课时分层闯关练（三） 向量的减法运算
基础关
1．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
2. 在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b)
C．a－b D．b－a
3．[多选]下列结果为零向量的是( )
A.－(＋) B.－＋－
C.－＋ D.＋＋－
4．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
5．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2
C. D.
6．下列四个等式：
①a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③＋＋＝0；④a＋(－a)＝0.
其中正确的是______(填序号)．
7. 如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)
8．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是________．
9．已知菱形ABCD的边长为2，求向量－＋的模．
10．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
拓展关
1. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4 C．2 D．1
2．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
3．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；②||＝||；③|－|＝|＋|；④|＋|＝|－|.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
5.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________.
6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.
7.已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
8.如图，在 ABCD中，＝a，＝b.
(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？
(2)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
培优关
三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．课时分层闯关练（三） 向量的减法运算
基础关
1．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
解析：选A 由条件可知，当m≠0且n≠0时B，C，D项都成立，故选A.
2. 在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b)
C．a－b D．b－a
解析：选B 如图，∵＝＋＝a＋b，∴＝－＝－a－b.]
3．[多选]下列结果为零向量的是( )
A.－(＋) B.－＋－
C.－＋ D.＋＋－
解析：选BCD A项，－(＋)＝－＝2；B项，－＋－＝＋＝0；C项，－＋＝＋＝0；D项，＋＋－＝＋＝0.故选B、C、D.
4．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
解析：选B 易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，也即a－b＋c－d＝0.故选B.
5．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选D 如图延长AB到D.
使AB＝BD.
∴＝
∴|－|＝|－|＝||
因△ABC为边长为1的正三角形．
∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ABD为直角三角形，∴||＝ ＝，
∴|－|＝.故选D.
6．下列四个等式：
①a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③＋＋＝0；④a＋(－a)＝0.
其中正确的是______(填序号)．
解析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．
答案：①②③④
7. 如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)
解析：a－b＋c 由题意，在平行四边形ABCD中，因为＝a，＝b，所以＝－＝a－b，
所以＝＝a－b，
所以＝＋＝a－b＋c.
8．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是________．
解析：[2,6) 根据题意得||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，即2≤|a－b|＜6.
9．已知菱形ABCD的边长为2，求向量－＋的模．
解：如图，∵－＋＝＋＋＝，
∴|－＋|＝||＝2.
10．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
解：作法：作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b.如图所示；作向量＝a，则＝a－b＋a.
拓展关
1. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4 C．2 D．1
解析：选C 根据|＋|＝|－|可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，∵||2＝16，∴||＝4，又∵M是BC的中点，∴||＝||＝×4＝2.
2．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：选C 以，为邻边作平行四边形，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C.
3．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；②||＝||；③|－|＝|＋|；④|＋|＝|－|.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 菱形ABCD中，如图，||＝||，∴②正确．
又|－|＝|＋|＝|＋|＝2||，
|＋|＝|＋|＝2||＝2||，
∴③正确；又|＋|＝|＋|＝||，|－|＝||＝||，∴④正确；①肯定不正确，故选C.
4．若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
解析：选C 如图，以，为邻边作平行四边形OBDC，则＝＋. 又＋＋＝0，
∴＋＝－，∴＝－，∴A，O，D三点共线．设OD与BC的交点为E，则E是BC的中点，∴AE是△ABC的中线．同理可证BO，CO都在△ABC的中线上，∴O是△ABC的重心．故选C.
5.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________.
解析：－＋＝＋＋＝＋，因为＋＝0，所以－＋＝0.
答案：0
6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.
解析：将ai顺时针旋转30°后得ai′，则a1′－a2′＋a3′＝0.
又∵bi与ai′同向，且|bi|＝2|ai|，∴b1－b2＋b3＝0.
答案：0
7.已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
解析： ∵|||－|||≤|－|≤||＋||，
且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3,15]．
8.如图，在 ABCD中，＝a，＝b.
(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？
(2)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解：(1)＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
若a＋b与a－b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD.
因为当|a|＝|b|时，四边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD，故当a，b满足|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直．
(2)不可能．因为 ABCD的两对角线不可能平行，
所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量．
培优关
三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.如图，作平行四边形APCD为菱形．
＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，
所以△ABC为等边三角形．
