华东师大版八年级下册数学 19.3 正方形 教案
文档属性
| 名称 | 华东师大版八年级下册数学 19.3 正方形 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 60.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-05 08:48:15 | ||
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文档简介
正方形
【教学目标】
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算。
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力。
【教学重难点】
1．重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。
2．难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用。
【教学过程】
一、例题的意图分析
本节课安排了三个例题，其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质。例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形。随后可以再做一组判断题，进行练习巩固，为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：
1．对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
2．对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
3．对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？
4．能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？
5．说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？
二、课堂引入
1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形。
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系。问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：
（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）
2．问题：正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形。
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。
三、例习题分析
例1：求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）。
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形。
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）。
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO。
例2：已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F。求证：OE=OF。
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得。
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）。
又DG⊥AE，
∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°。
∴∠EAO=∠FDO。
∴△AEO ≌△DFO。
∴OE=OF。
例3：已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点。
求证：四边形PQMN是正方形。
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP。即可证出MN=NP。从而得出结论。
证明：
∵PN⊥l1，QM⊥l1，
∴PN∥QM，∠PNM=90°。
∵PQ∥NM，
∴四边形PQMN是矩形。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）。
∴∠1+∠2=90°。
又∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
∴△ABM≌△DAN。
∴AM=DN。 同理 AN=DP。
∴AM+AN=DN+DP
即MN=PN。
∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。
四、随堂练习
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____。
2．下列说法是否正确，并说明理由。
（1）对角线相等的菱形是正方形；（ ）
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
（3）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
（4）四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
（5）四个角相等的四边形是正方形。（ ）
3．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为
CD、CB延长线上的点，且DE＝BF。
求证：∠AFE＝∠AEF。
4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数。
【作业布置】
1．已知：如右图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF。
求证：EA⊥AF。
2．已知：如下左图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F。求证：四边形CFDE是正方形。
3．已知：如下右图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF。
A
B
C
D
E
F
3 / 4
【教学目标】
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算。
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力。
【教学重难点】
1．重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。
2．难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用。
【教学过程】
一、例题的意图分析
本节课安排了三个例题，其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质。例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形。随后可以再做一组判断题，进行练习巩固，为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：
1．对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
2．对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
3．对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？
4．能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？
5．说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？
二、课堂引入
1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形。
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系。问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：
（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）
2．问题：正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形。
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。
三、例习题分析
例1：求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）。
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形。
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）。
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO。
例2：已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F。求证：OE=OF。
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得。
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）。
又DG⊥AE，
∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°。
∴∠EAO=∠FDO。
∴△AEO ≌△DFO。
∴OE=OF。
例3：已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点。
求证：四边形PQMN是正方形。
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP。即可证出MN=NP。从而得出结论。
证明：
∵PN⊥l1，QM⊥l1，
∴PN∥QM，∠PNM=90°。
∵PQ∥NM，
∴四边形PQMN是矩形。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）。
∴∠1+∠2=90°。
又∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
∴△ABM≌△DAN。
∴AM=DN。 同理 AN=DP。
∴AM+AN=DN+DP
即MN=PN。
∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。
四、随堂练习
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____。
2．下列说法是否正确，并说明理由。
（1）对角线相等的菱形是正方形；（ ）
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
（3）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
（4）四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
（5）四个角相等的四边形是正方形。（ ）
3．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为
CD、CB延长线上的点，且DE＝BF。
求证：∠AFE＝∠AEF。
4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数。
【作业布置】
1．已知：如右图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF。
求证：EA⊥AF。
2．已知：如下左图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F。求证：四边形CFDE是正方形。
3．已知：如下右图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF。
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