第8章 幂的运算(考点讲解)（含解析）

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第8章 幂的运算
【学习目标】
1. 能说出同底数幂的乘（除）法、幂的乘方、积的乘方运算性质；
2.了解零指数幂和负整数指数幂的意义，并能用科学记数法表示绝对值小于1的数；
3.会运用幂的运算性质熟练进行计算；
4.通过具体的例子体会本章学习中体现的从具 ( http: / / www.21cnjy.com )体到抽象、从特殊到一般的思考问题的方法，渗透转化、化归等思想方法，发展合情推理能力和演绎推理能力.21教育网
【考点总结】
1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
要点诠释：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）公式的推广： (，均为正整数)
（4）公式的推广： (为正整数).
【例题讲解】
类型一、幂的运算
例1、计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.
【答案与解析】
解：（1）．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．21cnjy.com
【训练】当，＝4时，求代数式的值．
【答案】
解：.
【训练】用简便方法计算：
(1)(－9)3×；　 (2)－0.2514×230.
【答案】(1)8;(2)-4
【分析】
（1）根据积的乘方的性质的逆用，把底数相乘后再求3次幂；
（2）把以2为底数的幂转化为以4为底数，然后再根据积的乘方的性质的逆用解答．
解：(1)原式＝＝23＝8.
(2)原式＝－0.2514×415＝－×415＝－4.
【点拨】本题考查了积的乘方的性质，转化为同指数的幂相乘是逆用性质的关键.
类型二、幂的逆运算
例2. (1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)56；(2)-3.
【分析】
（1）利用幂的乘方及其逆运算，运用整体代入的思想求值，
（2）首先由3x+2 5x+2=153x-4，可得3x+2 5x+2=（15）x+2=153x-4，即可得方程x+2=3x-4，解此方程即可求得x的值，然后化简，再将x的值代入，即可求得答案．21·cn·jy·com
解：（1）∵x2n=2，
∴（- ( http: / / www.21cnjy.com )3x3n）2-4（-x2）2n=9x6n-4x4n=9（x2n）3-4（x2n）2=9×23-4×22=72-16=56；
(2) ∵3x+2 5x+2=（15）x+2=153x-4，
∴x+2=3x-4，
解得：x=3，www.21-cn-jy.com
∴==-5-3
【点拨】本题主要考查了幂的乘方的性质此题难度适中，注意由3x+2 5x+2=153x-4，得到方程x+2=3x-4是解第（2）题的关键．2·1·c·n·j·y
【训练】（1）已知，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）56．
【分析】
（1）根据幂的乘方、同底数幂的运算法则计算，再代入计算；
（2）根据幂的乘方及逆运算，把原式化简为含x2n的形式，再代入计算.
解：（1）a2·（am）n=a2·amn=a2·a2=a4，
当a=时，原式=（）4=．
（2）（-3x3n）2-4（-x2）2n=9x6n-4x4n=9（x2n）3-4（x2n）2，
当x2n=2时，原式=9×23-4×22=72-16=56．
类型三、幂的运算中的整体思想
例3.已知(a＋b)a·(b＋a)b＝(a＋b)5，且(a－b)a＋4·(a－b)4－b＝(a－b)7，求aabb的值．
【答案】108.
【分析】
已知等式利用同底数幂的乘法法则变形，列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，代入原式计算即可得到结果.www-2-1-cnjy-com
解：∵(a＋b)a·(b＋a)b＝(a＋b)5，
∴(a＋b)a＋b＝(a＋b)5，
∴a＋b＝5.
又∵(a－b)a＋4·(a－b)4－b＝(a－b)7，
∴(a－b)a－b＋8＝(a－b)7，
∴a－b＋8＝7，∴a－b＝－1，
∴解得
∴aa·bb＝22×33＝4×27＝108.
【点拨】此题考查了同底数幂的乘法，把a+b和a-b当成一个整体进行幂的运算，并熟练掌握运算法则是解本题的关键.【来源：21·世纪·教育·网】
类型四、幂的运算的强化训练
例4.计算：
(1)(－3pq)2； (2)－x3＋(－4x)2x；21·世纪*教育网
(3)(m4m÷m2n)·mn； (4)(－2)－2－32÷(3.144＋π)0；2-1-c-n-j-y
(5)(a2)3·(a2)4÷(－a2)5； (6)[－2－3－8－1×(－1)－2]×.21*cnjy*com
解：(1)(－3pq)2＝9p2q2.
(2)－x3＋(－4x)2x＝－x3＋16x3＝15x3.
(3)(m4m÷m2n)·mn＝m4m－2n·mn＝m4m－n.
(4)(－2)－2－32÷(3.144＋π)0＝－9÷1＝－8.
(5)原式＝a6·a8÷(－a10)＝a14÷(－a10)＝－a4.
(6)原式＝×4×1＝－1.
【点拨】本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
【训练】计算：
(1)－102n×100×(－10)2n－1； (2)[(－a)·(－b)2·a2b3c]2；【来源：21cnj*y.co*m】
(3)(x3)2÷x2÷x－x3÷(－x)4·(－x4)； (4)(－9)3××；【出处：21教育名师】
(5)xn＋1·xn－1·x÷xm； ( http: / / www.21cnjy.com ) (6)a2·a3－(－a2)3－2a·(a2)3－2[(a3)3÷a3]．
【答案】 (1) 104n＋1;(2) a6b10c2;(3) 2x3;(4) 8;(5) x2n－m＋1;(6)－2a7－a6＋a5.【版权所有：21教育】
解：（1）-102n×100×（-10）2n-1，
=-102n 102 （-102n-1），
=102n+2+2n-1，
=104n+1；（2）[（-a）（-b）2 a2b3c]2，
=[（-a）b2 a2b3c]2，
=（-a3b5c）2，
=a6b10c2；
（3）（x3）2÷x2÷x-x3÷（-x）4 （-x4），
=x6÷x2÷x+x3÷x-1 x4，
=x3+x3，
=2x3；
（4）( 9)3×( )3×()3，
=[（-9）×（-）×]3，
=23，
=8．
(5)xn＋1·xn－1·x÷xm，
= x2n+1÷xm，
= x2n－m＋1；
(6)a2·a3－(－a2)3－2a·(a2)3－2[(a3)3÷a3]．
=a5+a6-2a7-2a6,
=－2a7－a6＋a5.
【点拨】本题主要考查同底数的幂的乘法，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．21世纪教育网版权所有
类型五、运用整式的乘除解决问题
例5．规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果ac＝b，那么(a，b)＝c.例如：∵23＝8，∴(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，填空：(3，27)＝________，(5，1)＝________，＝________；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(3n，4n)＝(3，4)，小明给出了如下的理由：
设(3n，4n)＝x，则(3n)x＝4n，即(3x)n＝4n，
∴3x＝4，即(3，4)＝x，
∴(3n，4n)＝(3，4)．
请你尝试运用这种方法判断(3，4)＋(3，5)＝(3，20)是否成立，若成立，请说明理由．
【答案】（1）3，0，－2；（2）成立，理由详见解析.
【分析】
（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
（2）设根据同底数幂的乘法法则即可求解．
解：(1)∵
∴(3,27)=3；
∵
∴(5,1)=0；
∵
∴
故答案为：3，0， 2.
(2) 成立．
理由如下：
设(3,4)=x,(3,5)=y，
则
∴
∴(3,20)=x+y，
∴(3,4)+(3,5)=(3,20).
【点拨】考查了乘方的运算以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是理解题目中定义的运算法
例6.比较下列各题中幂的大小：
（1）已知，比较a、b、c的大小关系;
（2）比较这4个数的大小关系;
（3）已知，比较P、Q的大小关系;
（4）_______（填“>”“<”或“=”）.
【答案】（1 ;(2) ;(3) ;(4) ．
【分析】
（1）根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较；（2）根据幂的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较；（3）用求商法比较大小；（4）由易得结果.
解：（1)∵，，，
∴．
(2) ∵，，，， ，
∴．
(3) ∵，
∴.
(4) ∵，
∴．
【训练】设，比较的大小.
【答案】．
解：∵
∴
【点拨】考核知识点：幂的乘方.掌握法则，运用法则变形比较数的大小.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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