2021-2022学年浙江省宁波市海曙外国语学校八年级（下）起始考数学试卷(word解析版)

2021-2022学年浙江省宁波市海曙外国语学校八年级（下）起始考数学试卷
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
下面计算正确的是
A. B.
C. D.
在下列方程中，是一元二次方程的是
A. B.
C. D.
若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是
A. B. C. D.
已知平行四边形中，，则的度数为
A. B. C. D.
将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示．根据题意，列出关于的方程为
A.
B.
C.
D.
已知是方程的一个根，则代数式的值为
A. B. C. 或 D.
设，，，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
当时，关于的一元二次方程的根的情况为
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载。如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内。则图中阴影部分的面积等于
A. 直角三角形的面积
B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积
D. 最大正方形与直角三角形的面积和
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
当时，二次根式的值为______．
已知平行四边形邻边之比是：，周长是，则较短的边的边长是______．
如图，中，三条中位线围成的的周长是，则的周长是______．
关于的一元二次方程有一个解是，则______．
已知：，那么______．
如图，在 中，的平分线交于，，则的度数为______．
等腰三角形三边长分别为、、，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为______．
如图，若将图正方形剪成四块，恰能拼成图的矩形，则______
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
计算
；
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
用适当的方法解下列方程：
；
．
关于的方程
求证：方程恒有两个不相等的实数根；
若此方程的一个根为，求的值；
求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长．
如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点．
求证：；
若四边形的周长为，，，求平行四边形的周长．
为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元，经过市场调研发现，每台售价为万元时，年销售量为台；每台售价为万元时，年销售量为台．假定该设备的年销售量单位：台和销售单价单位：万元成一次函数关系．
求年销售量与销售单价的函数关系式；
根据相关规定，此设备的销售单价不得高于万元，如果该公司想获得万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足，例如有整数解和，所以属于同族方程，所以．
如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有；
关于的一元二次方程属于同族方程，求整数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：、，选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、正确．
故选：．
根据算术平方根的定义以及二次根式的除法法则即可判断．
本题考查了二次根式的运算，理解算术平方根的定义是关键．
3.【答案】
【解析】解：是分式方程，
不是一元二次方程；
的未知数的最高次数是，
不是一元二次方程；
只有一个未知数且未知数最高次数为，
是一元二次方程；
的未知数的最高次数是，
不是一元二次方程．
故选：．
根据一元二次方程的概念判断即可．
此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，
一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
4.【答案】
【解析】解：当时，，有意义，符合题意；
B.当时，，无意义，不符合题意；
C.当时，，无意义，不符合题意；
D.当时，，无意义，不符合题意；
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数逐一判断即可．
本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
5.【答案】
【解析】解：四边形为平行四边形，，
，，
，
，
故选：．
根据平行四边形对角相等可求解，再利用平行线的性质可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角互补是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得：长方体的长为：，宽为：，
则根据题意，列出关于的方程为：．
故选：．
根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：把代入方程得，则，
所以．
故选：．

8.【答案】
【解析】解：，，
，
由，则，
由，则，
最大，
又，
则故．
故选：．
先把已知量化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小，最大值比其他任何数都大，找出最大值，以此类推找出次大值和最小值．
此题主要考查了分母有理化，正确掌握二次根式的相关计算是解题关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【解答】
解：，
．
．
，
，
，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选A．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可。
【解答】
解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，
由勾股定理得，，
阴影部分的面积，
较小两个正方形重叠部分的宽，长，
则较小两个正方形重叠部分底面积，
则图中阴影部分的面积等于较小两个正方形重叠部分的面积。
故选：．
11.【答案】
【解析】解：当时，二次根式．
故答案为：．
直接把的值代入进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：平行四边形的周长是，一组邻边之比是：，
设两邻边分别为，，
则，
解得：，
较短的边的边长是，
故答案为：．
可先设出两边的长度，再利用周长建立方程，进而求解即可．
此题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．注意解此题需要利用方程思想．
13.【答案】
【解析】解：的周长是，
，
、、分别是的中位线，
，，，
的周长，
故答案为：．
根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：把代入一元二次方程，得，即又，，取．
故答案为：．
一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．将代入方程式即得．
此题要注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
15.【答案】
【解析】解：设，则．
整理，得．
解得或舍去．
所以．
故答案是：．
设，将已知方程转化为关于的新方程，通过解新方程得到即的值．
本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
16.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
的平分线交于，，
，
；
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义和邻补角关系得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数．
本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出是解决问题的关键．
17.【答案】
【解析】解：当或时，把代入得，解得，此时方程的根为和，而，故舍去；
当时，，解得，
所以为．
故答案为．
讨论：当或时，把代入可求出对应的的值；当时，根据判别式的意义得到，解得．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．
18.【答案】
【解析】解：依题意得，
整理得：，
则，
方程两边同时除以，
则，
解得：，
不能为负，
，
故答案为：．
根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为，右图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，解方程即可求出．
此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
19.【答案】解：
；
．
【解析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的性质化简，再计算加减法，即可求解；
根据二次根式乘法法则计算，然后合并同类项，即可求解．
20.【答案】解：，
，
或．
，
，
或．
【解析】根据因式分解法节即可求出答案．
根据因式分解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
21.【答案】证明：，
在实数范围内，无论取何值，，即，
关于的方程恒有两个不相等的实数根；
解：根据题意，得
，
解得，；
解：方程的另一根为：；
当该直角三角形的两直角边是、时，由勾股定理得斜边的长度为：；
该直角三角形的周长为；
当该直角三角形的直角边和斜边分别是、时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；
则该直角三角形的周长为．
【解析】根据关于的方程的根的判别式的符号来证明结论；
根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，即可求得的值；
先由根与系数的关系求得方程的另一根为，再分类讨论：当该直角三角形的两直角边是、时，由勾股定理得斜边的长度为：；当该直角三角形的直角边和斜边分别是、时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．
本题综合考查了勾股定理、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程解的定义．解答时，采用了“分类讨论”的数学思想．
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，即，
又点，分别是边，的中点，
，，
，
四边形为平行四边形，
；
解：四边形的周长为，，
，
点，分别是边，的中点，
，
，
平行四边形的周长．
【解析】根据平行四边形的对边平行得出，又，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；
根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
23.【答案】解：设年销售量与销售单价的函数关系式为，
将、代入，得：
，
解得：，
年销售量与销售单价的函数关系式为．
设此设备的销售单价为万元台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，．
此设备的销售单价不得高于万元，
．
答：该设备的销售单价应是万元台．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量与销售单价的函数关系式；
设此设备的销售单价为万元台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，根据总利润单台利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解值取其小于的值即可得出结论．
24.【答案】证明：方程是完美方程，
方程中有两个相等的解，
．
．
方程是同族方程，
．
解：设关于的一元二次方程的两根为，，
则，．
关于的一元二次方程属于同族方程，
，为整数．
为整数，
或或或．
【解析】利用完美方程的定义可得，整理得到，利用同族方程中的规定即可求得结论；
利用根与系数的关系定理得出关于的式子，利用为整数即可求得结论．
本题主要考查了一元二次方程的整数根和有理根，一元二次方程的根与系数的关系定理，一元二次方程的根的判别式，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
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