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第7章 平面图形认识（二）
【提升评测】
一、单选题
1．如图，的角平分线的反向延长线交的角平分线于点E，，则为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
延长CB，与MN交于点F，设∠BCD=∠PCD=x，用x表示出∠ABC和∠E，根据已知得到方程，解之即可．
【详解】
解：延长CB，与MN交于点F，
∵MN∥PQ，
∴∠PCF=∠AFB，∠NAG=∠AGC，
∵CD平分∠BCP，
∴设∠BCD=∠PCD=x，
∴∠AFB=∠BCP=2x，
∠NAG=∠AGC=∠ECG+∠E=∠PCD+∠E=x+∠E，
∵AG平分∠BAN，
∴∠BAG=∠NAG=∠AGC=x+∠E，
∴∠MAB=180°-2∠BAG=180°-2（x+∠E），
∴∠ABC=∠AFB+∠MAB=2x+180°-2（x+∠E）=180°-2∠E，
∵∠B-∠E=36°，
∴180°-2∠E-∠E=36°，
∴∠E=48°，
∴∠B=84°，
故选B．
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【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是根据所学知识得到角之间的关系．
2．如图，直线，点E，F分别在直线．AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，已知，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
过点P作PQ∥AB，过点H作HG∥AB， ( http: / / www.21cnjy.com )根据平行线的性质得到∠EPF=∠BEP+∠DFP=78°，结合角平分线的定义得到∠AEH+∠CFH，同理可得∠EHF=∠AEH+∠CFH．
【详解】
解：过点P作PQ∥AB，过点H作HG∥AB，
，
则PQ∥CD，HG∥CD，
∴∠BEP=∠QPE，∠DFP=∠QPF，
∵∠EPF=∠QPE+∠QPF=78°，
∴∠BEP+∠DFP=78°，
∴∠AEP+∠CFP=360°-78°=282°，
∵EH平分∠AEP，HF平分∠CFP，
∴∠AEH+∠CFH=282°÷2=141°，
同理可得：∠EHF=∠AEH+∠CFH=141°，
故选D．
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【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论．
3．如图，的平分线的反向延长线和的平分线的反向延长线相交于点，则（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别过、作的平行线和，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．
【详解】
解：如图，分别过、作的平行线和，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
故选：A．
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【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补，④，．
4．如图，ABC中∠BAC＝90°，将周长为12的ABC沿BC方向平移2个单位得到DEF，连接AD，则下列结论：①ACDF，AC＝DF；②DE⊥AC；③四边形 ABFD的周长是16；④，其中正确的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据平移的性质逐一判定即可．
【详解】
解：∵将ABC沿BC向右平移2个单位得到DEF，
∴ACDF，AC＝DF，AB＝DE，BC＝EF，AD＝BE＝CF＝2，∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴ED⊥DF，四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝12+2+2＝16．
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S△ABC﹣S△OEC＝S△DEF﹣S△OEC，
∴S四边形ABEO＝S四边形CFDO，
即结论正确的有4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平移的性质：把一个图形 ( http: / / www.21cnjy.com )整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平移的距离以及图形的面积．
5．如图，，将一个含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若的度数为，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，则EF∥CD，利用平行线的性质，得到∠3+∠4=∠1+∠2=60°，代入计算即可．
【详解】
如图，过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
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∴EF∥CD，
∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∵∠1=25°，
∴∠2=35°，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的辅助线构造，平行线的判定与性质，三角板的意义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
6．下列图形中，与是同旁内角的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
根据同旁内角的定义去判断
【详解】
∵A选项中的两个角，符合同旁内角的定义，
∴选项A正确；
∵B选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，
∴选项B错误；
∵C选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，
∴选项C错误；
∵D选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，
∴选项D错误；
故选A．
【点睛】
本题考查了同旁内角的定义，结合图形准确判断是解题的关键．
7．如图，已知，平分，若，则的度数为（ ）．
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平行线性质，证得，从而得；根据角平分线性质，计算得，再根据三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵
∴
∴
∵
∴
∵平分
∴
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线、角平分线、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、三角形内角和的性质，从而完成求解．
8．若一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】
设三个内角分别为k、3k、4k，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求出k，再求解即可．
【详解】
解：设三个内角分别为k、3 ( http: / / www.21cnjy.com )k、4k，
由题意得，k+3k+4k=180°，
解得k=22.5°，
所以，三个内角分别为22.5°、67.5°、90°，
所以，这个三角形是直角三角形．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的形状的判定，利用“设k法”求解更简便．
9．如图，点在延长线上，、交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值．其中正确结论的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①由可得AE∥BD，进而得到，结合即可得到结论；②由得出，结合即可得解；③由平行线的性质和内角和定理判断即可；④根据角平分线的性质求解即可；
【详解】
∵，
∴AE∥BD，
∴，
∵，
∴，
∴，结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分，结论②正确；
∵，
∴，
∵比的余角小，
∴，
∵，，
∴，结论③正确；
∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，结论④正确；
故正确的结论是①②③④；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、余角和补角的性质，准确分析计算是解题的关键．
10．现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：根据三角形三边关系，
∴三角形的第三边x满足：，即，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
11．将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边，则翻折角与一定满足的关系是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行可得出∠DAB+∠CBA=180°，再根据折叠和平角定义可求出．
【详解】
解：由翻折可知，∠DAE=2，∠CBF=2，
∵,
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠DAE+∠CBF=180°，
即，
∴，
故选：B．
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【点睛】
本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．
12．如图，在中，，、分别为和的角平分线，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义求出∠DBC+∠DCB的度数，进而可得出结论．21·cn·jy·com
【详解】
解：∵在中，∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°．
∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理以及三角形的角平分线定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
13．如图，中，点D、E、F分别在边、、上，D是的中点，，四边形的面积为6，则的面积为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】D
【分析】
连接AD，设ABC的面积为S，用S表示出ADE和ADF的面积，再由面积的和差列出S的方程便可得解．21教育网
【详解】
解：连接AD，设ABC的面积为S，
∵D是BC的中点，
∴，
∵AE＝2BE，CF＝2AF，
∴，
，
∵四边形AEDF的面积为6，
∴，
∴S＝12，
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故选：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的中线性质，等高的三角形的面积与底边的关系，关键是用ABC的面积表示出四边形AEDF的面积．
14．如图，延长的边到点，过点作，平分，平分交的反向延长线于点，已知，则的大小为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
过点F作FM∥BC，结合平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得，，然后结合三角形内角和定理可得，然后根据题意列方程求解．
【详解】
解：过点F作FM∥BC
∵，∴
又∵平分，平分
∴，
∴
由题意可得：
∴，，解得：
故选：C．
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【点睛】
本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理和角平分线的定义以及一元一次方程的应用，掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键．【来源：21cnj*y.co*m】
15．如图，已知D、E分别是边AB，BC上的点，，设的面积为，的面积为，若，则的值为（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】
S△ADF S△CEF＝S△ABE S ( http: / / www.21cnjy.com )△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝6，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．
【详解】
解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝6，
∴S△ABE＝S△ABC＝×6＝3．
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△BCD＝S△ABC＝×6＝2，
∵S△ABE S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD） （S2＋S四边形BEFD）＝S1 S2＝3-2=1，
故选D．
【点睛】
本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．
16．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据对顶角相等得到∠β ( http: / / www.21cnjy.com )=∠DGB，则∠α+∠β=∠α+∠DGB，在四边形DHBG中根据四边形内角和为360°，分别求出∠D、∠B的度数，最后进行计算即可得到答案．21·世纪*教育网
【详解】
解：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D=30°
∴∠B=∠C-∠A=45°
在四边形DHBG中，∠D+∠α+∠B+∠BGD=360°
又∵∠β=∠DGB
∴∠D+∠α+∠B+ ∠β=360°
∴∠α+∠β=360°-∠D-∠B=285°
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故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和，四边形的内角和，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．
17．如图，下列条件不能判断的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行线的判定逐一进行分析即可得到答案．
【详解】
解：A、∠4=∠ 5，故l∥m（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
B、∠1+∠ 5=180°，∠1=∠ 6，则∠6+∠ 5=180°，故l∥m（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意；
C、∠2=∠ 3，故l∥m（同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
D、∠1=∠ 2，无法证明l∥m，故此选项符合题意；
故选D．
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【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定定理．
18．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米
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A．70 B．80 C．90 D．100
【答案】C
【分析】
利用多边形的外角和得出小明回到出发地A点时左转的次数，即可解决问题．
【详解】
解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，
所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米．
故选：C．
【点睛】
本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，注意多边形的外角和是360°．
19．如图，下列推理中正确的是（ ）
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A．∵，∴ B．∵，∴
C．∵，∴ D．∵，∴
【答案】B
【分析】
结合图形分析相等或互补的两角之间的关系，根据平行线的判定方法判断．
【详解】
解：A、∵∠1=∠4，∴AB∥CD，故选项错误；
B、∵∠BCD+∠ADC=180°，∴AD∥BC，故选项正确；
D、∵∠2=∠3，∴BC∥AD，故选项错误；
C、∵∠CBA+∠C=180°，∴AB∥CD，故选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角” ( http: / / www.21cnjy.com )中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
20．下列四幅图中，和是同位角的是（ ）
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A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（1）、（2）、（4） D．（2）、（3）、（4）
【答案】C
【分析】
同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，依此判断即可．
【详解】
解：（1）、（2）、（4）的两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，
故选：C．
【点睛】
本题考查了同位角，解答此类题确 ( http: / / www.21cnjy.com )定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
21．如图，的内错角是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据内错角的定义判断即可；
【详解】
解：、的内错角是，故此选项符合题意；
、与是同旁内角，故此选项不合题意；
、与是同位角，故此选项不合题意；
、与不是内错角，故此选项不合题意；
答案：．
【点睛】
本题主要考查了内错角的判定，准确分析判断是解题的关键．
22．如图，直线，点是上一点，的角平分线交于点，若，，则的大小为（ ）
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A．136° B．148° C．146° D．138°
【答案】B
【分析】
作辅助线，构建三角形，根据平行线的性质可得∠MAB=∠BAC=64°，根据三角形外角的性质可得结论．
【详解】
解：延长QC交AB于D，
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∵MN∥PQ，
∴∠2+∠MAB=180°，
∵∠2=116°，
∴∠MAB=180°-116°=64°，
∵AB平分∠MAC，
∴∠MAB=∠BAC=64°，
△BDQ中，∠BDQ=∠2-∠1=116°-20°=96°，
∴∠ADC=180°-96°=84°，
△ADC中，∠3=∠BAC+∠ADC=64°+84°=148°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质的综合应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
23．如图，和相交于点，则下列结论正确的是（ ）
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A．∠1=∠2 B．∠2=∠3
C．∠3=∠4 D．∠1=∠5
【答案】A
【分析】
根据对顶角的定义、平行线的性质判断即可．
【详解】
解：、与是对顶角，
，本选项说法正确；
、与不平行，
，本选项说法错误；
、与不平行，
，本选项说法错误；
、与不平行，
，本选项说法错误；
答案：．
【点睛】
此题考查对顶角的定义、平行线的性质，正确理解图形中各角的位置关系是解题的关键．
24．如图，如果，那么（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质解答．
【详解】
，
，
故选：．
【点睛】
此题考查平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题关键．
25．如图所示，，，，，则等于（ ）
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A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】
利用，推出DE∥AC，求出∠EDC的度数，再根据求出答案．
【详解】
，，
，
又，
，
故选：．
【点睛】
此题考查两直线平行内错角相等，垂直于同一条直线的两直线平行，互余角的求法，正确理解平行线的性质是解题的关键．21世纪教育网版权所有
26．两条平行线被第三条直线所截而成的角中，角平分线互相平行的是（ ）
A．同位角和同旁内角 B．内错角和同旁内角
C．同位角和内错角 D．以上结论都不对
【答案】C
【分析】
根据题意画出图形即可得到答案．
【详解】
如图所示：
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可得角平分线互相平行的是同位角和内错角．
故选：．
【点睛】
此题考查平行线的性质及判定：两直 ( http: / / www.21cnjy.com )线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，角平分线的性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．21cnjy.com
27．如图，图中内错角共有（ ）
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A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
【答案】C
【分析】
根据内错角的定义解答．
【详解】
如图，内错角有：和，和，和，和，和，和，共6对，
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故选：．
【点睛】
此题考查内错角的定义：在被截线内部，截线的两侧的两个角是内错角．
28．如图所示，，，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质，逐个推理判断即可．
【详解】
解：，
，，
，
，，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题关键是准确识图，熟练运用平行线的性质进行推理证明．
29．如图，直线，被射线所截，与构成同位角的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：直线，被射线所截，与构成同位角的是，
故选．
【点睛】
本题主要考查了同位角，记住同位角、内错 ( http: / / www.21cnjy.com )角、同旁内角的定义及结构是解答此题的关键，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．www-2-1-cnjy-com
30．如图，直线，点分别在直线上，P为两平行线间一点，那么等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过点P作PE∥a．则可得出PE∥a∥b，结合“两直线平行，内错角相等”可得出∠2=∠AMP+∠BNP，再结合邻补角的即可得出结论．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：过点P作PE∥a，如图所示．
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∵PE∥a，a∥b，
∴PE∥a∥b，
∴∠AMP=∠MPE，∠BNP=∠NPE，
∴∠2=∠MPE+∠NPE=∠AMP+∠BNP．
∵∠1+∠AMP=180°，∠3+∠BNP=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及角的计算 ( http: / / www.21cnjy.com )，解题的关键是找出∠2=∠AMP+∠BNP．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．【版权所有：21教育】
31．如图，点E在AD延长线上，下列条件中不能判定BC∥AD的是（ ）
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A．∠C＝∠CDE B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠C+∠ADC＝180°
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定定理依次判断即可得到答案．
【详解】
解：A、∵∠C＝∠CDE，∴BC//AD，故不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，∴BA//CD，故符合题意；
C、∵∠3＝∠4，∴BC//AD，故不符合题意；
D、∵∠C+∠ADC＝180°，∴BC//AD，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查平行线的判定定理：内错角两直线平行，同旁内角互补两直线平行，熟记定理并运用解决问题是解题的关键．
32．如图，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC ( http: / / www.21cnjy.com )，点F是AD边上一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E．点H为BC边上一点，使∠HFC＝∠HCF，作FG平分∠EFH，交CE于点G．∠CFG＝30°，则∠AFE的度数为（ ）
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A．110° B．120° C．130° D．150°
【答案】B
【分析】
设∠HFC＝∠HCF＝x°，在△FHC中可 ( http: / / www.21cnjy.com )得到∠FHC=180°-2x°，可得到∠FHB=2x°，然后根据角平分线性质可得到∠EFH=60°+2x°，然后计算出∠BFH从而得到∠AFB，在计算∠AFE即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：设∠HFC＝∠HCF＝x°，
∴∠FHC=180°-∠HFC+∠HCF=180°-2x°，
∴∠FHB=180°-∠FHC= 2x°，
∵FG平分∠EFH，∠CFG＝30°，
∴∠EFH=2（∠CFG+∠HFC）＝60°+2x°，
∴∠BFH=180°-∠EFH=120°-2x°
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC +∠DCB=180°，
∴AD∥CB，
∴∠AFB＝∠FBH，
在△FBH中，∠FBH=180°-∠BFH -∠FHB=60°，
∴∠AFB＝∠FBH=60°，
∴∠AFE=180°-∠AFB＝120°
故选：B
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质应用，结合三角形内角和计算角度是解题的关键．
33．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若，则∠BDC的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据∠E＝90°可求得∠EBC＋∠ECB＝90°，再利用角平分线定义求出∠DBC＋∠DCB即可解决问题．
【详解】
解：∵∠E＝90°，
∴∠EBC＋∠ECB＝90°，
∵∠DBC＝∠EBC，∠DCB＝∠ECB，
∴∠DBC＋∠DCB＝×90°＝45°，
∴∠BDC＝180° （∠DBC＋∠DCB）＝135°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握角平分线的定义及整体思想的运用．
34．如图所示，已知，，，的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过点B作BM∥AC，求出∠EBM即可．
【详解】
过点B作BM∥AC，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
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【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练添加辅助线，利用平行线的性质求角．
35．如图，平分和，若，则（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，根据三角形外角性质可证的外角和的外角是同角，分别可表示为与，根据角平分线性质可得，，将、代入计算即可求出．
【详解】
解：AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，如图，
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∵的外角和的外角是同角，
∵，，
∵平分和，
∴，，
∴，，
∵在中，，
在中，
∴，；
∵，
∴，
，
整理得，，
化简得，
将，代入，解得，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形外角性质，角平分线有关的计算，灵活运用三角形外角性质及角平分线性质是解题关键．
36．下列结论：①一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则相应的3个内角度数之比为；②在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；③在图形的平移中，连接对应点的线段互相平行且相等；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；⑤一个五边形最多有3个内角是直角；⑥两条直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．其中错误结论有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】
①根据三角形的外角和定理及内角和定理分别求出各对应角的度数即可解答；②根据三角形的内角和定理解答即可；③根据平移的性质解答即可；④根据多边形的内角和定理解答即可；⑤由五边形的内角和为540°及多边形的每个内角不等于解答；⑥由角平分线的性质及三角形内角和定理解答即可 ．
【详解】
解：①错误，设三角形的 3 个外角的度数分别为，，，
∴，解得
个外角的度数分别为，，，
其对应的内角分别为、、，
个内角度数之比为；
②错误， 设，则，，，解得，
；
③错误， 根据平移的性质可知， 在图形的平移中， 连接对应点的线段互相平行或在一条直线上；
④正确，多边形的内角和为，边数每增加一条， 这个多边形的内角和就增加；
⑤正确，五边形的内角和为，假设有四个角为直角， 则另外一个角的度数为，故有四个直角不成立，一个五边形最多有 3 个内角是直角；
⑥错误， 两条平行直线被第三条直线所截， 同旁内角的角平分线互相垂直 ．
综上所述：错误的个数为4个．
故选：B．
【点评】
此题比较复杂， 涉及到多边形及三角形的内角和定理， 平行线的性质， 涉及面较广， 但难易适中 ．
37．一副直角三角尺叠放如图所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，则所有符合条件的度数为（ ）
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A．45°，75°，120°，165° B．45°，60°，105°，135°
C．15°，60°，105°，135° D．30°，60°，90°，120°
【答案】A
【分析】
分DE∥AB，DE∥AC，BE∥AC，AC∥BD，分别画出图形，根据平行线的性质和三角板的特点求解．
【详解】
解：如图，
①DE∥AB，
∴∠D+∠ABD=180°
∴∠ABD=90°
∴∠ABE=45°；
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②DE∥AC，
∵∠D=∠C=90°，
∴B，C，D共线，
∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=180°-45°+30°=165°；
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③BE∥AC，
∴∠C=∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=120°；
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④AC∥BD，
∴∠ABD=180°-∠A=120°，
∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=75°，
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综上：∠ABE的度数为：45°或75°或120°或165°．
【点睛】
本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，解题的关键是注意分类讨论，做到不重不漏．
38．如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（ ）【出处：21教育名师】
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
先根据AB⊥BC，AE平分 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．
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【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．21教育名师原创作品
39．如图，直线被直线所截，已知，E是平面内任意一点（点E不在直线上），设，．下列各式：①，②，③，④中，的度数可能是（ ）
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A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【答案】B
【分析】
根据点E的位置分六种情况讨论，分别根据平行线的性质、三角形的外角性质求解即可得．
【详解】
由题意，分以下六种情况：
（1）如图，设CE与AB的交点为点O，
，
，
，
；
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（2）如图，延长AE交CD于点O，
，
，
，
；
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（3）如图，设AE与CD的交点为点O，
，
，
，
；
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（4）如图，设CE与AB的交点为点O，
，
，
，
，
；
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（5）如图，延长AE交CD于点O，
，
，
，
，
；
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（6）如图，设AE与CD的交点为点O，
，
，
，
，
；
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综上，的度数可能是，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，依据题意，正确分六种情况讨论是解题关键．
40．如图，是的一条中线，为边上一点且相交于四边形的面积为，则的面积是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连结BF，设S△BDF＝x，则S△BEF＝6－x，由CD是中线可以得到S△ADF＝S△BDF，S△BDC＝S△ADC，由BE＝2CE可以得到S△CEF＝S△BEF，S△ABE＝S△ABC，进而可用两种方法表示△ABC的面积，由此可得方程，进而得解．
【详解】
解：如图，连接BF，
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设S△BDF＝x，则S△BEF＝6－x，
∵CD是中线，
∴S△ADF＝S△BDF＝x，S△BDC＝ S△ADC＝△ABC，
∵BE＝2CE，
∴S△CEF＝S△BEF＝(6－x)，S△ABE＝S△ABC，
∵S△BDC＝ S△ADC＝△ABC，
∴S△ABC＝2S△BDC
＝2[x＋(6－x)]
＝18－x，
∵S△ABE＝S△ABC，
∴S△ABC＝S△ABE
＝[2x＋ (6－x)]
＝1.5x＋9，
∴18－x ＝1.5x＋9，
解得：x＝3.6，
∴S△ABC＝18－x，
＝18－3.6
＝14.4，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积比等于底的比，熟练掌握这个结论记以及方程思想是解题的关键．
二、填空题
41．如图，a∥b，∠1＝68°，∠2＝42°，则∠3＝_____________．
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【答案】110°
【分析】
如图，利用平行线的性质，求得∠4=∠5=∠1，计算∠2+∠5，再次利用平行线的性质，得到∠3=∠2+∠5．
【详解】
如图，∵a∥b，
∴∠4=∠1=68°，
∴∠5=∠4=68°，
∵∠2=42°，
∴∠5+∠2=68°+42°=110°，
∵a∥b，
∴∠3=∠2+∠5，
∴∠3=110°，
故答案为：110°．
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【点睛】
本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等是解题的关键．
42．如图，直线，则__________．
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【答案】
【分析】
过点C作CD∥a，则CD∥b，利用平行线的性质求解即可
【详解】
如图，过点C作CD∥a，
∵直线，
∴CD∥b，
∴∠ACD=30°，∠DCB=50°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB =30°+50°=80°，
故答案为：80°．
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【点睛】
本题考查了平行线的判定，平行线的性质，角的和，熟练构造平行线辅助线，活用平行线的判定与性质是解题的关键．
43．如图，将直角三角形沿着方向平移得到三角形，若，，，图中阴影部分的面积为，则三角形沿着方向平移的距离为__________．
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【答案】
【分析】
根据题意，计算得；再根据阴影部分的面积，通过求解一元一次方程得，从而得，即可得到答案．
【详解】
根据题意，得
∵
∴三角形为直角三角形
∴，
根据题意得：阴影部分的面积，且阴影部分的面积为
∴
∴
∴，即三角形沿着方向平移的距离为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平移、一元一次方程、三角形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握平移、一元一次方程的性质，从而完成求解．
44．如图，把纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则__________．
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【答案】
【分析】
根据折叠性质得出∠C′=∠C=35°，根据三角形外角性质得出∠DOC=∠1-∠C=73°，∠2=∠DOC-∠C′=73°-35°=38°．
【详解】
解：如图，设与交于点O．
∵根据折叠性质得出，
，
，
．
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
45．如图，△ABC的面积为1．第一次 ( http: / / www.21cnjy.com )操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作 ___________
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【答案】4
【分析】
先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．
【详解】
解：△ABC与△A1BB1底相等（AB＝A1B），高为1：2（BB1＝2BC），故面积比为1：2，
∵△ABC面积为1，
∴S△A1B1B＝2．
同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C＝2，
∴S△A1B1C1＝S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC＝2+2+2+1＝7；
同理可证S△A2B2C2＝7S△A1B1C1＝49，
第三次操作后的面积为7×49＝343，
第四次操作后的面积为7×343＝2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过4次操作．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．
三、解答题
46．已知：如图，平分，．
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（1）求证：；
（2）若，，求的大小．
【答案】（1）见解析；（2）25°
【分析】
（1）根据同旁内角互补，两直线平行证明；
（2）利用两直线平行，同旁内角互补求得∠ADC的度数，根据角的平分线求得∠BDC的度数，利用互余性质求解即可
【详解】
（1）∵∠1=∠3，∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴AB//CD；
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（2）∵AB//CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=50°，
∴∠ADC=130°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠BDC=∠ADC=65°，
∵ED⊥BD，
∴∠EDC+∠BDC=90°，
∴∠EDC =25°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，平行线的性质，角的平分线，互余的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
47．如图，中，．
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（1）画出边上的中线；
（2）画出边上的高；
（3）中，所对的角是______，边上的高是________；
（4）若时，则________．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）∠BAH，BH；（4）．
【分析】
（1）根据中线的定义画图即可；
（2）根据高线的定义画图即可；
（3）根据边角关系和高的定义即可得出答案；
（4）根据等面积法计算即可．
【详解】
解：（1）如图所示；
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（2）如图所示；
（3）中，所对的角是∠BAH，边上的高是BH，
故答案为：∠BAH，BH；
（4）若时，，
即，解得
故答案为：．
【点睛】
本题考查作高线和中线，三角形中边角关系．掌握相关定义和等面积法是解题关键．
48．如图，点G在线段上，点E，F在直线上，与交于点H，延长至点M．．
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（1）请说明的理由
（2）若平分，且，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）65°
【分析】
（1）先证明AM∥FG，得到∠A=∠BGF，从而推出∠BGF=∠1，可得结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠A=∠B，再利用三角形内角和求出∠AEB，可得∠B．
【详解】
解：（1）∵∠2=∠EHF，∠2+∠MEB=180°，
∴∠EHF+∠MEB=180°，
∴AM∥FG，
∴∠A=∠BGF，
∵∠1=∠A，
∴∠BGF=∠1，
∴CD∥AB；
（2）∵CD∥AB，
∴∠MED=∠A，∠BED=∠B，
∵ED平分∠MEB，
∴∠MED=∠BED，
∴∠A=∠B，
∵∠A-∠AEB=15°，
∴∠A=∠B=∠AEB+15°，
在△ABE中，∠AEB+15°+∠AEB+15°+∠AEB=180°，
∴∠AEB=50°，
∴∠B=∠AEB+15°=65°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，角 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的定义，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
49．已知：如图，点E在线段上，点B在线段上，．求证
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【答案】见解析
【分析】
先证明BD∥CE，得出同旁内角互补∠3+∠C=180°，再由已知得出∠4+∠C=180°，证出DF∥AC，即可得出结论．
【详解】
解：∵∠1=∠2，∠2=∠DGF，
∴∠1=∠DGF，
∴BD∥CE，
∴∠3+∠C=180° ，
又∵∠3=∠4，
∴∠4+∠C=180°，
∴DF∥AC．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意两者的区别．
50．如图，已知．
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（1）求证：
证明：（已知）
（_____________________）．
又（已知），
___________（等量代换），
（_______________________）．
（2）已知，若平分，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）65°
【分析】
（1）根据已知条件和解题思路，利用平行线的性质和判定填空．
（2）分别根据平行线的性质得到∠D=∠2= ( http: / / www.21cnjy.com )50°，∠DEC=∠C，∠DEF+∠D=180°，从而求出∠DEF=130°，再根据角平分线的定义得到∠DEC，从而可得∠C．
【详解】
解：（1）（已知），
（两直线平行，同位角相等）．
又（已知），
∠D（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）；
（2）∵DG∥AB，
∴∠D=∠2=50°，∠DEC=∠C，
∵BD∥EF，
∴∠DEF+∠D=180°，
∴∠DEF=130°，
∵平分∠DEF，
∴∠DEC=∠DEF=65°，
∴∠C=65°．
【点睛】
本题考查平行线的性质及判定定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
51．在四边形中，，，点是射线上一个动点（不与，重合），过点作，交直线于点．
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（1）如图，当点在线段上时，求证：．
（2）若点在线段的延长线上．用等式表示与之间的数量关系是 ．
【答案】（1）见解析；（2）∠DEF+∠DCB=180°．
【分析】
（1）先得出∠B+∠BCD=180°，再根据平行公理的推论得出EF∥BC，最后得出结论；
（2）画出图形，再根据平行公理的推论得出EF∥BC，最后根据平行线的性质得出结果．
【详解】
解：（1）∵AB//DC，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
又∵EF//AD，
∴EF∥BC，
∴∠DEF=∠DCB．
（2）如图所示：
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由（1）可得AD∥BC，EF//AD，
∴EF∥BC，
∴∠DEF+∠DCB=180°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，平行公理的推论，解题的关键是灵活运用性质与判定解决问题．
52．已知：如图，∥，和交于点，为上一点，为上一点，且．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
根据平行线性质证得，再由同角的补角相等得，则推出∥，可得，即可证得结论．
【详解】
证明：∵∥，
∴．
∵，
∴．
∴∥．
∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
53．已知：如图，在ABC中，点D在BC边上，EFAD分别交AB，CB于点E，F，DG平分∠ADC，∠1＋∠2＝180°，
（1）求证：ABDG；
（2）若∠B＝35°，∠DAC＝75°，求∠DGC的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）∠DGC＝110°．
【分析】
（1）由平行线的性质和∠1+∠2＝180°，可推出DGAB；
（2）由（1）的结论和DG平分∠ADC，可得结论．
【详解】
（1）证明：∵EFAD，
∴∠1+∠BAD＝180°．
∵∠1+∠2＝180°．
∴∠2＝∠BAD．
∴ABDG；
（2）解：∵ABDG，∠B＝35°，
∴∠GDC＝∠B＝35°，
∵DG平分∠ADC，
∴∠2＝∠GDC＝35°，
又∵∠DAC＝75°，
∴∠DGC＝∠DAC+∠2＝110°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．21*cnjy*com
54．如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
根据平行线的性质证明即可．
【详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线性质定理：定 ( http: / / www.21cnjy.com )理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
55．阅读与思考，阅读下列材料，并完成相应的任务．
三角形的内角和小学时候我们就知道三角形内角和是，学行线之后，可以证明三角形内角和是，证明方法如下：如图1，已知：三角形．求证：． ( http: / / www.21cnjy.com / )方法一：如图2，过点作于点，过点作，过点作．∵，，，∴，，，∴，∴，（依据一）∴，又∵，∴，∴（依据二）∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )方法二：如图3，在边上任取一点（不与，重合），连接．分别过点，作的平行线…… ( http: / / www.21cnjy.com / )
任务一：材料中方法一的证明过程中的依据一，依据二分别指的是：
依据一：______________________________________________________________________；
依据二：______________________________________________________________________．
任务二：材料中证法一的思路是用平行线的性质得到，，将三角形内角和问题转化为与的和，再通过平行线的性质得到，进而得到三角形内角和是，这种方法主要体现的数学思想是__________（将正确选项代码填入空格处）．
A． 数形结合思想 B． 分类思想 C． 转化思想
任务三：请将方法二的证明过程补充完整，在图3中作出辅助线，并标清字母．
【答案】任务一：依据1：同位角相等，两直线平行；依据2：两直线平行，内错角相等；任务二：C；任务三：见解析
【分析】
根据平行线的判定和性质即可得出依据，类比方法一，利用平行线性质即可得出证明
【详解】
任务一：依据1：同位角相等，两直线平行；依据2：两直线平行，内错角相等；
任务二：C．
任务三：
证明：分别过点，作，，如下图
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】
本题考查三角形的内角和，平行线的性质以及判定。熟练掌握平行的性质及判定是关键
56．完成下面的证明，如图，，，求证：．
证明：∵（已知），
∴ （ ）
∵（已知），
∴ （ ）．
∴ （ ）．
∴（等量代换）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；AC；内错角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等．
【分析】
由平行线的性质得出∠A=∠3，由内错角相等得出ED∥AC，由平行线的性质得出∠E=∠3，即可得出结论．
【详解】
证明：∵AD∥BE
∵∠A= ( http: / / www.21cnjy.com )∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2
∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行）
∴∠E=∠3（两直线平行，内错角相等）
∴∠A=∠E．
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；AC；内错角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意它们的区别．
57．如图，已知直线AB//EF，AB//CD，∠ABE=50°，EC平分∠BEF，求∠DCE的度数．
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【答案】∠DCE=155°
【分析】
利用平行线的性质、平行公理及角平分线的定义即可求解．
【详解】
解：∵AB//EF，∠ABE=50°（已知）
∴∠ABE=∠BEF=50°（两直线平行，内错角相等）
∵EC平分∠BEF（已知）
∴∠CEF=∠BEF=25°（角平分线的意义）
∵AB//EF，AB//CD（已知）
∴CD//EF（平行线的传递性）
∴∠CEF+∠DCE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠DCE=180°-25°=155°（等式性质）．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、平行公理及角平分线的定义，熟练掌握有关定理、定义是解题的基础．
58．如图，，于，平分．求的度数．
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【答案】45°
【分析】
由于∠1＋∠3＝180°，∠3＝∠6，则 ( http: / / www.21cnjy.com )∠1＋∠6＝180°，根据平行线的判定得到AD∥BC，由于CD⊥AD，则∠5＝90°，再根据平行线的性质得∠5＋∠DCE＝180°，所以∠DCE＝90°，然后根据角平分线的定义求解．
【详解】
解：∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
59．问题情境
（1）如图1，已知，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得 ；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合与相交于点，有一动点在边上运动，连接，记．
①如图2，当点在两点之间运动时，请直接写出与之间的数量关系；
②如图3，当点在两点之间运动时，与之间有何数量关系？请判断并说明理由．
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【答案】（1）80；（2）①；②
【分析】
（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；
（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②过P作PQ∥DF，依据平行线的性质可得∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，即可得到∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．
【详解】
解：（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG=180°，∠C+∠CPG=180°，
又∵∠PBA=125°，∠PCD=155°，
∴∠BPC=360°-125°-155°=80°，
故答案为：80；
（2）①如图2，
过点P作FD的平行线PQ，
则DF∥PQ∥AC，
∴∠α=∠EPQ，∠β=∠APQ，
∴∠APE=∠EPQ+∠APQ=∠α+∠β，
∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠α+∠β；
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②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠β-∠α；理由：
过P作PQ∥DF，
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∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，
∴∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
60．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，．
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（1）当时，试说明的理由．
（2）若按住三角板不动，绕顶点C转动三角板，在旋转过程中始终要求点E在直线上方，当两块三角板有一组边互相平行时，则的度数为_________（请直接写出所有答案）．
【答案】（1）见解析；（2）30°或45°或120°或135°或165°
【分析】
（1）首先证明∠BCE=∠ACD=30°，根据∠A=∠ACD，可得结论；
（2）分AB∥CD，BC∥DE，AB∥CE，DE∥AC，AB∥DE，五种情况，画图出图，再求解．
【详解】
解：（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，
即∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠BCE=∠ACD=30°，
∵∠A=30°，
∴CD∥AB；
（2）如图1，AB∥CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ACE=90°-30°=60°，
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=30°；
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如图2，BC∥DE，
∴∠E=∠BCE=45°；
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如图3，AB∥CE，
∴∠ACE=∠A=30°，
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=120°；
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如图4，DE∥AC，
∴∠ACE=∠E=45°，
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=135°；
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如图5，AB∥DE，延长BC交DE于F，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠CFD=60°，
∵∠E=45°，
∴∠ECF=60°-45°=15°，
∴∠BCE=180°-15°=165°．
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综上：∠BCE的度数为：30°或45°或120°或135°或165°．
【点睛】
本题考查三角形综合题、平行线的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．21*cnjy*com
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第7章 平面图形认识（二）
【提升评测】
一、单选题
1．如图，的角平分线的反向延长线交的角平分线于点E，，则为（ ）
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A． B． C． D．
2．如图，直线，点E，F分别在直线．AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，已知，则的度数为（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B． C． D．
3．如图，的平分线的反向延长线和的平分线的反向延长线相交于点，则（ ）
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A． B． C． D．
4．如图，ABC中∠BAC＝90°，将周长为12的ABC沿BC方向平移2个单位得到DEF，连接AD，则下列结论：①ACDF，AC＝DF；②DE⊥AC；③四边形 ABFD的周长是16；④，其中正确的个数有（ ） 【来源：21·世纪·教育·网】
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，，将一个含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若的度数为，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
6．下列图形中，与是同旁内角的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．如图，已知，平分，若，则的度数为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
8．若一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
9．如图，点在延长线上，、交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值．其中正确结论的个数有（ ）21·世纪*教育网
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
11．将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边，则翻折角与一定满足的关系是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
12．如图，在中，，、分别为和的角平分线，则的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
13．如图，中，点D、E、F分别在边、、上，D是的中点，，四边形的面积为6，则的面积为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B．9 C．10 D．12
14．如图，延长的边到点，过点作，平分，平分交的反向延长线于点，已知，则的大小为（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
15．如图，已知D、E分别是边AB，BC上的点，，设的面积为，的面积为，若，则的值为（ ）【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．3 C．2 D．1
16．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
17．如图，下列条件不能判断的是（ ）
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A． B． C． D．
18．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米21教育名师原创作品
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A．70 B．80 C．90 D．100
19．如图，下列推理中正确的是（ ）
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A．∵，∴ B．∵，∴
C．∵，∴ D．∵，∴
20．下列四幅图中，和是同位角的是（ ）
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A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（1）、（2）、（4） D．（2）、（3）、（4）
21．如图，的内错角是（ ）
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A． B． C． D．
22．如图，直线，点是上一点，的角平分线交于点，若，，则的大小为（ ）
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A．136° B．148° C．146° D．138°
23．如图，和相交于点，则下列结论正确的是（ ）
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A．∠1=∠2 B．∠2=∠3
C．∠3=∠4 D．∠1=∠5
24．如图，如果，那么（ ）
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A． B． C． D．
25．如图所示，，，，，则等于（ ）
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A． B． C． D．不能确定
26．两条平行线被第三条直线所截而成的角中，角平分线互相平行的是（ ）
A．同位角和同旁内角 B．内错角和同旁内角
C．同位角和内错角 D．以上结论都不对
27．如图，图中内错角共有（ ）
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A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
28．如图所示，，，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
29．如图，直线，被射线所截，与构成同位角的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
30．如图，直线，点分别在直线上，P为两平行线间一点，那么等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
31．如图，点E在AD延长线上，下列条件中不能判定BC∥AD的是（ ）
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A．∠C＝∠CDE B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠C+∠ADC＝180°
32．如图，AB∥CD，∠ABC＝∠A ( http: / / www.21cnjy.com )DC，点F是AD边上一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E．点H为BC边上一点，使∠HFC＝∠HCF，作FG平分∠EFH，交CE于点G．∠CFG＝30°，则∠AFE的度数为（ ）
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A．110° B．120° C．130° D．150°
33．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若，则∠BDC的度数为（ ）
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A． B． C． D．
34．如图所示，已知，，，的度数是（ ）
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A． B． C． D．
35．如图，平分和，若，则（ ）
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A． B． C． D．
36．下列结论：①一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则相应的3个内角度数之比为；②在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；③在图形的平移中，连接对应点的线段互相平行且相等；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；⑤一个五边形最多有3个内角是直角；⑥两条直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．其中错误结论有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
37．一副直角三角尺叠放如图所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，则所有符合条件的度数为（ ）21教育网
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A．45°，75°，120°，165° B．45°，60°，105°，135°
C．15°，60°，105°，135° D．30°，60°，90°，120°
38．如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（ ）21·cn·jy·com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
39．如图，直线被直线所截，已知，E是平面内任意一点（点E不在直线上），设，．下列各式：①，②，③，④中，的度数可能是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
40．如图，是的一条中线，为边上一点且相交于四边形的面积为，则的面积是（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
41．如图，a∥b，∠1＝68°，∠2＝42°，则∠3＝_____________．
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42．如图，直线，则__________．
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43．如图，将直角三角形沿着方向平移得到三角形，若，，，图中阴影部分的面积为，则三角形沿着方向平移的距离为__________．
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44．如图，把纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则__________．
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45．如图，△ABC的面积为1 ( http: / / www.21cnjy.com )．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作 ___________21cnjy.com
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三、解答题
46．已知：如图，平分，．
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（1）求证：；
（2）若，，求的大小．
47．如图，中，．
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（1）画出边上的中线；
（2）画出边上的高；
（3）中，所对的角是______，边上的高是________；
（4）若时，则________．
48．如图，点G在线段上，点E，F在直线上，与交于点H，延长至点M．．
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（1）请说明的理由
（2）若平分，且，求的度数．
49．已知：如图，点E在线段上，点B在线段上，．求证
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50．如图，已知．
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（1）求证：
证明：（已知）
（_____________________）．
又（已知），
___________（等量代换），
（_______________________）．
（2）已知，若平分，求的度数．
51．在四边形中，，，点是射线上一个动点（不与，重合），过点作，交直线于点．
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（1）如图，当点在线段上时，求证：．
（2）若点在线段的延长线上．用等式表示与之间的数量关系是 ．
52．已知：如图，∥，和交于点，为上一点，为上一点，且．求证：．
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53．已知：如图，在ABC中，点D在BC边上，EFAD分别交AB，CB于点E，F，DG平分∠ADC，∠1＋∠2＝180°，21世纪教育网版权所有
（1）求证：ABDG；
（2）若∠B＝35°，∠DAC＝75°，求∠DGC的度数．
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54．如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，．求证：．
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55．阅读与思考，阅读下列材料，并完成相应的任务．
三角形的内角和小学时候我们就知道三角形内角和是，学行线之后，可以证明三角形内角和是，证明方法如下：如图1，已知：三角形．求证：． ( http: / / www.21cnjy.com / )方法一：如图2，过点作于点，过点作，过点作．∵，，，∴，，，∴，∴，（依据一）∴，又∵，∴，∴（依据二）∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )方法二：如图3，在边上任取一点（不与，重合），连接．分别过点，作的平行线…… ( http: / / www.21cnjy.com / )
任务一：材料中方法一的证明过程中的依据一，依据二分别指的是：
依据一：______________________________________________________________________；
依据二：______________________________________________________________________．
任务二：材料中证法一的思路是用平行线的性质得到，，将三角形内角和问题转化为与的和，再通过平行线的性质得到，进而得到三角形内角和是，这种方法主要体现的数学思想是__________（将正确选项代码填入空格处）．
A． 数形结合思想 B． 分类思想 C． 转化思想
任务三：请将方法二的证明过程补充完整，在图3中作出辅助线，并标清字母．
56．完成下面的证明，如图，，，求证：．
证明：∵（已知），
∴ （ ）
∵（已知），
∴ （ ）．
∴ （ ）．
∴（等量代换）．
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57．如图，已知直线AB//EF，AB//CD，∠ABE=50°，EC平分∠BEF，求∠DCE的度数．
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58．如图，，于，平分．求的度数．
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59．问题情境
（1）如图1，已知，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得 ；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合与相交于点，有一动点在边上运动，连接，记．2·1·c·n·j·y
①如图2，当点在两点之间运动时，请直接写出与之间的数量关系；
②如图3，当点在两点之间运动时，与之间有何数量关系？请判断并说明理由．
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60．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，．
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（1）当时，试说明的理由．
（2）若按住三角板不动，绕顶点C转动三角板，在旋转过程中始终要求点E在直线上方，当两块三角板有一组边互相平行时，则的度数为_________（请直接写出所有答案）．
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