课时分层闯关练（五） 向量的数量积
基础关
1．[多选]下列说法正确的是( )
A．向量b在向量a上的投影是向量
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．a·b＝0，则a⊥b
解析：选AB 对于选项A，根据投影向量的定义，故A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，∵(a·b)·c与c是共线向量，a·(b·c)与a是共线向量，故(a·b)·c≠a·(b·c)，故C错误；对于选项D，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．故选A、B.
2.下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ①错误，正确的是，向量数乘的结果还是向量.
②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.
④错误，，故.
⑤错误，.
综上所述，正确的个数为，故选B.
3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于( )
A. B. C．1＋ D．2
解析：选B a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.
4．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
解析：D ∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，
∴a·c＝0，b·c＝0，
c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.
5．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.
6．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(m a－b)，那么m的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3m a2＋(5m－3)a·b－5b2＝0,3m×32＋(5m－3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m＝.故选C.
7．已知向量a，b满足|a|=1，a⊥b，则a–2b在向量a上的投影为（ ）
A．–1 B．1
C． D．
解析：选B 设向量与a的夹角为θ，则：cosθ=，
∴在向量a上的投影为：．故选B．
8．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
解析：由题意，得cos〈a，c〉＝
＝＝＝.
答案：
9．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2 ·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cos θ＝3＋2 ×＝6.
答案： 6
10．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值．
解：p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2.
∵|p|＝|a＋b|＝ ＝ ＝，
|q|＝|a－b|＝ ＝ ＝1，
∴cos θ＝＝＝.
11．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，若向量2a＋kb与a＋b垂直，求实数k的值．
解：a·b＝|a||b|cos＝2×1×＝1.
因为2a＋kb与a＋b垂直，
所以(2a＋kb)·(a＋b)＝0.
所以2a2＋2a·b＋ka·b＋k b2＝0.
所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.
拓展关
1．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝( )
A．20 B.
C．2 D.
解析：选C 由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝＝＝＝2.故选C.
2．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为( )
A．a B．1
C．－1 D．－a
解析：选A 设θ为向量a－2b与向量a的夹角，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为|a－2b|cos θ .
又cos θ＝＝＝，故|a－2b|cos θ ＝|a－2b|·＝a.故选A.
3.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于( )
A．2 B. C. D.
解析：选D [·＝||||cos∠DAC
＝||cos
＝||sin∠BAC＝||sin B
＝||sin B＝||＝.]
4．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
解析：选A cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A.
5.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 易知四边形EFGH为平行四边形，连接HF(图略)，取HF的中点为O，则·＝·＝(－)·(＋)＝2－2＝1－2＝，·＝·＝2－2＝1－2＝，
因此·＋·＝.故选A.
6.在中，“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 设与的夹角为，因为，即，所以，，又为内角的补角，所以，是钝角三角形；当为钝角三角形时，不一定是钝角．所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件.
故选：A.
7．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
解析：法一：易知|a＋2b|＝＝＝2.
法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
答案：2
8．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________.
解析：5或－8 因为3a＋mb＋7c＝0，
所以3a＋mb＝－7c，
所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，即9＋m2＋6ma·b＝49，
又a·b＝|a||b|cos 60°＝，
所以m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8.
9．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；
(2)求向量a在a＋b上的投影．
解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，
∴a·b＝1，∴cos θ＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，
即|a＋b|＝.
设a与a＋b的夹角为α，
则向量a在a＋b上的投影为
|a|cos α＝|a|×＝
＝＝＝.
10.已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)
＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2
＝|b|22＋|a|2－.
∵b是非零向量，∴|b|≠0，
∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋
＝a·b－a·b＝0，
∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
培优关
如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围．
解：(1)由已知可得＝，＝－，
易得OAMB是菱形，则＝＋，
所以＝－＝－(＋)＝－－.
(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，
那么只需求MC的最大值与最小值即可．
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，
则·＝××cos 60°＝.
当MC与MO重合时，MC最大，
此时MC＝1，则·＝cos 60°＝.
所以·的取值范围为.课时分层闯关练（五） 向量的数量积
基础关
1．[多选]下列说法正确的是( )
A．向量b在向量a上的投影是向量
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．a·b＝0，则a⊥b
2.下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1 B．2
C．3 D．4
3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于( )
A. B. C．1＋ D．2
4．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
5．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
6．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(m a－b)，那么m的值为( )
A. B.
C. D.
7．已知向量a，b满足|a|=1，a⊥b，则a–2b在向量a上的投影为（ ）
A．–1 B．1
C． D．
8．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
9．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.
10．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值．
11．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，若向量2a＋kb与a＋b垂直，求实数k的值．
拓展关
1．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝( )
A．20 B.
C．2 D.
2．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为( )
A．a B．1
C．－1 D．－a
3.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于( )
A．2 B. C. D.
4．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
5.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝( )
A. B．－
C. D．－
6.在中，“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
8．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________.
9．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；
(2)求向量a在a＋b上的投影．
10.已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
培优关
如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围．
