课时分层闯关练（四） 向量的数乘运算
基础关
1．化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
解析：选B .
故选B.
2．设是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相同 B．与的方向相反
C．与的方向相同 D．
解析：选C 只有当时，才有与的方向相同，与的方向相反，且.因为，所以与的方向相同.故选C.
3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
解析：选B ＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B.
4．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
解析：选A 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.故选A.
5．已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有( )
①a＝5e1，b＝7e1；②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析：选A ①中，a与b显然共线；②中，因为b＝3e1－2e2＝6＝6a，故a与b共线；③中，设b＝3e1－3e2＝k(e1＋e2)，得无解，故a与b不共线．故选A.
6．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________.
解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0.
答案：0
7．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
解析：－ 由题意可以设a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，
因为a与b不共线，
所以有解得即λ＝－.
8．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
解析：由题意知，ka＋2b＝λ(8a＋kb)(λ＜0)．
∴(k－8λ)a＋(2－λk)b＝0.又a，b不共线，
∴解得λ＝－，k＝－4.
答案：－4
9．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解： 设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，
∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2，
又∵A，B，D三点共线，∴＝λ，
∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，
∴∴k＝－8，
∴存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．
10.如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
解：因为＝＋＝a，＝＋＝b，
所以
解得＝a－b，＝b－a.
拓展关
1．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C ，分别表示a，b的单位向量．对于A，当a＝－b时，≠；对于B，当a∥b时，可能有a＝－b，此时≠；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的条件是a＝2b，选C.
2．如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则＝( )
A．－a＋b B.a－b
C.a＋b D．－a＋b
解析：选D 由平面向量的三角形法则，可知＝＋＝＋＝(－)－＝－＋＝－a＋b.故选D.
3．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①② B．①③
C．② D．③④
解析：选A 由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有x a＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．故选A.
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，＝a，＝b，点D是△ABC的外心，E是AC的中点，则＋＝( )
A.a－b B．－a－b
C．2a－b D．－a＋b
解析：选D 因为点D是△ABC的外心，且∠ACB＝90°，所以点D是Rt△ACB的斜边AB的中点，所以＝(＋)＝a＋b.又E是AC的中点，所以＝＋＝－a＋b，
所以＋＝－a＋b.故选D.
5．如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
解析：a－b 由三角形中位线定理，知DEBC，故＝，即＝a.
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.
＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b.
6如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
解析：3 ，共线，则＝k(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则＝2－，＝2k－k，
又＝λ＋μ，∴∴λ－μ＝3k≤3，故最大值为3.
7．设两个不共线的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λ a＋μ b与向量c共线？
解：∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝k·c，即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke2－9ke2.由
得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，
只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
培优关
已知△ABC中，＝a，＝b.对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，λ∈[0，＋∞)．试问动点P的轨迹是否过△ABC内的某一个定点？说明理由．
解：以AB，AC为邻边作 ABDC，设对角线AD，BC交于点E，＝＝(a＋b)．
由＝＋λa＋λb得到－＝＝2λ·(a＋b)
＝2λ，λ∈[0，＋∞)，
∴与共线．
由λ∈[0，＋∞)知，动点P的轨迹是射线AE，
∴必过△ABC的重心．课时分层闯关练（四） 向量的数乘运算
基础关
1．化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．设是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相同 B．与的方向相反
C．与的方向相同 D．
3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
4．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
5．已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有( )
①a＝5e1，b＝7e1；②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
6．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________.
7．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
8．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
9．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
10.如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
拓展关
1．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
2．如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则＝( )
A．－a＋b B.a－b
C.a＋b D．－a＋b
3．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①② B．①③
C．② D．③④
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，＝a，＝b，点D是△ABC的外心，E是AC的中点，则＋＝( )
A.a－b B．－a－b
C．2a－b D．－a＋b
5．如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
6如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
7．设两个不共线的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λ a＋μ b与向量c共线？
培优关
已知△ABC中，＝a，＝b.对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，λ∈[0，＋∞)．试问动点P的轨迹是否过△ABC内的某一个定点？说明理由．
