|－1≤x≤8}．
(2)因为“x∈A”是“x∈ RB”的充分条件，
所以A RB，
又 RB＝{x|xm＋6}，
所以m>6或m＋6<－1，即m>6或m<－7，
所以实数m的取值范围为(－∞，－7)∪(6，＋∞).
充要条件的证明
[例3] (2021·栟茶高级中学高一月考)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等实根的充要条件是－[证明] (1)充分性：∵－∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，
且－3m>0，
∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根．
(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，
则有解得－综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反；
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
[注意] 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．
[跟踪训练]
(2021·盐城中学高一月考)已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件．
证明：充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.
∵ac<0，∴x1·x2＝<0，∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程．
设两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝<0，∴ac<0.
综上知，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
充分条件、必要条件、充要条件的探求
[例4] (1)关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件是( )
A．m< B．m<
C．m<－ D．m<－
(2)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．
(ⅰ)a，b都为0的必要条件是________；
(ⅱ)使a，b都不为0的充分条件是________．
[解析] (1)由题意可得Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≥0，解得m≤.四个选项中，只有m<是m≤的必要条件，故选A.
(2)①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.
[答案] (1)A (2)(ⅰ)①② (ⅱ)③
寻求充分条件、必要条件、充要条件的方法
(1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p.即p q；
(2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p.即q p；
(3)寻求q的充要条件有两种方法：
①等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证；
②非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性，即从必要性和充分性两方面说明．
[跟踪训练]
(2021·连云港高级中学高一月考)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解：①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合要求．
②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.
设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
(ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为 a<0；
(ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为 0综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
1．设x∈R，则“1A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B “1∴“12．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选D 若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件．
3．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是( )
解析：选BD 由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选B、D.
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9命题、定理、定义
新课程标准解读 核心素养
1.理解命题的概念与命题的判断，理解命题的结构， 能判断命题的真假 数学抽象、逻辑推理
2.了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题 逻辑推理
“红豆生南国，春来发几枝．愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗．
[问题] (1)在这4句诗中，哪几句是疑问句？哪几句是陈述句？
(2)疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？
知识点一 命题
1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．
2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中叫作命题的条件，叫作命题的结论．
3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．
1．陈述句一定是命题吗？
提示：不一定．
2．命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的条件和结论分别是什么？
提示：条件：x＝2；结论：x2－3x＋2＝0.
3．“若p，则q”形式的命题一定是真命题吗？
提示：不一定．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题．( )
(2)“x2－3x＋2＝0”是命题．( )
答案：(1)√ (2)×
2．语句“若a＝b，则a＋c＝b＋c”( )
A．不是命题 B．是真命题
C．是假命题 D．不能判断真假
答案：B
3．下列命题是真命题的是________(填序号)．
①若a＝b，则a2＝b2；②若a2＝b2，则a＝b；③对顶角相等；④两直线平行，同旁内角互补．
答案：①③④
知识点二 定理、定义
1．定理：在数学中，有些已经被证明为的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．
2．定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．
1．数学中的定理、推论和定义都是真命题．
2．数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．
定义有什么特点？
提示：定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别．
命题的概念
[例1] 判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)一个数的算术平方根一定是负数．
[解] (1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
判断语句是否是命题的策略
(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；
(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．
[跟踪训练]
(2021·西安一中月考)下列语句中是命题的有______；是真命题的有________(填序号)．
①这幅画真漂亮！
②求证是无理数；
③正切函数是周期函数吗？
④并非所有的人都喜欢苹果；
⑤若x＝2，则x2－1>0.
解析：①是感叹句，不是命题．
②是祈使句，不是命题．
③是疑问句，不是命题．
④是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题．
⑤是命题，x＝2时，x2－1＝3>0，可以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题．
答案：④⑤ ④⑤
判断命题的真假
[例2] (链接教科书第26页例3)判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.
[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
命题真假的判定方法
(1)真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；
(2)假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
[跟踪训练]
1．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．若xy＝1，则x，y互为倒数
B．平面内，四条边相等的四边形是正方形
C．平行四边形是梯形
D．若ac2>bc2，则a>b
解析：选AD A、D是真命题；B.平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形；C.平行四边形不是梯形．
2．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
解：(1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1 Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
命题的结构形式
[例3] (链接教科书第26页例2)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
[解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．
(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．
将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则
[注意] 若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而改写成“若p，则q”的形式．
[跟踪训练]
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(3)两个相似三角形是全等三角形．
解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．
(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
数学中的新定义
[例4] (2021·济宁一中月考)对于a，b∈N，规定a*b＝集合M＝{(a，b)|a*b＝12，a，b∈N*}，则M中元素的个数为( )
A．6 B．8
C．15 D．16
[解析] 分a，b奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论．
如果a，b奇偶性相同，满足条件的有1＋11＝2＋10＝3＋9＝…＝6＋6＝…＝9＋3＝10＋2＝11＋1，共11种情况，即有11组(a，b)符合M中元素的要求；
如果a，b奇偶性不同，则满足条件的有1×12＝3×4＝4×3＝12×1，共4种情况，即有4组(a，b)符合M中元素的要求．
综上，M中元素的个数为11＋4＝15.故选C.
[答案] C
数学中的新定义题时常会出现，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用新定义，挖掘内涵，才能抓住问题的实质，从而找到解决问题的途径．
[跟踪训练]
若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于， 属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，则称是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合：
①＝{ ，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②＝{ ，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③＝{ ，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④＝{ ，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的一个拓扑的集合的所有序号是________．
解析：选项①中，{a}∪{c}＝{a，c} ，故①中不是集合X上的拓扑；③中{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c} ，故③中不是集合X上的拓扑；②④满足集合X上的拓扑的集合的定义，故答案为②④.
答案：②④
由命题的真假求参数的范围
[例5] (2021·江苏苏州检测)已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝ 是假命题，则实数a的取值范围是________．
[解析] 法一：若A∩B＝ 是真命题，则a≤－3，
∴A∩B＝ 是假命题时，a>－3.
法二：若A∩B＝ 是假命题，则A∩B≠ 是真命题，即集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，
易得a>－3.
[答案] (－3，＋∞)
由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤
第一步，明确命题的条件和结论；
第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件；
第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围．
[注意] 若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集．
[跟踪训练]
若A＝{1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，则B A成立是真命题，求实数a的值．
解：∵集合A＝{1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，B A成立是真命题．
∴B＝ 或B＝{1}或B＝{2}，∴a＝0或a＝1或a＝2.
1．下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
解析：选D 命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确．
2．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．所有质数都是奇数
B．若 >，则a>b
C．对任意的x∈N*，都有x2≥x成立
D．方程x2＋x＋2＝0有实根
解析：选BC 选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；不论x取N*内的任何数，x2≥x恒成立，故C正确；选项D错，因为Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x2＋x＋2＝0无实根．
3．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当a>b时，有ac2>bc2；
(2)实数的平方是非负实数；
(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．
解：(1)若a>b，则ac2>bc2，是假命题．
(2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题．
(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题.
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