2021—2022学年苏科版数学八年级下册9.1～9.3阶段复习提升练（旋转、中心对称、平行四边形）（Word版含答案）

9.1～9.3 阶段复习提升练（旋转、中心对称、平行四边形）
-2021-2022学年八年级数学下册（苏科版）
一、选择题
1、（2020春 西湖区校级期中）下面四个图标中，中心对称图形个数是（　　）
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
2、（2020·苏州·中考真题）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
(2题) (5题) (6题)
3、（2020春 罗山县期末）已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，如果给出条件AB∥CD，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，以下四种说法正确的是（　　）
①如果再加上条件BC＝AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件∠BAD＝∠BCD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件AO＝CO，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件∠DBA＝∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①④ B．①③④ C．②③ D．②③④
4、（2020秋 新华区校级月考）用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个内角是直角 B．没有一个内角是直角
C．至少有一个内角是直角 D．每一个内角都不是直角
5、（2021春 沙坪坝区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（　　）
A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2
6、（2020春 萧山区期末）如图，在 ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．若∠A：∠ADC＝1：2，则∠ABE的度数是（　　）
A．70° B．65° C．60° D．55°
7、（2020 贵阳模拟）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是　 　．
(7题) (8题)
8、（2020春 青川县期末）如图，平行四边形ABCD中，AC和BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则边AD长的取值范围是（　　）
A．1＜AD＜7 B．5＜AD＜11 C．6＜AD＜8 D．3＜AD＜4
9、（2020春 沙坪坝区期末）平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为（　　）cm
A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
10、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中，正确的是（　　）
A.只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②④
(10题) (11题) (12题)
二、填空题
11、如图，平行四边形ABCD中，，，与的平分线分别交AB于F、E，
则____________
12、如图，直线过的中心点，交于点，交于点，己知，则S阴影=______．
13、（2021·山东枣庄·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_______．
(13题) (15题) (16题)
14、（2020春 临邑县期末）平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△OAB的周长比△BOC的周长小3cm，若AB＝5cm，则平行四边形ABCD的周长是　 　cm．
15、（2020春 仙居县期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，若AB＝5，AD＝3，则BD的长为　　．
16、（2020 长春模拟）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝　　．
17、（2019秋 江北区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　 　秒后其中一个新四边形为平行四边形．
(17题) (18题)
18、（2020 江西模拟）如图， ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠B＝60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为　 　．
三、解答题
19、（2020 衢州模拟）如图，在 ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
20、（2020·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，
的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，
请画出平移后的A1B1C1；
（2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，
请画出旋转后的A2B2C2；
（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点
（　 　，　 　）中心对称．
21、（2020秋 招远市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
22、（2019春 西湖区校级月考）如图，在 ABCD中，AP、BP分别是∠DAB和∠CBA的角平分线，已知AD＝5．
（1）求线段AB的长；
（2）延长AP，交BC的延长线于点Q．
①请在答卷上补全图形；
②若BP＝6，求△ABQ的周长．
23、（2019春 虹口区期中）如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．
（1）求证：FB＝AD．
（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．
24、（2020 杭州模拟）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．
25、（2018春 鄂城区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
26、如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．
27、（2020·浙江嘉兴·中考真题）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．
（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
9.1～9.3 阶段复习提升练（旋转、中心对称、平行四边形）
-2021-2022学年八年级数学下册（苏科版）（解析）
一、选择题
1、（2020春 西湖区校级期中）下面四个图标中，中心对称图形个数是（　　）
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
【点拨】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【解析】解：根据中心对称图形的定义可知从左到右第1个图形和第三个图形是中心对称图形，第二和第四个图形不是中心对称图形．
故选：C．
2、（2020·苏州·中考真题）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.
根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．
【详解】
解：设=x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB. ∴∠=∠B.
∵，∴∠C=∠CA=x°. ∴∠=∠C+∠CA=2x°. ∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，
∴x+2x+108=180. 解得x=24. ∴的度数为24°.
故选：C.
3、（2020春 罗山县期末）已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，如果给出条件AB∥CD，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，以下四种说法正确的是（　　）
①如果再加上条件BC＝AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件∠BAD＝∠BCD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件AO＝CO，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件∠DBA＝∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①④ B．①③④ C．②③ D．②③④
【点拨】平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；
2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；
5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
根据已知，结合题意，画出图形，再根据平行四边形的判定，逐一判断即可．
【解析】解：①也可能是等腰梯形．
②可得AD∥BC，故正确．
③可判定△ABO≌△CDO，就有AB＝CD，故可判定为平行四边形，正确．
④也可能是等腰梯形．
故选：C．
4、（2020秋 新华区校级月考）用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个内角是直角 B．没有一个内角是直角
C．至少有一个内角是直角 D．每一个内角都不是直角
【点拨】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解析】解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角，
故选：A．
5、（2021春 沙坪坝区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（　　）
A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2
【点拨】可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE；∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，∴BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD；∴∠AEF＝∠CFE；∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故C正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵∠1＝∠2，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD；
∴∠AEF＝∠CFE；∴AE∥CF；∴四边形AECF是平行四边形，故D正确；
添加AE＝CF后，不能得出△ABE≌△CDF，进而得不出四边形AECF是平行四边形，
故选：A．
6、（2020春 萧山区期末）如图，在 ABCD中，E是CD上一点，BE＝BC．若∠A：∠ADC＝1：2，则∠ABE的度数是（　　）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【点拨】根据平行四边形的性质和∠A：∠ADC＝1：2，可以得到∠A的度数，从而可以得到∠C的度数，然后根据BE＝BC，可以判断△BCE的形状，再根据平行线的性质，可以得到∠ABE和∠BEC的关系，从而可以得到∠ABE的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠ADC＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A：∠ADC＝1：2，
∴∠A＝60°，∠ADC＝120°，∴∠C＝60°，
∵BE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°，
∵DC∥AB，∴∠BEC＝∠ABE，∴∠ABE＝60°，
故选：C．
7、（2020 贵阳模拟）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是　 　．
【点拨】直接利用平行四边形的性质得出AO＝CO，BO＝DO，DC＝AB＝6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝6，
∵AC+BD＝16，
∴AO+BO＝8，
∴△ABO的周长＝AO+OB+AB＝8+6＝14．
故答案为：14．
8、（2020春 青川县期末）如图，平行四边形ABCD中，AC和BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则边AD长的取值范围是（　　）
A．1＜AD＜7 B．5＜AD＜11 C．6＜AD＜8 D．3＜AD＜4
【点拨】根据平行四边形对角线互相平分可得AO＝4，DO＝3，再根据三角形的三边关系可得4﹣3＜AD＜4+3，再解即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，DO＝BD，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴4﹣3＜AD＜4+3，
解得：1＜AD＜7，
故选：A．
9、（2020春 沙坪坝区期末）平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为（　　）cm
A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
【点拨】根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE为等腰三角形，然后分别讨论BE＝2cm，CE＝3cm或BE＝3cm，CE＝2cm，继而求得答案．
【解析】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE为角平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，
∴①当AB＝BE＝2cm，CE＝3cm时，BC＝BE+CE＝5cm，
则平行四边形的周长＝2（2+5）＝14（cm）；
②当AB＝BE＝3cm时，CE＝2cm，BC＝BE+CE＝5cm，
则平行四边形的周长＝2（3+5）＝16（cm）；
故选：D．
10、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中，正确的是（　　）
A.只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②④
【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质，证明四边形BCDF为平行四边形是解题关键．
由平行四边形的判定定理判断②，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断①，然后由三角形三边关系判断③，最后由等边三角形的性质分别求出△ACD、△ACB、△ABE的面积，计算即可判断④．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，，
∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，∴BF＝AB，
∴BF∥AB，CD＝BF，∴四边形BCDF为平行四边形，故②正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，∴DF∥BC，
又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥DF，故①正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，∴DA+DF＞BE，故③错误；
设AC＝x，则AB＝2x，，
，故④正确；
故选：D．
二、填空题
11、如图，平行四边形ABCD中，，，与的平分线分别交AB于F、E，
则____________
【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△ADF与△CBE是等腰三角形是关键．
由平行四边形ABCD中，∠ADC，∠BCD的平分线分别交AB于点F、E，易证得△ADF与△CBE是等腰三角形，又由AB=5，BC=3，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=5，AD=BC=3，
∴∠AFD=∠CDF，∠DCE=∠BEC，
∵∠ADC，∠BCD的平分线分别交AB于点F、E，
∴∠ADF=∠CDF，∠BCE=∠DCE，
∴∠AFD=∠ADF，∠BCE=∠BEC，
∴AF=AD=3，BC=BE=3，
∴EF=AF+BE-AB=3+3-5=1．
故答案为1．
12、如图，直线过的中心点，交于点，交于点，己知，则S阴影=______．
【分析】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定是解题的关键．
证明△MOD≌△NOB，得到S△MOD=S△NOB，利用平行四边形的性质得到S阴影=，由此求出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC，OB=OD，∴∠MDO=∠NBO，
∵∠MOD=∠NOB，∴△MOD≌△NOB，∴S△MOD=S△NOB，
∴S阴影=，
故答案为：1．
13、（2021·山东枣庄·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_______．
试题分析：坐标与图形变化-旋转
连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，
直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．∵直线MN为：x=1，设直线CC′为y=kx+b，
由题意：， ∴， ∴直线CC′为y=x+，
∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点（，）， ∴直线EF为y=﹣3x+2，
由得， ∴P（1，﹣1）．
14、（2020春 临邑县期末）平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△OAB的周长比△BOC的周长小3cm，若AB＝5cm，则平行四边形ABCD的周长是　 　cm．
【点拨】根据平行四边形性质得出OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，求出BC＝8cm，即可得出平行四边形的周长．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵△OAB的周长比△OBC的周长小3cm，∴（BC+OC+OB）﹣（AB+OA+OB）＝3cm，
∴BC﹣AB＝3cm，∴BC＝AB+3cm＝8cm，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝26cm；
故答案为：26．
15、（2020春 仙居县期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，若AB＝5，AD＝3，则BD的长为　　．
【点拨】根据AC⊥BC，AB＝5，AD＝3，可以得到AC的长，再根据平行四边形的性质，可以得到DE和BE的长，然后根据勾股定理即可求得BD的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，
∵AC⊥BC，AB＝5，AD＝3，∴∠ACB＝90°，BC＝3，∴AC＝4，
作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
∵AC⊥BC，∴AC∥DE，
又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE，AD＝CE，∴DE＝4，BE＝6，
∵∠DEB＝90°，∴BD＝＝＝2，
故答案为：2．
16、（2020 长春模拟）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝　　．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．
延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．
【解析】解：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，∴△ADE≌△GCE，∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，∴FE⊥AG，∴Rt△AEF中，EF＝AF＝4，
故答案为：4．
17、（2019秋 江北区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　 　秒后其中一个新四边形为平行四边形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想．
当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
【解析】解：根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
①∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案是：4或5．
18、（2020 江西模拟）如图， ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠B＝60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为　 　．
【点拨】分两种情况：（1）当∠BPC＝90°时，①由直角三角形的性质即可得出BP＝2；
②当点P在边AD上，AP＝DP＝2时，由等边三角形的性质和勾股定理求出BP即可；
（2）当∠BCP＝90°时，CP＝PD＝，由勾股定理求出BP即可．
【解析】解：分两种情况：
（1）当∠BPC＝90°时，
①点P在AB边上时，∵∠B＝60°，∴∠BCP＝30°，∴BP＝BC＝2；
②点P在边AD上，AP＝DP＝2时，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2，∠D＝∠B＝60°，
∴DP＝CD，∴△PCD是等边三角形，PC＝CD＝2，
∴BP＝＝＝2；
（2）当∠BCP＝90°时，如图3所示：则CPD＝90°，
∵CD＝AB＝2，∠D＝∠ABC＝60°，∴∠PCD＝30°，
∴PD＝CD＝1，CP＝PD＝，∴BP＝＝；
综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或2或．
故答案为：2或2或．
三、解答题
19、（2020 衢州模拟）如图，在 ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
【点拨】本题中，在连接BD交AC于O，则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【解析】证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF．
即EO＝FO．
∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
20、（2020·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），
C（2，1）．
（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；
（2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；
（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称．
【分析】
（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2；
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
【详解】
解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点，
得到A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，分别确定旋转后的对应点，
得到A2B2C2即为所求；
（3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称．
故答案为：﹣2，0．
21、（2020秋 招远市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB，求出∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出AF＝EF，求出△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质得出DF＝CF，再根据平行四边形的判定得出即可．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，∴四边形ACED是平行四边形．
22、（2019春 西湖区校级月考）如图，在 ABCD中，AP、BP分别是∠DAB和∠CBA的角平分线，已知AD＝5．
（1）求线段AB的长；
（2）延长AP，交BC的延长线于点Q．
①请在答卷上补全图形；
②若BP＝6，求△ABQ的周长．
【点拨】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到DP＝AD＝5，CP＝BC＝5，进而得出AB的长；
（2）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到AB＝QB，再根据BP平分∠ABQ，即可得出BP⊥AQ，AP＝QP，依据勾股定理得出AP的长，进而得到△ABQ的周长．
【解析】解：（1）∵在 ABCD中，AD＝5，∴BC＝5，
∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DPA，
∵AP平分∠BAD，∴∠BAP＝∠DAP，∴∠DAP＝∠DPA，∴DP＝AD＝5，
同理可得，CP＝BC＝5，∴CD＝10，∴AB＝10；
（2）①如图所示：
②∵AD∥BQ，∴∠Q＝∠DAP，
又∵∠DAP＝∠BAP，∴∠Q＝∠BAP，∴AB＝QB＝10，
又∵BP平分∠ABQ，∴BP⊥AQ，AP＝QP，
∴Rt△ABP中，AP＝＝＝8，
∴AQ＝16，∴△ABQ的周长为：16+10+10＝36．
23、（2019春 虹口区期中）如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．
（1）求证：FB＝AD．
（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．
【点拨】（1）证△DEC≌△AEF（AAS），得出DC＝FA，进而得出结论；
（2）由平行四边形的对边平行证出∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，由等腰三角形的性质得出∠AEB＝∠ABE，即可得出答案．
【解析】（1）证明∵E为AD的中点，∴DE＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝DC，∴∠EDC＝∠EAF，
在△DEC和△AEF中，，∴△DEC≌△AEF（AAS），∴DC＝FA，
∵AD＝2AB，∴AB＝DE＝EA＝FA，∴FB＝AD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，
又∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，∴∠EBC＝∠ABE＝35°．
24、（2020 杭州模拟）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．
【点拨】（1）先证△AEF≌△CED（AAS），得AF＝CD，再由CD∥AB，即AF∥CD，即可得出结论；
（2）过C作CM⊥AB于M，先证△BCM是等腰直角三角形，得BM＝CM，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AM，BM＝CM＝AM，由AM+BM＝AB求出AM＝3﹣3，即可求解．
【解析】（1）证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，
∵CD∥AB，∴∠AFE＝∠CDE，
在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，
又∵CD∥AB，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：则∠CMB＝∠CMA＝90°，
∵CD∥AB，∴∠B+∠DCB＝180°，∴∠B＝180°﹣135°＝45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，∴BM＝CM，
∵∠BAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，
∵AM+BM＝AB，∴AM+AM＝6，解得：AM＝3﹣3，∴AC＝2AM＝6﹣6．
25、（2018春 鄂城区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；根据题意得出t的方程是解决问题的突破口．
（1）作AM⊥BC于M，由已知条件得出AB＝AC，由等腰三角形的性质得出BM＝CM，由直角三角形斜边上的中线性质得出AM＝BC＝5，证出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，由CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2得出方程，解方程即可；
（2）由平行四边形的判定得出AP＝BE，得出方程，解方程即可．
【解析】解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝45°＝∠B，∴AB＝AC，
∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5，
∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°，
∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，
∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，∴5﹣t＝2t﹣2，
解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；
（2）存在，t＝4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，
∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10, 解得：t＝4或12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．
26、如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．
【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO是等腰直角三角形是解本题的关键．
（1）由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；
（2）先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；
（3）先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：在 ABCD中，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，
∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF；
（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：
∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
∵∠AOF＝90°，∴∠BAC＝∠AOF，∴AB∥EF，
∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形；
（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，∴AC＝＝2，
∴OA＝1＝AB，∴△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，
∵BF＝DF，∴△BFD是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，
∴OF⊥BD（等腰三角形底边上的中线是底边上的高），
∴∠BOF＝90°，∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．
27、（2020·浙江嘉兴·中考真题）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．
（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
【答案】【思考】是，理由见解析；【发现】；【探究】BD＝2OF，理由见解析；
【分析】本题考查了图形的综合变换，涉及了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
【思考】由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；
【发现】连接BE交AD于点O，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣x，由勾股定理可得，解方程求出x，则AF可求出；
【探究】如图2，延长OF交AE于点H，证明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，FO＝FH，则∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可证得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，则结论得证．
【详解】
解：【思考】四边形ABDE是平行四边形．
证明：如图，∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，∴AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形；
【发现】
如图1，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，∴OA＝OD＝OB＝OE，
设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x，
在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，
∴，解得：x＝，∴AF＝cm．
【探究】BD＝2OF，
证明：如图2，延长OF交AE于点H，
∵四边形ABDE为矩形，∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，
∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，∴∠ABD+∠BAE＝180°，
∴AE∥BD，∴∠OHE＝∠ODB，
∵EF平分∠OEH，∴∠OEF＝∠HEF，
∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，∴△EFO≌△EFH（ASA），∴EO＝EH，FO＝FH，
∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，
∴△EOH≌△OBD（AAS），∴BD＝OH＝2OF．