2021—2022学年苏科版数学八年级下册9.3平行四边形专题练习（Word版含答案）

专题练：平行四边形的性质、判定及综合
-2021-2022学年八年级数学下册（苏科版）
一、选择题
1、（2020 霍邱县一模）下列关于判定平行四边形的说法错误的是（　　）
A．一组对角相等且一组对边平行的四边形 B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形
C．两组对角分别相等的四边形 D．四条边相等的四边形
2、（2020春 庆云县期末）从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，这四个条件中选取两个，使四边形ABCD成为平行四边形，下面不能说明是平行四边形的是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
3、（2020春 湖州期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知AB＝5cm，△ABE的周长比△BEC的周长小3cm，则AD的长度为（　　）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
4、（2020春 南岗区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5、（2020春 沙坪坝区期末）平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为（　　）cm
A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
6、（2020春 莲湖区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE＝BF，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．CF＝AE B．OE＝OF C．△CDE为直角三角形 D．四边形ABCD是平行四边形
7、（2021·湖北荆门·中考真题）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（ ）
A． B． C． D．
8、如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
9、（2020春 东坡区校级期中）在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为（　　）s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？
A．2 B．3 C．6 D．2或6
10、如图，在平行四边形中，，，，是边上任意一点，沿剪开，将沿方向平移到的位置，得到四边形，则四边形周长的最小值为（ ）
A．24 B．22 C．30 D．28
二、填空题
11、（2020春 衢州期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，垂足为A．如果∠B＝∠D＝50°，∠CAD＝40°，那么∠BCD＝　　度．
12、如图，两条宽度分别为1和2的方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB+BC＝6，则四边形ABCD的面积是　　．
13、如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC＝5，且△ABD，△ACF，△BCE都是等边三角形，下列结论中：①∠BAC＝90°；②四边形AFED为平行四边形；③四边形AFED面积为10；④∠DEF＝30°，
正确的是_____________．（填序号即可）
14、（2020 长春模拟）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝　　．
15、（2019春 西湖区校级月考）在面积为30的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直直线BC于点E，作AF垂直直线CD于点F，若AB＝10，BC＝12，则CE+CF的值为　 　．
16、（2020春 衢州期中）已知平面直角坐标系上有三个点，点A（2，0），B（5，2），C（3，4），以点A，点B，点C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标为_　 　．
17、（2020春 西市区期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有　　次．
18、（2019秋 江北区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　 　秒后其中一个新四边形为平行四边形．
三、解答题
19、（2020 和平区校级模拟）如图，在 ABCD中，E，F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF为平行四边形．
20、（2020春 长兴县期中）如图，在 ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O任作一条直线，分别与AD，BC交于点E，F．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
21、（2017春 庆元县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若四边形ABCD的面积为36，AB＝5，AC＝12，求EF的长．
22、（2020 温州一模）已知：如图，在 ABCD中，∠BCD的角平分线交AB于E，交DA的延长线于F．
（1）求证：DF＝DC；
（2）若E是FC的中点，已知BC＝2，DE＝3，求FC的长．
23、（2019春 西湖区校级月考）如图，在 ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．
（1）若AD＝12，AB＝8，求CF的长；
（2）连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
24、（2020春 奉化区期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．
（1）求证：CD＝EF；
（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的周长．
25、（2019春 滕州市期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．
26、如图，在□ABCD中，E为BC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长DC，交FE的延长线于点G，连结DF，已知∠FDG＝45°．
（1）求证：GD＝GF；
（2）已知BC＝10，DF＝8，求CD的长．
27、问题探究：（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　．
（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．
专题练：平行四边形的性质、判定及综合
-2021-2022学年八年级数学下册（苏科版）（解析）
一、选择题
1、（2020 霍邱县一模）下列关于判定平行四边形的说法错误的是（　　）
A．一组对角相等且一组对边平行的四边形 B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形
C．两组对角分别相等的四边形 D．四条边相等的四边形
【点拨】根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解析】解：A、一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形，故不符合题意；
B、一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故符合题意；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、四条边相等的四边形是平行四边形，故不符合题意；
故选：B．
2、（2020春 庆云县期末）从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，这四个条件中选取两个，使四边形ABCD成为平行四边形，下面不能说明是平行四边形的是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．本题利用了第1，2，3种来判定．
根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、②④均可判定是平行四边形．
【解析】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、②④．
故选：D．
3、（2020春 湖州期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知AB＝5cm，△ABE的周长比△BEC的周长小3cm，则AD的长度为（　　）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【点拨】根据平行四边形的性质，可以得到AE＝CE，AD＝BC，再根据△ABE的周长比△BEC的周长小3cm，AB＝5cm，即可得到BC的长，从而可以得到AD的长，本题得以解决．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE＝CE，AD＝BC，
∵△ABE的周长比△BEC的周长小3cm，
∴（BC+CE+BE）﹣（AB+AE+BE）＝3，
∴BC﹣AB＝3，
∵AB＝5cm，
∴BC＝8cm，
∴AD＝8cm，
故选：A．
4、（2020春 南岗区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【点拨】根据平行四边形的判定及性质进行分析即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD
∵E，F分别AB，CD的中点
∴AE＝EB＝DF＝FC
∴四边形AEFD是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形，四边形AFCE是平行四边形，四边形EDFB是平行四边形，四边形GEHF是平行四边形．
∴平行四边形的个数共有6个．
故选：D．
5、（2020春 沙坪坝区期末）平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为（　　）cm
A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
【点拨】根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE为等腰三角形，然后分别讨论BE＝2cm，CE＝3cm或BE＝3cm，CE＝2cm，继而求得答案．
【解析】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE为角平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，
∴①当AB＝BE＝2cm，CE＝3cm时，BC＝BE+CE＝5cm，
则平行四边形的周长＝2（2+5）＝14（cm）；
②当AB＝BE＝3cm时，CE＝2cm，BC＝BE+CE＝5cm，
则平行四边形的周长＝2（3+5）＝16（cm）；
故选：D．
6、（2020春 莲湖区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE＝BF，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．CF＝AE B．OE＝OF C．△CDE为直角三角形 D．四边形ABCD是平行四边形
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识；得出Rt△DCF≌Rt△BAE是解题关键．
根据全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质分别解答即可．
【解答】解：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠DFC＝∠BEA＝90°，
∵DE＝BF，∴DE﹣EF＝BF﹣EF，即DF＝BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），∴CF＝AE，故选项A不符合题意；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥FC，
∵CF＝AE，∴四边形CFAE是平行四边形，∴OE＝OF，故选项B不符合题意；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，∴∠CDF＝∠ABE，∴CD∥AB，
∵CD＝AB，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
无法证明△CDE为直角三角形，故选项C符合题意；
故选：C．
7、（2021·湖北荆门·中考真题）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质与一副特殊三角形板的性质，关键在于作出辅助线，利用平行四边形的性质进行求解．
延长EG交AB于H，根据平行四边形与三角板的性质，，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定义，计算出结果．
【详解】
解：如图，延长EG交AB于H，
∵∠BMF=∠BGE=90°，∴MF//EH，∴∠BFM=∠BHE，
∵，∴∠BFM=∠BHE=60°，
∵在平行四边形ABCD中，DC//AB，∴∠DEH=∠BHE=60°，
∵∠GEN=45°，∴，
故选：C．
8、如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，，
由折叠的性质得：，，
，
，
．
故选：B．
9、（2020春 东坡区校级期中）在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为（　　）s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？
A．2 B．3 C．6 D．2或6
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．
分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，
故选：D．
10、如图，在平行四边形中，，，，是边上任意一点，沿剪开，将沿方向平移到的位置，得到四边形，则四边形周长的最小值为（ ）
A．24 B．22 C．30 D．28
【分析】此题考查平移的性质以及平行四边形的判定和性质，关键是根据当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小进行分析．
由平移性质可得四边形AEFD为平行四边形，其周长为2（AD+AE），AD长为定值9，所以当AE最短时其周长最小，即AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：由平移性质可得AD∥EF，AD=EF
∴四边形AEFD为平行四边形，其周长为2（AD+AE），
又∵AD长为定值9，所以当AE最短时其周长最小，
即当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°．
∴在Rt△ABE中，BE=，AE=，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF=BC=AD=9，∴四边形AEFD周长的最小值为：2（AD+AE）=2×（9+3）=24，
故选：A
二、填空题
11、（2020春 衢州期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，垂足为A．如果∠B＝∠D＝50°，∠CAD＝40°，那么∠BCD＝　　度．
【点拨】根据题意可得∠BAD＝130°，再根据四边形的内角和等于360°计算即可得出∠BCD的度数．
【解析】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+40°＝130°，
又∵∠BCD+∠BAD+∠B+∠D＝360°，
∴∠BCD＝360°﹣∠BAD﹣∠B﹣∠D
＝360°﹣130°﹣50°﹣50°
＝130°．
故答案为：130．
12、如图，两条宽度分别为1和2的方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB+BC＝6，则四边形ABCD的面积是　　．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得BC＝2AB是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法．
根据题意判定四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用面积法求得AB与BC的数量关系，从而求得该平行四边形的面积．
【解析】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，∴AE＝1，AF＝2，
∴BC AE＝AB AF，∴BC＝2AB．
又∵AB+BC＝6，∴AB＝2，BC＝4，
∴四边形ABCD的面积＝2×2＝4，
故答案为：4．
13、如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC＝5，且△ABD，△ACF，△BCE都是等边三角形，下列结论中：①∠BAC＝90°；②四边形AFED为平行四边形；③四边形AFED面积为10；④∠DEF＝30°，
正确的是_____________．（填序号即可）
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的三线合一等相关图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决本题的关键．
根据勾股定理的逆定理可判断①；根据等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质可证得DE＝AF，AD＝EF，进而可判断②；根据等腰三角形的三线合一可证得FG＝FC＝，进而利用平行四边形的面积公式可判断③；根据平行四边形的对角相等可判断④．
【详解】
解：如图，
∵AC＝3，AB＝4，BC＝5，∴AC2＋AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，故①正确；
∵△ACF，△BCE都是等边三角形，∴AC＝FC＝3，BC＝EC，∠ACF＝∠BCE＝60°，
∴∠ACF－∠BCF＝∠BCE－∠BCF，即∠ACB＝∠FCE，
在△ACB与△FCE中，，∴△ACB≌△FCE（SAS），
∴EF＝BA，∠EFC＝∠BAC＝90°，
∵△ABD是等边三角形，∴AD＝BA，∴AD＝EF，
∵△ABD，△BCE都是等边三角形，∴AB＝DB＝AD＝4，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABD－∠CBD＝∠CBE－∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，
在△ABC与△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴AC＝DE，
∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，∴DE＝AF，
∵DE＝AF，AD＝EF，∴四边形AFED为平行四边形，故②正确；
∴ADEF，∴∠EFA＋∠FAD＝180°，∠EFC＋∠FGD＝180°，
∵∠EFC＝90°，∠AFC＝60°，∴∠FAD＝180°－(∠EFC＋∠AFC)＝30°，∠FGD＝90°，
∴FG⊥AD，
又∵∠FAC＝60°，∴∠CAD＝∠FAC－∠FAD＝30°＝∠FAD，∴FG＝FC＝，
∴平行四边形AFED的面积＝AD·FG＝4×＝6，故③错误；
∵四边形AFED为平行四边形，∴∠DEF＝∠FAD＝30°，故④正确，
故答案为：①②④．
14、（2020 长春模拟）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝　　．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．
延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．
【解析】解：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，∴△ADE≌△GCE，∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，∴FE⊥AG，∴Rt△AEF中，EF＝AF＝4，
故答案为：4．
15、（2019春 西湖区校级月考）在面积为30的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直直线BC于点E，作AF垂直直线CD于点F，若AB＝10，BC＝12，则CE+CF的值为　 　．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
分两种情况讨论，由平行四边形ABCD的面积求出AE＝2.5，AF＝3，再根据勾股定理求出BE、DF，即可求出CE、CF，进而得到CE+CF的值．
【解析】解：分两种情况：
①如图1所示：当∠BAD为锐角时，
∵平行四边形ABCD的面积＝BC AE＝AB AF＝30，AB＝10，BC＝12，
∴AE＝2.5，AF＝3，
∵AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴BE＝＝＝，DF＝＝＝3，
∴CE＝CB+BE＝12+，CF＝CD+DF＝10+3，
∴CE+CF＝22+；
②如图2所示：当∠BAD为钝角时，
同理可得：BE＝，DF＝3，
∴CE＝CB﹣BE＝12﹣，CF＝DF﹣CD＝3﹣10，
∴CE+CF＝2+，
综上所述，CE+CF的值为22+或2+．
故答案是：22+或2+．
16、（2020春 衢州期中）已知平面直角坐标系上有三个点，点A（2，0），B（5，2），C（3，4），以点A，点B，点C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标为_　 　．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质、坐标与图形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质与平移的性质是解题的关键．
首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标．
【解析】解：以AC为对角线，将AB向上平移2个单位，再向左平移2个单位，A点对应的位置为（0，2）就是第四个顶点D；
以AB为对角线，将BC向下平移4个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（4，﹣2）就是第四个顶点D′；
以BC为对角线，将AB向上平移4个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（6，6）就是第四个顶点D″；
∴第四个顶点D的坐标为：（0，2）或（6，6）或（4，﹣2），
故答案为：（0，2）或（6，6）或（4，﹣2）．
17、（2020春 西市区期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有　　次．
【点拨】首先设经过t秒，根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解析】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，
此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，解得：t＝9.6；
∴共3次．
故答案为：3．
18、（2019秋 江北区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　 　秒后其中一个新四边形为平行四边形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想．
当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
【解析】解：根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
①∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案是：4或5．
三、解答题
19、（2020 和平区校级模拟）如图，在 ABCD中，E，F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF为平行四边形．
【点拨】本题综合运用了平行四边形的性质和判定．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
根据平行四边形ABCD的对边平行且相等，得到AB＝CD，AB∥CD，得出∠BAE＝∠DCF，然后根据BE⊥AC于E，DF⊥AC于F得出∠AEB＝∠DFC＝90°，∠BEF＝∠DFE＝90°，进而得出BE∥DF，根据AAS得到△ABE≌△CDF，则BE＝DF．根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形就可证明．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，∠BEF＝∠DFE＝90°，∴BE∥DF，
在△ABE与△CDF中，，∴ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
20、（2020春 长兴县期中）如图，在 ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O任作一条直线，分别与AD，BC交于点E，F．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
【点拨】只要证明OB＝OD，O＝OF即可解决问题．
【解析】证明：∵ABCD是平行四边形，O是对角线BD的中点，
∴OB＝OD，DE∥BF，∴∠EDO＝∠FOB，∠EOD＝∠FOB，
在△DOE与△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
21、（2017春 庆元县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若四边形ABCD的面积为36，AB＝5，AC＝12，求EF的长．
【点拨】（1）由垂直的定义得出∠AEB＝∠CFD＝90°，由平行四边形的性质得出AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）由平行四边形的面积为36以及AC＝12，可求出BE的长，进而利用勾股定理可求出AE的长，则EF的长可求出．
【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）∵四边形ABCD的面积为36，AC＝12，∴AC BE×2＝36，∴BE＝3，
∵AB＝5，∴AE＝4，∴AE＝CF＝4，∴EF＝12﹣4﹣4＝4．
22、（2020 温州一模）已知：如图，在 ABCD中，∠BCD的角平分线交AB于E，交DA的延长线于F．
（1）求证：DF＝DC；
（2）若E是FC的中点，已知BC＝2，DE＝3，求FC的长．
【点拨】（1）依据CF平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，依据AD∥BC，可得∠BCE＝∠F，进而得出∠F＝∠DCE，即可得到DF＝DC；
（2）判定△AEF≌△BEC，即可得到AF＝BC＝2，进而得出DF＝4，再根据等腰三角形的性质，即可得到DE⊥CF，最后依据勾股定理进行计算，即可得出FC的长．
【解析】解：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠BCE＝∠F，
∴∠F＝∠DCE，∴DF＝DC；
（2）∵AD∥BC，∴∠F＝∠BCE，∠B＝∠FAE，
∵E是FC的中点，∴CE＝FE，
在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（AAS），∴AF＝BC＝2，
又∵AD＝BC＝2，∴DF＝4，
∵DF＝DC，E是CF的中点，∴DE⊥CF，
∴Rt△DEF中，EF＝＝＝，∴FC＝2EF＝2．
23、（2019春 西湖区校级月考）如图，在 ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．
（1）若AD＝12，AB＝8，求CF的长；
（2）连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
【点拨】（1）由平行线的性质得出∠DAF＝∠AFB，由已知得出∠BAF＝∠DAF，得出∠AFB＝∠BAF，证出BF＝AB＝8，即可得出答案；
（2）证出四边形AFCE是平行四边形，再证明四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，得出四边形EGFH是平行四边形，即可得出EF和GH互相平分．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠BCD，∠ABF＝∠CDE，AB＝CD，∴∠DAF＝∠AFB，
∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AFB＝∠BAF，∴BF＝AB＝8，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣8＝4；
（2）证明：∵∠BAD＝∠BCD，AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠FCE＝∠DCE，
∵∠DAF＝∠AFB，∴∠FCE＝∠AFB，∴AF∥CE， ABCD中，AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE＝CF，∴DE＝BF，
∵AD∥BC，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，
∵AF∥CE，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EF和GH互相平分．
24、（2020春 奉化区期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．
（1）求证：CD＝EF；
（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的周长．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
（1）先证四边形BDEF是平行四边形，得EF＝BD，再证出＝BD＝CD，即可得到结论；
（2）先由平行四边形的性质得BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，再证∠FBE＝∠BEF，得BF＝EF，则BD＝EF＝BF＝ED，即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EF＝BD，
∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD，∴CD＝EF；
（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠DBE，
又∵四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，
∴∠FEB＝∠DBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴BD＝EF＝BF＝ED，
又∵BD＝CD＝6，∴BD＝EF＝BF＝ED＝6，∴四边形BDEF的周长＝6×4＝24．
25、（2019春 滕州市期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）求出AP＝BQ和AP∥BQ，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出高AM和ON的长度，求出△DOC和△OQC的面积，再求出答案即可．
【解析】解：（1）当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝5cm，AO＝CO，BO＝OD，
∴∠PAO＝∠QCO，
在△APO和△CQO中,∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝2.5cm，
∵BC＝5cm，∴BQ＝5cm﹣2.5cm＝2.5cm＝AP，即AP＝BQ，AP∥BQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，即当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形；
过A作AM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，
∵AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝4cm，
∵由三角形的面积公式得：S△BAC＝＝，
∴3×4＝5×AM，∴AM＝2.4（cm），
∵ON⊥BC，AM⊥BC，∴AM∥ON，
∵AO＝OC，∴MN＝CN，∴ON＝AM＝1.2cm，
∵在△BAC和△DCA中∴△BAC≌△DCA（SSS），
∴S△DCA＝S△BAC＝＝6cm2，
∵AO＝OC，∴△DOC的面积＝S△DCA＝3cm2，
当t＝4s时，AP＝CQ＝4cm，
∴△OQC的面积为1.2cm×4cm＝2.4cm2，
∴y＝3cm2+2.4cm2＝5.4cm2．
26、如图，在□ABCD中，E为BC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长DC，交FE的延长线于点G，连结DF，已知∠FDG＝45°．
（1）求证：GD＝GF；
（2）已知BC＝10，DF＝8，求CD的长．
试题分析：（1）由ABCD是平行四边形得：AB∥CD，又因为EF⊥AB，所以∠ DGF=∠GFB=90°，在△DGF中，求得∠FDG=∠DFG＝45° ，再根据等角对等边得到GD＝GF；
（2）由 且 得：GF＝8，又由 BC=10 ，点E 是BC中点，则CE=5，由ABCD是平行四边形 得： ∠ GCE=∠EBF，则△EBF≌△ECG，所以GE=4 ，在在 Rt△CGE 中 所以CG=3， CD=8-3=5；
试题解析：
（1）证明:
∵EF⊥AB,∴∠GFB=90°
∵ABCD是平行四边形 , ∴AB∥CD, ∠ DGF=∠GFB=90°
在△DGF中，已知∠FDG=45°,∴∠DFG=45°
∴∠FDG=∠DFG, ∴GD=GF
(2)解：由（1）得
又 ,∴,∴GF=8
∵ BC=10 ，点E 是BC中点,∴CE=5
∵ABCD是平行四边形 , ∴ ∠ GCE=∠EBF
在△EBF和△ECG中∠ EFB=∠ECG=90° ,CE=EB=5
∴△EBF≌△ECG , GE=4
在 Rt△CGE 中 , ∴CG=3 , ∴CD=8-3=5
27、问题探究：（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　．
（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．
【答案】（1）；（2）存在，4+2；（3）不是，周长之和的最小值为15
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解；
（2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解；
（3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
【详解】
解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，，
，，，，
四边形的面积，
，，∴
四边形的面积
，
四边形的面积，
则当有最小值时，四边形的面积有最大值，
，，
，，，当时，四边形的面积，
故答案为；
（2）存在，
设，，，
，
的周长，
当时，的周长的最小值为；
（3）与的周长之和不是定值，
理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，
，，四边形是平行四边形，，，
，
设，则，
，，
，，，
，，
，与的周长之和不是定值，
当时，与的周长之和的最小值为15．