课时分层闯关练（六） 平面向量基本定理
基础关
1．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断正确的是( )
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0
解析：选B 由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.故选B.
2．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B ①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
3．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝( )
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
解析：选A ∵＝2，∴－＝2(－)，∴－c＝2(b－)，∴＝c＋b.故选A.
4．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0 B．1,1
C．3,0 D．3,4
解析：选D ∵向量e1与e2不共线，∴
解得故选D.
5. (多选)四边形中，，则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：BD
对于选项A：，故选项A不正确；
故选项B正确；
，故选项C不正确，
，故选项D正确；
故选：BD
6.在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若 (m，n∈R)，则＝( )
A．－3 B．－
C． D．3
解析：选A 过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以m＋n＝＝＝＋＝－＋＝－＋，所以＝-3
7.如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量＝________.
解析：＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
答案：b＋a
8．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.
解析：∵e1，e2不共线，∴解得
∴x＋y＝0.
答案：0
9.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________.
解析：＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b＋b－a＝a＋b.
答案：a＋b
10.如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底，表示.
解：∵D是BC边的四等分点，∴＝＝(－)，∴＝＋＝＋(－)＝＋.
11.如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，
＝＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
拓展关
1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
解析：选A 作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.
2．（多选）设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：选AC 由题意作平行四边形ABCD，如图．因为与不共线，与不共线，所以它们均可作为这个平行四边形所在平面的一组基底，与共线，与共线，故这两组向量不能作为该平面的一组基底，故选A、C.
3．若＝a，＝b，＝λ，则＝( )
A．a＋λb B．λa＋b
C．λa＋(1＋λ)b D.
解析：选D ∵＝λ，∴－＝λ(－)，(1＋λ)＝λ＋，∴＝.故选D.
4.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分，若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分， 则实数a，b满足( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
解析：选B 如图，过点P作PA∥OP2交直线OP1于点A，过点P作PB∥OP1交直线OP2于点B，则＝＋，又＝a＋b，所以＝a，＝b.又与方向相同，与方向相反，所以a>0，b<0.故选B.
5.（多选）已知正方形的边长为，向量，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：选AD 由条件可，所以，A正确；
，与不垂直，B错误；
，C错误；
，根据正方形的性质有，所以，D正确.
故选: AD
6.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,7＝5，＝4，EF交AC于点K，＝λ，则实数λ的值为________．
解析：因为＝λ＝－λ＝－(＋)，所以＝－. 又E，F，K三点共线，所以－＝1，解得λ＝－.
答案：－
7.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记、分别为a，b，则__________（用a，b表示）.
解析: 如图，E，F分别为BC，CD的中点，
∵A，H，F三点共线，
∴存在实数λ，使，
∵D，H，E三点共线，
∴存在μ，使，
∴，
∴根据平面向量基本定理得：，解得，∴．故答案为：．
8．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.
解析：设e1＋e2＝m a＋n b(m，n∈R)，∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.∵e1与e2不共线，
∴解得∴e1＋e2＝a－b.
答案：a－b
9. 已知P是所在平面外一点，M是PC中点，且，求x，y，z的值．
解： 如图：因为M是PC中点
10．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是，的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出下列向量在此基底下的分解式，，.
解：如图所示，∵＝e2，且＝k，
∴＝k＝ke2，
又＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝－＋＋
＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.
而＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝＋－
＝＋e2－
＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2.
培优关
1.如图，在中，点D E F分别是边BC CA AB上的一个三等分点，求证：.
证明：根据题意，选取向量作为基底向量，
所以
，
，
所以.
2.如图，在△ABC中，F是BC中点，直线l分别交AB，AF，AC于点D，G，E.如果＝λ，＝μ，λ，μ∈R.
求证：G为△ABC重心的充要条件是＋＝3.
证明：充分性：若G为△ABC重心，则＝＝×(＋)＝，
又因点D，G，E共线，所以＝t＋(1－t)＝，
因，不共线，所以＝t且＝1－t，两式相加即得＋＝3.
必要性：若＋＝3，则＝x＝(＋)＝＝t＋(1－t)，
所以＝t且＝1－t，相加即得x＝，即G为△ABC重心．
故G为△ABC重心的充要条件是＋＝3.课时分层闯关练（六） 平面向量基本定理
基础关
1．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断正确的是( )
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0
2．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
3．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝( )
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
4．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0 B．1,1
C．3,0 D．3,4
5. (多选)四边形中，，则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6.在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若 (m，n∈R)，则＝( )
A．－3 B．－
C． D．3
7.如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量＝________.
8．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.
9.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________.
10.如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底，表示.
11.如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
拓展关
1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
2．（多选）设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
3．若＝a，＝b，＝λ，则＝( )
A．a＋λb B．λa＋b
C．λa＋(1＋λ)b D.
4.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分，若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分， 则实数a，b满足( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
5.（多选）已知正方形的边长为，向量，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
6.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,7＝5，＝4，EF交AC于点K，＝λ，则实数λ的值为________．
7.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记、分别为a，b，则__________（用a，b表示）.
8．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.
9. 已知P是所在平面外一点，M是PC中点，且，求x，y，z的值．
10．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是，的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出下列向量在此基底下的分解式，，.
培优关
1.如图，在中，点D E F分别是边BC CA AB上的一个三等分点，求证：.
2.如图，在△ABC中，F是BC中点，直线l分别交AB，AF，AC于点D，G，E.如果＝λ，＝μ，λ，μ∈R.
求证：G为△ABC重心的充要条件是＋＝3.
